Effet Sagnac : La relativité mise en doute ?

[Olorin]

Salut à tous !

J 'ai récemment découvert l'effet Sagnac , effet curieux du monde de la physique s'il en est , car semblant violer le postulat bien célebre de la relativité restreinte voulant que la vitesse de la lumiere soit une constante universelle est indépendante du réferentiel d'étude .

L' expérience est simple est consiste simplement à offrir un petit tour de manège à un interferomètre de Michelson ( i.e a le faire tourner autour d' un axe judicieusement choisi ): apparait alors un joli phénomene d ' interférences , traduisant une différence de marche entre les rayons lumineux effectuant des trajectoires de sens contraires . La relativité galilléenne parvient aisément à expliquer le phénomene , par composition , mais qu'en est il exactement pour la relativité , celle ci ne prévoyant aucune variation de la vitesse de la lumière ?

[Konrad]

Il n'y a absolument rien de choquant dans l'effet Sagnac : on fait parcourir à la lumière deux trajectoires qui n'ont pas la même longueur, rien d'étonnant donc qu'elle mette moins de temps à parcourir le chemin le plus court.

A noter que la vitesse à laquelle tourne l'interféromètre est négligeable devant la vitesse de la lumière. La contraction de longueur apparente ici n'a rien de relativiste, c'est juste que la lumière qui "tourne" dans l'interféromètre (par le système de miroirs) va revenir plus tôt à son point de départ si elle parcourt le cercle dans le sens inverse à celui de rotation que si elle va dans le sens de la rotation.

[Olorin]

Salut Konrad !

Je ne comprend pas trés bien ton intérpretation . Je te rappelle que le dispositif interférometrique est fixe dans le réferentiel tournant ! Je ne vois pas trés bien comment la longueur des chemins parcourus par la lumière au cours de la rotation peuvent alors ètre différents de ceux parcourus à l 'état de repos . Je crois d'ailleurs que de nombreux physiciens s' accordent a dire qu'il y a bel et bien là une mise en évidence de l' anisotropie de la propagation des impulsions lumineuse .
Qu' en penses-tu ?

[Konrad]

Fais un schéma de l'expérience : pour simplifier, prend un disque de rayon R tournant dans le sens des aiguilles d'une montre (sens anti-trigo), prends un point de départ pour tes rayons lumineux et fais-les partir l'un dans le sens trigo (rayon 1), l'autre dans le sens anti-trigo (rayon 2). Appelons dt le temps que met la lumière à parcourir la circonférence C du disque lorsqu'il est au repos :

dt = 2.pi.R / C

Tu es d'accord que si le disque tourne avec un moment angulaire OMEGA, pendant le temps dt il aura tourné d'un angle da tel que :

da = OMEGA.dt = OMEGA.2.pi.R / C

Le rayon 1 retrouvera donc le point choisi comme origine avant le rayon 2 ; les distances parcourues par les deux rayons sont respectivement :

r₁ = C + R.da = C + (R.OMEGA.2.pi.R)/C

r₂ = C - R.da = C - (R.OMEGA.2.pi.R)/C


La différence de chemin entre les deux trajectoires, donc la différence de marche entre les deux rayons, sera ainsi :

r₁₂ = 2.R.da = (2.OMEGA.2.pi.R²) / C = (4.S.OMEGA) / C

où S = pi.R² est la surface du disque. Comme tu le vois, il n'y a rien de relativiste là-dedans, juste une différence de marche induite par les deux rayons. Ensuite on s'arrange pour faire sortie les rayons lumineux du disque et à les remettre sur la même trajectoire (par un système de miroirs semi-réfléchissants), de façon à ce qu'ils interfèrent, et le tour est joué.



A cet effet vient s'ajouter l'effet Doppler : en effet le point de départ bouge par rapport aux rayons lumineux ; il va donc voir le rayon 1 avec une fréquence plus grande, et le rayon 2 avec une fréquence plus petite, que la fréquence d'origine. On montre que cette différence de fréquences est égale à :

df = (4.S.OMEGA) / (C.lambda)

où lambda = c/f est la longueur d'onde d'origine du rayonnement.

[chaverondier]

J 'ai récemment découvert l'effet Sagnac, effet curieux car semblant violer le postulat de la relativité restreinte voulant que la vitesse de la lumière soit indépendante du réferentiel d'étude. L' expérience consiste à offrir un petit tour de manège à un interféromètre de Michelson ( i.e à le faire tourner autour d' un axe judicieusement choisi ) : apparaît alors un phénomène d 'interférence, traduisant une différence de marche entre les rayons lumineux effectuant des trajectoires de sens contraires. La relativité Galiléenne parvient aisément à expliquer le phénomène, par composition, mais qu'en est il exactement pour la relativité, celle ci ne prévoyant aucune variation de la vitesse de la lumière ?

L'effet Sagnac est parfaitement compatible avec la Relativité Restreinte (et ne l'est pas parfaitement avec la relativité Galiléenne quand on tient compte des effets du second ordre). En effet, la RR exprime l'invariance des lois de la physique vis à vis des changements de référentiels inertiels (donc, en particulier l'indépendance et l'isotropie de la vitesse de la lumière par rapport à un observateur en mouvement de translation uniforme et non par rapport à un observateur en mouvement de rotation uniforme)

Dans les référentiels en rotation, on observe d'ailleurs

* une contraction circonférentielle de Lorentz du mètre de l'observateur tournant (qui est constatée à la fois par l'observateur tournant et par l'observateur non tournant). L'observateur au repos sur une plateforme tournante croit qu'un cercle de rayon R tracé sur cette plateforme a une circonférence valant 2 pi R/(1-v^2/c^2)^(1/2) > 2 pi R (où v = oméga R). Cela vient du fait qu’il mesure cette circonférence avec un mètre raccourci par la contraction de Lorentz dans le sens circonférentiel.

* une dilatation temporelle de Lorentz de la période de l'horloge de l'observateur tournant (paradoxe de Langevin).

* une anisotropie de la vitesse de la lumière par rapport au disque tournant. En effet, pour l'observateur tournant, le photon qui tourne dans le même sens que le disque tournant tourne à la vitesse (c-v)/(1-v^2/c^2) et le photon qui tourne en sens inverse tourne à (c+v)/(1-v^2/c^2) (mesurés par l'observateur non tournant, ces mêmes photons tournent à la vitesse c-v et c+v par rapport au disque tournant).

Ainsi, le mouvement de rotation permet de faire apparaître le caractère réel des effets de contraction de Lorentz, de dilatation temporelle de Lorentz et d'anisotropie de la vitesse relative de la lumière. Ces effets sont alors non réciproques (c'est dans le référentiel qui tourne que le mètre se contracte circonférentiellement, que l'horloge ralentit et que la vitesse relative de la lumière est anisotrope).

Quand ces mêmes effets sont observés entre deux observateurs en mouvement de translation à vitesse constante, ils ressemblent au contraire à des "effets de perspective", en raison de leur caractère réciproque et pour des raisons mathématiques (car la transformation de Lorentz est une rotation hyperbolique).

Bernard Chaverondier

[Konrad]

D'accord, je comprends mieux pourquoi Olorin parlait d'anisotropie de la vitesse de la lumière... Mais la vitesse linéaire des dispositifs à effet Sagnac (comme dans les fusées ou les avions) reste faible devant la vitesse de la lumière non ? La contraction des longueurs observée n'est donc pas relativiste mais bien dûe à la rotation comme je l'ai dit au-dessus ?

[chaverondier]

D'accord, je comprends mieux pourquoi Olorin parlait d'anisotropie de la vitesse de la lumière... Mais la vitesse linéaire des dispositifs à effet Sagnac (comme dans les fusées ou les avions) reste faible devant la vitesse de la lumière non ? La contraction des longueurs observée n'est donc pas relativiste mais bien dûe à la rotation comme je l'ai dit au-dessus ?

Pour un disque d'aluminium (AZ5G par exemple de limite de rupture Rm = 340 MPa il me semble et de densité rhô = 2750 kg/m^3) tournant à une vitesse lui permettant de résister à l'éclatement sous l'effet de la force centrifuge, la vitesse périphérique v du disque tournant est environ celle pour laquelle rhô v^2 = Rm soit v égale à peu près 300 m/s (donc v est environ 100 000 fois plus faible que la vitesse de la lumière). On trouve alors un effet de contraction circonférentielle de Lorentz du disque tournant environ 10^11 fois plus faible que l'effet mécanique de dilatation du à la contrainte de traction engendrée par la force centrifuge. L'effet relativiste de contraction de Lorentz d'un disque tournant matériel (induit par la contraction circonférentielle de Lorentz) est donc trop petit pour être observable.

Pour plus de détails sur le calcul de contraction de Lorentz d'un disque tournant idéal élastique relativiste sans masse (pour montrer isolément le tout petit effet induit par la contraction circonférentielle de Lorentz du disque tournant) voir http://perso.wanadoo.fr/lebigbang/disque.htm

Bernard Chaverondier

[Olorin]

Salut !

Ainsi, le mouvement de rotation permet de faire apparaître le caractère réel des effets de contraction de Lorentz, de dilatation temporelle de Lorentz et d'anisotropie de la vitesse relative de la lumière. Ces effets sont alors non réciproques (c'est dans le référentiel qui tourne que le mètre se contracte circonférentiellement, que l'horloge ralentit et que la vitesse relative de la lumière est anisotrope).

Donc cela voudrait bien dire que dans certains cas , notamment celui des réferentiels tournants , la vitesse de propagation de l'onde lumineuse n'est plus indépendante de l'observateur et de la direction : on parle alors d'anisotropie . Mais pourtant l'un des postulats de base de la théorie de la relativité est l'invariance de cette dernière !

Il est vrai , et Chaverondier l'a rappelé , que la relativité restreinte ne s'applique qu'au reférentiel inertiel ( galiléen ) , elle ne peut donc pas être utilisée ici , dans notre réferentiel tournant . Une question vient alors tout naturellement :

Que dit la relativité générale ?
Prévoit-elle l'anisotropie pour la propagation d'onde lumineuse
dans le cas où des referentiels non galiléens sont mis en jeu ?

[Olorin]

Re-salut !

Une autre petite question :

Comment obtient-on la formule d'anisotropie de la vitesse de la lumière

( c +- v ) * racine ( gamma)

obtenue par l'observateur solidaire du disque en rotation ( si il s'amusait à la mesurer , c'est ce qu'il trouverait , non ? )
et que vaut v ( est-ce v= omega*R dans le cas ou la trajectoire des rayons serait a une distance R du centre de rotation ? )

[chaverondier]

Comment obtient-on la formule d'anisotropie de la vitesse de la lumière ( c +- v ) * racine (gamma) )

Pour l'observateur tournant, les vitesses relatives de la lumière dans un sens et dans l'autre ne sont pas (c+/-v)/(1-v^2/c^2)^(1/2) mais (c+/-v)/(1-v^2/c^2)

En effet,
* dans le sens circonférentiel, le mètre de l'observateur tournant est contracté par le facteur (1-v^2/c^2)^(1/2) (où v =oméga r)
* la période de l'horloge de l'observateur tournant est dilatée par le facteur 1/(1-v^2/c^2)^(1/2)
Par suite, dans le sens circonférentiel l'unité de mesure de vitesse de l'observateur tournant est contractée par le facteur (1-v^2/c^2). La vitesse relative de la lumière est donc plus grande par le facteur 1/(1-v^2/c^2) lorsqu'elle est mesurée avec les unités de vitesse de l'observateur tournant.

Pour ce qui est de la formule donnant l'anisotropie de la vitesse relative de rotation de la lumière par rapport à un référentiel tournant (caractéristique de l'effet SAGNAC) la démonstration s'obtient selon la méthode classique des différences de marche applicable aux dispositifs d'interférométrie, mais on peut aussi le voir comme suit.

Pendant le temps delta_t (mesuré par l'observateur non tournant) le photon qui tourne dans le même sens que le disque tournant parcourt une distance c delta_t tandis que l'émetteur-récepteur fixé au rayon r sur le disque tournant parcourt dans le même sens une distance v delta_t (où v = oméga r). Ce photon parcourt donc, par rapport au disque tournant, une distance relative (c-v) delta_t le long du cercle de rayon r tracé sur le disque tournant. Mesurée avec les unités de vitesse de l'observateur qui ne tourne pas, un photon émis par un émetteur récepteur solidaire du disque tournant rejoint l'émetteur-récepteur à une vitesse relative = distance relative/delta_t = c-v s'il tourne dans le même sens et c+v s'il tourne en sens opposé.

Bernard Chaverondier
PS de correction : dans le post précédent la vitesse de non éclatement d'un disque en AZ5G est de l'ordre de 350 m/s (à peu près (Rm/rhô)^(1/2) avec Rm limite de rupture et Rhô masse volumique) soit un million de fois plus petite que celle de la vitesse de la lumière (et non 100 000 fois plus petite). L'ordre de grandeur de la contraction circonférentielle relative de Lorentz du disque tournant est environ v^2/(8c^2) soit environ 2 10^(-13) quand un disque en AZ5GU tourne à la vitesse périphérique v = (Re/rhô)^(1/2) à laquelle il atteint sa limite élastique Re alors que la dilatation circonférentielle relative due à la force centrifuge (quand le disque atteint sa limite élastique Re) est de l'ordre de Re/E (Re limite élastique et E module élastique) soit environ 5 10^(-3) pour de l’AZ5GU (dilatation circonférentielle relative due à la force centrifuge environ 2 10^10 fois plus grande que la toute petite contraction circonférentielle relative de Lorentz du disque tournant).

[BioBen]

Quelques précisions pour un débutant, si ca ne vous dérange pas :

Mesurée avec les unités de vitesse de l'observateur qui ne tourne pas, un photon émis par un émetteur récepteur solidaire du disque tournant rejoint l'émetteur-récepteur à une vitesse relative = distance relative/delta_t = c-v s'il tourne dans le même sens et c+v s'il tourne en sens opposé.

Si je comprends bien, la vitesse relative peut être Vrel = c + v > c donc a une vitesse supèrieure à celle de la lumoère dans le vide ? Pourtant l'un des postulats de la RR n'est-il pas l'invariance de la vitesse de la lumière quelque soit le référentiel ?

(donc, en particulier l'indépendance et l'isotropie de la vitesse de la lumière par rapport à un observateur en mouvement de translation uniforme et non par rapport à un observateur en mouvement de rotation uniforme)

Le postulat de l'invariance d ela vitesse de la lumière n'est donc valable que pour les référentiels inertiels ?

Dans les référentiels en rotation (...)car la transformation de Lorentz est une rotation hyperbolique.

La encore j'ai un peu de mal à suivre.
1/ Est il possible d'obtenir les transofrmations de Lorentz pour un mouvement circulaire en utlisant une intégrale (en considérant le mouvmeent circulaire comme un succession de mouvement rectilignes uniformes infinitesimaux) ? -je dis peut-être une grosse absurdité-
2/ Que veut dire "la transformation de Lorentz est une rotation hyperbolique" ?

Merci d'avance
a+
ben

[BioBen]

Si je comprends bien, la vitesse relative peut être Vrel = c + v > c donc a une vitesse supèrieure à celle de la lumoère dans le vide ? Pourtant l'un des postulats de la RR n'est-il pas l'invariance de la vitesse de la lumière quelque soit le référentiel ?
(...)
Le postulat de l'invariance d ela vitesse de la lumière n'est donc valable que pour les référentiels inertiels ?

Bon après avoir cherché un peu de documentation j'ai trouvé réponse à ces questions : l'invariance de la vitesse de la lumière n'est vraie que pour des reférentiels inertiels (en translation rectiligne uniforme).
J'aurai du mieux me documenter avant ....(mauvaise influence des vancances)

Par contre pour la suite je cherche encore...
a+
ben

[chaverondier]

1/ Est il possible d'obtenir les transformations de Lorentz pour un mouvement circulaire en utilisant une intégrale (en considérant le mouvement circulaire comme un succession de mouvements rectilignes uniformes infinitésimaux) ? -je dis peut-être une grosse absurdité-

En fait, si l'on considère que le temps mis par un photon émis par un émetteur-récepteur solidaire d'un disque tournant pour faire le tour d'un disque tournant et revenir à cet émetteur-récepteur est la somme des temps qu'il met pour se déplacer dans une succession de référentiels inertiels comobiles avec le disque tournant, on trouve un résultat faux car dans les référentiels inertiels localement comobiles avec le disque tournant la lumière est isotrope si bien que ce calcul donne un temps identique (et faux = (2 pi R/c)(1-v^2/c^2)^(1/2) ) pour faire le tour du disque tournant et revenir au point de départ sur ce disque dans un sens ou dans l'autre.

L'erreur ainsi commise découle de l'absence de prise en compte de l'anisotropie de la vitesse relative de la lumière par rapport au disque tournant (effet Sagnac) ou, ce qui revient au même, de l'absence de prise en compte des sauts de simultanéité qui détruisent l'additivité des durées de parcours du photon mesurées dans des référentiels inertiels successifs différents (quand on veut calculer la durée totale de parcours d'un photon qui revient à son point de départ sur le disque tournant après en avoir fait un tour complet).

2/ Que veut dire "la transformation de Lorentz est une rotation hyperbolique" ?

La transformation de Lorentz est de la forme
ct0 = ct cosh(phi) + x sinh(phi)
x0 = ct sinh(phi) + x cosh(phi)
où th(phi) = v/c

C'est l'équation d'une rotation hyperbolique (une isométrie qui conserve l'origine dans l'espace temps 2D (t, x) de métrique ds^2 = (cdt)^2 - dx^2)

Cette ressemblance mathématique avec une rotation dans l'espace-temps Euclidien est souvent invoquée pour attribuer un caractère "d'illusion d'optique" à la contraction de Lorentz des distances. La vraie contraction circonférentielle de Lorentz du mètre de l'observateur tournant est là pour nous rappeler qu'un tel effet est un effet réel et non une simple « illusion d’optique ». En particulier, en mesurant la circonférence d'un disque tournant de rayon R avec son mètre raccourci par la contraction de Lorentz, l'observateur tournant trouve une circonférence de longueur 2 pi R/(1-v^2/c^2)^(1/2) > 2 pi R. Voilà qui explique la signification physique de la courbure spatiale négative du référentiel tournant (la courbure spatiale positive associée à la métrique de Schwarzschild étant d’ailleurs la conséquence d’un effet similaire de contraction de Lorentz, mais dans le sens radial).

Bernard Chaverondier

[BioBen]

En fait, si l'on considère que le temps mis par un photon émis par un émetteur-récepteur solidaire d'un disque (...) (quand on veut calculer la durée totale de parcours d'un photon qui revient à son point de départ sur le disque tournant après en avoir fait un tour complet).

OK, merci beaucoup pour la clarté des explications, je pense avoir parfaitement compris pourquoi la méthoe que je "propose" amène à une résultat faux.

La transformation de Lorentz (..)
mais dans le sens radial).

Je comprends bien le début, mais après sur les courbures spatiales j'ai du mal à saisir le lien. Un référentiel trounant engendre une courbure négative ....?

En totu cas merci pour les explications
a+
ben

[chaverondier]

Je comprends bien le début, mais après sur les courbures spatiales j'ai du mal à saisir le lien. Un référentiel tournant engendre une courbure négative ....?

La rotation du mètre de l'observateur tournant provoque sa contraction de Lorentz quand il est orienté dans le sens circonférentiel et pas de contraction quand il est orienté dans le sens radial. Un cercle de rayon r tracé sur le disque tournant se trouve donc avoir une circonférence 2pi r/(1-v^2/c^2)^(1/2) > 2 pi r où v = oméga r (pour l'observateur tournant réalisant la mesure de circonférence du disque tournant avec son mètre contracté par la contraction circonférentielle de Lorentz). Une cinconférence C > 2pi r est caractéristique d'un espace dont la métrique spatiale possède une courbure négative.

Pour le référentiel tournant, cette métrique spatiale vaut d'ailleurs
dl^2 = (r dthêta)^2/(1-v^2/c^2) + dr^2 + dz^2 (où v = oméga r)

La courbure spatiale serait au contraire positive si la circonférence d'un cercle de rayon r était inférieure à 2 pi r (comme cela se passe pour une calotte sphérique dont la circonférence vaut C = 2pi R sin(r/R) où r désigne le rayon curviligne mesuré depuis le sommet de la calotte sphérique jusqu'au cercle bordant la calotte sphérique et R désigne le rayon de la sphère).

Bernard Chaverondier