La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

[invitedd3e3caf]

Bonjour,

Si on considère (f,E) couple fonction propre, valeur propre d'un hamiltonien H,
1°) Peut-on dire que la fonction conjuguée f* est aussi fonction propre de H avec la même valeur propre ?
H |f>=E|f> par conjugaison hermitique, j'obtiens
<f| H[+] = <f| E[*]
Ce qui revient à écrire H f*=E f*.
Qu'en pensez-vous ?

2) f et f* désignent-elles le même état physique ?
Je dirai oui, car les modules au carré sont identiques, bien que les 2 états ne diffèrent pas seulement d'un facteur de phase.
Vos avis sur la proposition ?
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[invite54165721]

contre exemple avec l'onde plane exp(ikx) de valeur propre k
exp(-ikx) a pour valeur propre -k
l'opérateur H n'est pas invariant par conjugaison.

[Thwarn]

contre exemple avec l'onde plane exp(ikx) de valeur propre k
exp(-ikx) a pour valeur propre -k
l'opérateur H n'est pas invariant par conjugaison.

Attention, exp(-ikx) a une impulsion -k mais à bien la meme energie que exp(ikx).
Bien entendu l'hamiltonien est hermitique!
Pour l'impulsion, il faut faire attention à la conjugaison, car meme si un i intervient dedans, il est aussi hermitique.

[mariposa]

Bonjour,

Si on considère (f,E) couple fonction propre, valeur propre d'un hamiltonien H,
1°) Peut-on dire que la fonction conjuguée f* est aussi fonction propre de H avec la même valeur propre ?
H |f>=E|f> par conjugaison hermitique, j'obtiens
<f| H[+] = <f| E[*]
Ce qui revient à écrire H f*=E f*.
Qu'en pensez-vous ?

2) f et f* désignent-elles le même état physique ?
Je dirai oui, car les modules au carré sont identiques, bien que les 2 états ne diffèrent pas seulement d'un facteur de phase.
Vos avis sur la proposition ?

Bonjour,

Si |f> est fonction propre de H avec la valeur propre E dans l'espace de Hilbert Hb.

<f| est fonction propre de H avec la valeur propre E dans l'espace de Hilbert dual Hb*.

En bref |f> et <f| n'appartiennent pas au même espace et donc ne peuvent être conjointement vecteurs propres de H.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd3e3caf]

Pourtant

peut s'écrire
donc
avec H hermitique et E réel amène à

Soit donc
Par conjugaison hermitique, on obtient

Donc

et ma conclusion que la fonction conjuguée f* est aussi fonction propre de H avec la même valeur propre.
Qu'est-ce qui est incorrect dans ce qui précède ?

[mariposa]

peut s'écrire

Qu'est-ce qui est incorrect dans ce qui précède ?

Le H de ta première ligne ne peut pas être le même H que ta deuxième ligne.

[invitedd3e3caf]

Le H de la seconde ligne n'est-il pas seulement H en représentation x ? Il me semble voir cela dans des livres pour passer de la relation H |f> à une relation s'appliquant à des fonctions ?

[mariposa]

Le H de la seconde ligne n'est-il pas seulement H en représentation x ? Il me semble voir cela dans des livres pour passer de la relation H |f> à une relation s'appliquant à des fonctions ?

Effectivement. Il ne faut donc pas confondre un opérateur et une representation de celui-ci dans une base déterminée (ici la representation [r}. Donc il faut que tu écrives correctement la deuxième ligne à partir de la première ligne.

[invitedd3e3caf]

Pour écrire la relation en représentation ,
Si n'est pas correct, quelle est l'écriture correcte ?

[mariposa]

Pour écrire la relation en représentation ,
Si n'est pas correct, quelle est l'écriture correcte ?

l'écriture est presque correcte, ce qui ne va pas est que tu ne peux pas utiliser le même symbole pour l'opérateur H et sa representation dans une base. Pour passer de la deuxième ligne à la première il faut introduire la relation de fermeture (l'opérateur identité).

[Thwarn]

Pour completer ce que dit mariposa, dans le cas general, tu ne peux pas dire que <x|H=H<x| (ou H(x)<x|) car des qu'il y a P dans H (ce qui arrive souvent ), H n'est pas diagonal dans la base |x> du fait de la derivé.