un des theoremes que je viens de voir en algebre des operateurs est:
-"Si 2 operateurs lineaires ont memes fonctions propres alors ils commutent."
ça pas de probleme je sais le demontrer.
Mais est ce que la reciproque est vraie ? (pour etre franc je n'arrive pas à le demontrer pour l'instant)
merci de vos reponses.
ps:j'ai mis ce sujet en physique et non en mathematique parce que j'ai precisement vu ce theoreme en cours de MQ donc...
Oui la réciproque est vraie.
Voici une démo light, je ne sais pas si elle marche en dimension infinie :
Soit f une fonction propre d'un opérateur B, associée à la valeur propre b : Bf=bf.
Le fait que A et B commutent s'écrit :
B(Af) = A(Bf)
Donc B(Af) = b Af, on en déduit que Af est vecteur propre de B avec la valeur propre b.
Si les espaces propres de B ne sont pas dégénérés, alors ca veut dire que Af est proportionnel à f (car ce sont tous deux des vecteurs propres de B associés à la même valeur propre b), donc f est vecteur propre de A.
Sinon, on peut aussi s'arranger pour que ce soit le cas, je te laisse le soin de le faire...
merci deep-turtle (je n'avais pas pensé à la valeur propre non degenerée)
