Exercice de mécanique

[citron_21]

Bonjour a tous,
je bloque sur une question d'un exercice, j'ai essayé plusieurs trucs, je ne vois pas du tout comment aboutir. l'énoncé est le suivant :

On considère une tige rectiligne tournant dans un plan horizontal autour de son extremité O, à la vitesse angulaire constante w, un ressort est enroulé autour de la tige, l'une des extremités est fixée en O, l'autre est solidaire d'une masse m qui peut coulisser sans frottement sur la tige. (schéma du montage joint)

1°) Etudier la position d'équilibre de la masse relativement à la tige en fonction de w, de la raideur k et de la longueur à vide Lo.

2°) La masse étant déplacée de sa position d'équilibre et abandonnée sans vitesse initiale par rapport à la tige, calculer la période des oscillations.


1°) En appliquant la 2° loi de N. en réf non galiléen (accélération d'entraînement non nulle), on arrive à une relation :

-k(Leq-Lo) + mw²Le = 0

d'où : Leq = (k.L0)/(k-mw²)

2°) j'essaie d'etablir l'equa diff :

m(x point point).(er) = -k(x-Lo).(er) + mw²x.(er) - m(2w(x point).(e theta))

(avec (er) et (e theta) les vecteurs unitaires du repère tournant)

l'equa diff aboutit à :

(x point point) + (k/m - w²).x = (k.Lo)/m

ce qui me paraît bizarre comme équation diff...

est ce que vous pourriez m'aider svp ?
Merci d'avance
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[invitec053041c]

Salut.

l'equa diff aboutit à :

(x point point) + (k/m - w²).x = (k.Lo)/m

Non elle est juste cette équa diff.( le début aussi). Ses solutions sont même plutôt sympathiques à discuter ! (selon ce que vaut w, parceque n'oublie pas que w est imposé, constant)

[citron_21]

ok merci !
mais le problème c'est que lorsque w est trop grand, le coefficient de x devient négatif, et dans ce cas-là, on a un système instable...
c'est bizarre a imaginer sur le plan expérimental, que lorsque la pulsation dépasse une pulsation limite, il n'y ait plus de solution ???

[invitec053041c]

ok merci !
mais le problème c'est que lorsque w est trop grand, le coefficient de x devient négatif, et dans ce cas-là, on a un système instable...
c'est bizarre a imaginer sur le plan expérimental, que lorsque la pulsation dépasse une pulsation limite, il n'y ait plus de solution ???

Tu auras en effet une solution en exponentielles qui divergera. Moi je trouve que c'est au contraire assez cohérent: la force de rappel du ressort deviendra trop faible pour contrer la force centrifuge.
Quand on doute vraiment, le mieux est de considérer des cas extrêmes: imagine un petit ressort quelconque, assez extensible, et fais tourner le système à des vitesses très grandes (devant quoi? voir l'expérience ), tu imagines bien que le ressort s'étirera comme un élastique (et l'éque diff restera juste dans la limite où le ressort n'est pas trop étiré, après il faut revoir ses calculs, car F=k(L.-x) est juste pour des étirements peu importants).

[A voir en vidéo sur Futura]

[citron_21]

mais comment peut t -on expliquer que la solution soit en cos pour un w<w(limite) et en exp pour un w>w(limite) ? comment faire le lien entre les 2 solutions ?

[invitec053041c]

mais comment peut t -on expliquer que la solution soit en cos pour un w<w(limite) et en exp pour un w>w(limite) ? comment faire le lien entre les 2 solutions ?

Et pour w=wL, tu as une solution en un polynôme du second degré .
C'est à en perdre son latin !
C'est cohérent de trouver une solution oscillante pour w inférieur à une valeur limite. Car la force de rappel du ressort est capable de contrer la force centrifuge lorsque x augmente, et lorsque x diminue, la force centrifuge tendra alors à le refaire partir vers l'extérieur.
Après, pourquoi des cos et sin ? C'est périodique, déjà..
Pourquoi des exp après ? Ca diverge, déjà..

[citron_21]

mais comment tu peux connaitre le type de solution qu'on peut avoir à partir du signe du coeff de x ? avec l'équation caractéristique ?

[invitec053041c]

mais comment tu peux connaitre le type de solution qu'on peut avoir à partir du signe du coeff de x ? avec l'équation caractéristique ?

Ah c'est un problème mathématique que tu avais !

Et bien c'est une résolution type d'une équa diff du second ordre à coefficients constants.
Tu peux le voir comme en maths, avec équation caractéristique, racines, solutions complexes ramenées à du cos/sin pour le premier cas, solution réelles en exp pour le second cas..

[citron_21]

ah d'accord, merci de ton explication