Transformation des champs en relativité galiléenne

undia · 07/04/2009 - 23h47

Bonjour,

Si on part de l'expression de la force de Lorentz on obtient B'=B et E'=E+VxB (1)

Par contre, si l'on part des potentiels on obtient bien B'=B mais E'=E-VdA/dx (2). Je dis mais car B=rotA et dans ces conditions (1) n'est pas équivalente à (2)

=> Où est l'erreur ???

Jeanpaul · 08/04/2009 - 08h12

L'erreur est que les transformations de Newton ne respectent justement pas les équations de Maxwell. Ces équations ne sont donc valables que dans un référentiel privilégié qu'on a appelé l'éther. Dans ce référentiel spécial, la vitesse de la lumière est donnée par µ0. eps0.c²=1. Ailleurs, les vitesses se composent.
On connaît la suite : Lorentz a trouvé les transformations qui portent son nom qui respectent les équations de Maxwell et Einstein les a généralisées.

undia · 08/04/2009 - 11h29

Merci mais ce n'est pas ma question. Ici, dans les 2 cas, c'est la transformation de Galilée qui est appliquée.

Jeanpaul · 08/04/2009 - 11h40

Envoyé par undia

Merci mais ce n'est pas ma question. Ici, dans les 2 cas, c'est la transformation de Galilée qui est appliquée.

ce que tu n'as précisément pas le droit de faire...

phys4 · 08/04/2009 - 11h43

Bonjour,

Je ne sais pas d’où vient la relation 2 de « undia ».
La transformation du potentiel doit faire apparaître un produit scalaire V.A
le gradient de ce produit scalaire donne 4 termes dont un seul n’est pas nul car V est un champ de vecteur uniforme, la vitesse du référentiel. Ce terme non nul est justement V x rot A
Est-ce la réponse voulue ? Au revoir

undia · 08/04/2009 - 12h30

Envoyé par phys4

Bonjour,
Je ne sais pas d’où vient la relation 2 de « undia ».

Soit la transformation galiléenne $x^i = x'^i+v^i t$ et $t'=t$ .
On a donc $\frac{\partial }{\partial x'^i}=\frac{\partial }{\partial x^i}$ et $\frac{\partial }{\partial t'}=\frac{\partial }{\partial t}+v^i\frac{\partial}{\partial x^i}$

Ainsi,
$E'^i=-\frac{\partial V'}{\partial x'^i}-\frac{\partial A'^i}{\partial t'}=-\frac{\partial V'}{\partial x^i}-\frac{\partial A'^i}{\partial t}+v^j\frac{\partial A'^i}{\partial x^j}$

Or $V'(x'^i,t')=V(x^i,t)$ et de même $A'^i(x'^i,t')=A^i(x^i,t)$ (on suppose que les vecteurs de base des 2 référentiels sont confondus pour simplifier)

Ainsi finalement
$E'^i=-\frac{\partial V}{\partial x^i}-\frac{\partial A^i}{\partial t}+v^j\frac{\partial A^i}{\partial x^j}=E^i+v^j\frac{\partial A^i}{\partial x^j}$

De nouveau, où est l'erreur ??

phys4 · 08/04/2009 - 14h14

Je comprends maintenant ce que voulait dire Jeanpaul.
La transformation que tu fais sur les champs n’est pas correcte, c’est cela l’erreur.
Je pensais que tu voulais comparer la transformation directe du champ E, et la transformation déduite de celle du potentiel.
L’expression du champ est correcte.
Il n’est pas vrai que le potentiel électrique est invariant.
Il varie du produit scalaire V.A ( vitesse * potentiel vecteur)
En dérivant le nouveau potentiel dans le nouveau repère tu retrouveras l’expression du champ.

Il ne faut pas traiter les champs et les potentiels comme des distances ou des scalaires invariants.
Au revoir.

undia · 08/04/2009 - 15h26

Bon je précise pour que l'on se comprenne bien : dans mon calcul je me contente de faire le changement de variable induit par la loi de transformation des coordonnées de Galilée et de dériver par rapport aux nouvelles coordonnées. Où est l'erreur si ce n'est que la transformation de Galilée n'est pas la bonne. On devrait donc trouver le même faux résultat en examinant comment se transforme la force de Lorentz sous la transformation de Galilée. Pourquoi n'est-ce pas le cas ?

phys4 · 08/04/2009 - 15h50

Je voulais dire que les champs ne se transforment pas comme des vecteurs représentant des segments de l’espace.
Lorsque tu as écrit E'=E+VxB, ce n’est pas la transformation galiléenne des coordonnées que tu appliques, mais une loi de l’EM, qui nous dit comment transformer ce type de vecteur.
Il faut donc connaître aussi quelle loi de l’EM doit être appliquée au potentiel.
En toute rigueur, il manque dans ces relations un tas de termes négligeables quand v << c.
Il faut bien marcher avant de courir, n’est ce pas ?

undia · 08/04/2009 - 18h35

Envoyé par phys4

Je voulais dire que les champs ne se transforment pas comme des vecteurs représentant des segments de l’espace.

Oui c'est juste. D'ailleurs les potentiels (V/c,A) formant un quadrivecteur se transforment comme (ct,r) et l'on peut obtenir, en faisant tendre c vers l'infini, la loi galiléenne correspondante ce qui revient pour les champs à exprimer l'invariance de la force de Lorentz.

Merci en tous cas.

Jeanpaul · 08/04/2009 - 22h01

Envoyé par phys4

Je voulais dire que les champs ne se transforment pas comme des vecteurs représentant des segments de l’espace.

Pour dire la même chose de manière plus snob, on peut dire que la nature tensorielle des champs n'est pas claire en mécanique newtonienne.
On trouve le même problème avec l'énergie cinétique : comment se transforme-t-elle quand on change de référentiel galiléen ? Pas comme un scalaire sinon elle ne changerait pas, pas comme un vecteur car il n'y a qu'une composante, alors quoi ? Réponse : rien. En Relativité, ça va déjà mieux grâce au quadrivecteur impulsion-énergie.