Démonstration physique de la conservation de la longueur d'onde du photon réfracté.

[triall]

Bon allez fin de la récré , retournons au sujet, car j'ai trouvé un article très intéressant sur "pour la science " fev 2009 ; dans les actus sur la conservation de la longueur d'onde ou pas ..
C'est une expérience , écoutez bien : Quand une impulsion laser parcourt de haut en bas une fibre optique suspendue, celle ci se courbe de gauche à droite en 1/5 de sec : elle subit un recul à la sortie de la lumière !
Comme l'eau quoi !!!
Expérience faite par Weilong She et ses collègues.
Je vous dis que la lumière n'est pas si magique qu'on le croit !
Ce qui montrerait que la lumière perd de la quantité de mouvement en entrant dans un milieu d'indice n (comme je l'avais suggéré à Mario) . Quantité qu'elle regagne en sortant avec cet effet de recul!

dans l'article, il est dit aussi que Minkowski en 1908calcula lui que la quantité de mvt augmente quand la vitesse de propagation diminue (contre intuitif , ça ne m'étonne pas) ; tandis que Max Abraham donnait la conclusion inverse.

Ils disent plus loin que la thèse d'Abraham semble plus intuitive , tandis que celle de Minkoski semble plus proche des lois quantiques : la quantité de mvt d'un photon augmente quand la longueur d'onde diminue . , or la longueur d'onde est plus petite dans du verre que dans l'air . ...
Ils concluent que d'autres expériences devront confirmer .

Qu'en est-il alors du photon de mariposa qui vogue d'atome en atome à c ? ...
Cette info va intéresser au plus haut point notre théoricien MarioB.

Cordialement
-----

[Médiat]

Evidemment pour le mathématicien les nombres réels sont des objets mathématiques (de référence). pour les physiciens ce sont des données empiriques (je prend volontairement cette expression pour éviter l'expression: "font partie de la nature".

C'est une façon de dire les choses qui me va "presque" bien cf. la suite

Par contre physiciens et mathématiciens seront d'accord pour dire que les nombres complexes ne font pas partie de la "nature".

Pour moi les réels ne font pas plus partie de la "nature" (même avec les guillemets) que les complexes, je n'ai jamais expérimenté (empirisme) de nombre qui ne soit un nombre entier ou une fraction très simple ; je crois simplement que, sans distinguer physiciens, mathématiciens, ou autre, nous sommes plus habitué aux nombres réels qu'aux complexes et nous avons l'impresion qu'en cela ils sont plus concrets. Un de mes profs de maths, Choquet si j'ai bonne mémoire (il y a 40 ans), disait "ce qui est abstrait c'est ce qui devient concret au bout de deux ans" ... (Il était peut-être un peu optimiste )

la nature est un concept ambigüe qu'il vaut mieux laisser aux philosophes.

D'accord 100%.

[Médiat]

Non, il ne fallait pas interpréter le terme "s'approcher" comme cela, il vaut mieux le comprendre comme "s'éloigner de l'ignorance", sinon forcément ça reviendrait au même que de vouloir quantifier l'infini.

Mais alors, si s'éloigner de l'ignorance veut bien dire ce que je comprends et pour que ce sens ne soit pas synonyme de "s'approcher de la vérité", cela veut seulement dire que l'on a changé de modèle, ou amélioré un modèle, on reste donc bien dans la modélisation.

Si vous avez été mathématicien, qu'est-ce-qui vous a poussé à l'être ?

D'abord, je suis (toujours) mathématicien, et je ne le suis pas devenu, c'est ma nature profonde.

[invitea774bcd7]

Tiens donc : et la fonction d'onde de la Mécanique quantique, essentiellement complexe, ne fait ``pas partie de la nature'' ? (relire le 3ème papier de 1926 de Schrödinger)

Bien sûr que non… Mère Nature ne sait pas ce qu'est une fonction d'onde

[Médiat]

Je crois que je suis capable de dire que si les réels sont des données empiriques, les complexes aussi.

Je n'avais pas lu votre réponse avant de donner la mienne, nous sommes donc d'accord.

Et les réels non plus. Les entiers non plus. (Pardon Kronecker...)

Pire encore, Kronecker les attribuait à Dieu, heureusement que Peano nous a sauvé !

[ansset]

Quantité qu'elle regagne en sortant avec cet effet de recul!

heuu !! je suis naif !
il est ou l'effet "recul" ??
une énergie non visible et mesurable ??

[mariposa]

Je crois que je suis capable de dire que si les réels sont des données empiriques, les complexes aussi.


Et les réels non plus. Les entiers non plus. (Pardon Kronecker...)


La preuve, cette partie de fil qui tourne en rond!
Les réels OUI, les complexes NON! (sur le ton de l'eau férrugineuse...)

Cela tourne en rond parce que la discussion manque de simplicité et tombe dans l'épistémologie de comptoir.

Un enfant très jeune peut facilement comprendre ce que veut dire 3, 5 etc... On lui apprend à compter sur ces doigts. Et peu plus tard il comprendra qu'il mesure 1,03 m et que son père mesure 1,78 m.

La connaissance des entiers naturels ou des réels fait partie d'une aptitude humaine "spontanée" et il facile de comprendre que ces nombres sont en rapport avec le quotidien et sont malgré tout déjà un langage mathématique. C'est ce que j'appelle des données empiriques de l'existence humaine (les singes ont peut-être une connaissance des entiers).

Les nombres complexes sont bien au contraire le produit d'une très longue réflexion et donc à l' opposé de la connaissance "spontanée".

On enseigne les nombres complexes d'abord au lycée comme un outil par exemple pour calculer l'impédance d'un condensateur en parallèle avec celle d'une self.

Plus tard dans le premier cycle universitaire on explique dans les couirs de maths le rapport entre le corps des complexes C et R2. Peut-être que l'on introduit des representations de C par des Mat(2,R), mais c'est rare.

Enfin pour qui font un cursus purement mathématique ou un DEA de physique théorique on montre l'essence des complexes dans le cadre des algébres de Clifford.

En bref il y a un gap énorme entre un enfant de 10 ans (et toute la population française) qui peut manipuler au quotidien les nombres réels et les très rares étudiants de 23 ans qui peuvent gouter au plaisir de comprendre toutes les subtilités des nombres complexes dans un monde de Clifford.

[mariposa]

C'est une façon de dire les choses qui me va "presque" bien cf. la suite

Pour moi les réels ne font pas plus partie de la "nature" (même avec les guillemets) que les complexes, je n'ai jamais expérimenté (empirisme) de nombre qui ne soit un nombre entier ou une fraction très simple

Pourtant si.

Tu donnes à un enfant 7 bonbons. Apres quoi tu enlèves 3. Il comprendra qu'il en restera 4 et te le feras savoir.

En entretenant un rapport avec la réalité empirique il fait office de physicien (il les voit, les touche, les mange..). En utilisant ce qui est de l'ordre du langage il fait office de mathématicien.

; je crois simplement que, sans distinguer physiciens, mathématiciens, ou autre, nous sommes plus habitué aux nombres réels qu'aux complexes et nous avons l'impresion qu'en cela ils sont plus concrets.

Un de mes profs de maths, Choquet si j'ai bonne mémoire (il y a 40 ans), disait "ce qui est abstrait c'est ce qui devient concret au bout de deux ans" ... (Il était peut-être un peu optimiste )

Cette définition du concret/abstrait revient à dire que ce qui est abstrait peut devenir familier et donc concret. Cette définition n'a rien à voir avec le sens véritable du mot abstrait.

Exemple: 2 chats sont une abstraction dans la mesure où ce sont dez animaux ayant des propriétés communes (abstraction faites de la taille, la couleur, la longueur des piols etc..).

le groupe du tétraedre et le groupe des permutations S4 ont même table de multiplication ce qui permet de définir un groupe abstrait par sa seule table de multiplication (c'est comme les chats).

[Médiat]

La connaissance des entiers naturels ou des réels fait partie d'une aptitude humaine "spontanée"

Pas si spontanée que cela quand on regarde l'histoire de ces nombres (les "simples" algébriques étant nommés incommensurables.

En bref il y a un gap énorme entre un enfant de 10 ans (et toute la population française) qui peut manipuler au quotidien les nombres réels et les très rares étudiants de 23 ans qui peuvent gouter au plaisir de comprendre toutes les subtilités des nombres complexes dans un monde de Clifford.

Il y a un gap énorme entre un enfant de 10 (et toute la population française) qui peut comprendre facilement que quand une pomme se détache d'un arbre elle tombe, et un étudiant interprétant les données issues d'une chambre proportionnelle multifilaire. Est-ce que pour autant ce que fait l'étudiant est moins "physique" que la gravité ?

Je répète : "ce qui est abstrait c'est ce qui devient concret au bout de deux ans", ce qui veut bien dire qu'il y a apprentissage.

[mariposa]

Tiens donc : et la fonction d'onde de la Mécanique quantique, essentiellement complexe, ne fait ``pas partie de la nature'' ? (relire le 3ème papier de 1926 de Schrödinger)
Quand on fait tourner d'un tour complet une particule de spin 1/2, d'où le facteur (-1), cela ne fait ``pas partie de la nature'' ? (voir les expériences d'interférences d'Overhauser et al.)

Tiens donc!!!


La physique classique comme la MQ décrivent les phénomènes physique en tremes de representations.

En classique l'évolution d'une particule est décrite dans un espace R6 et décrit une courbe paramétrée par le temps.

En MQ l'évolution de la particule est décrite par l'évolution d'un ket| > dans un espace de Hilbert construit sur le corps des complexes.

C'est à partir de cet espace que l'on décrire les mesures éxpérimentales en termes de nombres réels et rien autre.

[triall]

heuu !! je suis naif !
il est ou l'effet "recul" ??
une énergie non visible et mesurable ??

Bonsoir , ce n'est pas moi qui le dit c'est l'article et apparemment l'expérience dont les polémiqueurs alentours, complètement hors sujet , n'ont même pas daigné lire. A lire donc le post précédent message 91 qui revient sur le sujet avec une expérience concrète.Il y a bien eu un effet de recul noté selon les expérimentateurs. Cet effet de recul avec les tuyaux d'eau est bien connu des pompiers .Il s'explique simplement avec la conservation de la quantité de mouvement , et pour l'eau , et pour la lumière !

Pour les polémiqueurs, ce que vous faites s'appelle polluer un post, votre discussion est peut -être interessante mais n'a pas sa place sur ce post .C 'est hors sujetQue fait la modération !!
Créez un nouveau sujet !
Cordialement

[stefjm]

Pourtant si.
Tu donnes à un enfant 7 bonbons. Apres quoi tu enlèves 3. Il comprendra qu'il en restera 4 et te le feras savoir.
En entretenant un rapport avec la réalité empirique il fait office de physicien (il les voit, les touche, les mange..). En utilisant ce qui est de l'ordre du langage il fait office de mathématicien.

On parlait de réels et tu nous sors des exemples d'entiers! (ou de rationel) (Mais il y a quand même modélisation... même avec des entiers.)
Les réels n'ont rien d'intuitif (d'abord, on parle de ceux qui découlent des séries de Cauchy ou des coupures de Dedekind? Ha bon, c'est pareil?) Vachement intuitifs. )

Tu remplaces réels par entiers et je serais déjà plus près d'accepter ton empirisme.

Cordialement.

[invitea774bcd7]

PRL, 101, 243601 (2008) pour ceux que ça intéresse

[stefjm]

Bonsoir , ce n'est pas moi qui le dit c'est l'article et apparemment l'expérience dont les polémiqueurs alentours, complètement hors sujet , n'ont même pas daigné lire. A lire donc le post précédent message 91 qui revient sur le sujet avec une expérience concrète.Il y a bien eu un effet de recul noté selon les expérimentateurs. Cet effet de recul avec les tuyaux d'eau est bien connu des pompiers .Il s'explique simplement avec la conservation de la quantité de mouvement , et pour l'eau , et pour la lumière !

J'ai lu. Si t'avais mis un lien, j'aurais lu le lien.

Pour les polémiqueurs, ce que vous faites s'appelle polluer un post, votre discussion est peut -être interessante mais n'a pas sa place sur ce post .C 'est hors sujetQue fait la modération !!
Créez un nouveau sujet !

Ce n'est pas hors sujet. C'est en plein dans la modélisation que propose MarioB.
On lui oppose des arguments de cours de récréation du genre :
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2649865
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2651201

J'ai donné des contres-exemple simples.

Laissons MarioB décider de ce qui est dans le sujet de ce fil.

Cordialement.

[stefjm]

PRL, 101, 243601 (2008) pour ceux que ça intéresse

Ca m'interesse mais ton lien marche pô!

[triall]

J'ai lu. Si t'avais mis un lien, j'aurais lu le lien.
Cordialement.

Pas de lien c'est sur la revue pour la science , et il me semble que ça bouscule un peu les idées.
Si l'on en croit l'expérience alors, la longueur d'onde serait bien conservée dans un milieu d'indice n . En fait ça revient ce qu 'espliquait Mariposa quand il expliquait que le photon(ou l'onde ) allait d'atome en atome à c .

Il n'y aurait plus trop de mystère en fait , la lumière perd de la quantité de mouvement en la donnant au milieu, celui ci la rend quand la lumière sort . On peut estimer alors que la longueur d'onde de la lumière est conservée , sa vitesse moyenne baisse , mais elle reste c entre les atomes.
Cordialement .

[Armen92]

Bien sûr que non… Mère Nature ne sait pas ce qu'est une fonction d'onde

Est-ce que Mère Nature connaît les entiers ?

[MarioB]

Cher tous, bonsoir,


j'adresse cette nouvelle tentative de démonstration de la conservation de la longueur d'onde de l'onde associée au photon réfractée à ce qui avait eu des difficultés avec l'autre démonstration.

Cette fois-ci, j'espère que vous allez mieux me comprendre: cette fois, j'utilise un principe que vous connaissez bien:la conservation de l'énergie et cette fois, vous ne trouverez plus parfaitement farfelus ces travaux.

Soit l'équation de conservation que je vous propose:

hc / l + hc / l * ( n - 1 ) = ( hc / lx ) * n; ( n est l'indice de

réfraction ),


càd la somme des énergies initiales doit etre égale à l'énergie totale finale.

L' inconnue à trouver est lx: longueur d'onde associée au photon finale.

Si l'on simplifie par hc dans les 2 membres de l'équation on obtient:


1/l + ( n - 1 )/l = n / lx



ce qui conduit à la loi suivante:


( l + l * ( n - 1 )) / l² = n / lx


Soit cette équation après calcul :


l² / (n * l) = lx / n quand on prend l'inverse de l'équation précédente après calculs.


Soit la solution lx:


lx = l çàd conservation de l !

je sais que cela semble bizarre mais cela peut s'expliquer en comprenant que dans un milieu réfringent l'onde et la quasi-particule le photon, suivraient 2 lois distinctes: l'une conservant la longueur d'onde associée au photon et l'autre faisant dépendre la longueur d'onde de l'onde, de la vitesse de propagation dans le milieu réfringent l = V / v , comportements mutuels qu'on ne constaterait pas dans le vide ou beaucoup moins facilement.

Je ne sais pas ce que vous en pensez mais je sens que cette idée n'est pas parfaitement farfelue..


Au revoir.

[invitea774bcd7]

Ca m'interesse mais ton lien marche pô!

Bah je l'ai téléchargé sans problème…

[invitea774bcd7]

Est-ce que Mère Nature connaît les entiers ?

Hmmm…
Je dirais non

[vaincent]

Pour moi les réels ne font pas plus partie de la "nature" (même avec les guillemets) que les complexes, je n'ai jamais expérimenté (empirisme) de nombre qui ne soit un nombre entier ou une fraction très simple ; je crois simplement que, sans distinguer physiciens, mathématiciens, ou autre, nous sommes plus habitué aux nombres réels qu'aux complexes et nous avons l'impresion qu'en cela ils sont plus concrets. Un de mes profs de maths, Choquet si j'ai bonne mémoire (il y a 40 ans), disait "ce qui est abstrait c'est ce qui devient concret au bout de deux ans" ... (Il était peut-être un peu optimiste )

Ce n'est quand même pas comme si nous n'avions que très peu de recul sur la signification des nombres complexes. Vous n'avez pas réagi par rapport à mon exemple des tachyons. Pourtant il montre tres bien qu'une solution imaginaire n'est pas acceptable physiquement et cela fait consensus ! Je suis très loin d'être le seul à le penser. Pardonnez-moi mais j'ai plus tendance à faire confiance à toute une commauté scientifique qu'à quelques personnes. Je me suis moi-même fait mon propre avis bien entendu sur la question et je sais que le carré d'un nombre(qui possède une signification physique) ne peut-être négatif, je suis donc d'accord avec la communauté. L'abstraction qui consiste à le poser tout de même apporte bon nombre de simplifications au sein des modèles et une représentation très pratique de ceux-ci, ça s'arrête là. S'en rendre compte c'est savoir faire la part des choses comme le font les physiciens depuis que les nombres complexes ont une utilité dans leur travail.

[Médiat]

Ce n'est quand même pas [...] une utilité dans leur travail.

Vous êtes décidément très tétu, vous me reprochez, avec exemples à l'appui, d'affirmer que les complexes existent dans la "nature", alors que je n'arrête pas, au contraire, de dire que non seulement ils n'y existent pas, mais que les limites des suites de Cauchy de nombres rationnels ne s'y trouve pas plus. Cela devient une mauvaise habitude que de me faire dire ce que je ne dis pas.

A propos des tachyons, que direz-vous si un jour on en détecte ?

[invite6754323456711]

Y compris de dire des truc du genre :
« Les réels sont réels car ils sont réels, contrairement au complexe qui ne sont qu'une modélisation, puisqu'on sait bien qu'un carré est toujours positif? »

Vous ne pouvez pas me laisser dire des choses comme ça! Si?

Pourquoi les complexes nous permettent de comprendre "visuellement" les comportements des séries entières. Ce qui, me semble t'il, n'est pas possible si nous les considérons comme des structures à variables réelles.

Par exemple soit la fonction à variable réelle (1 + x²)^-1. qu'elle est sa singularité ?

Maintenant si elle s'applique à une variable complexe (1 + z²)^-1 elle possède la singularité au deux point -i et +i

Quel rapport avec la convergence/divergence des séries entières correspondantes ?

Pour toute série entière a₀ + a₁z + a₂z² + a₃z³ + ... il existe sur le plan complexe un cercle centré sur 0 et appelé "cercle de convergence", ayant comme propriété que si le nombre complexe z réside strictement à l'intérieur du cercle, alors la série converge pour cette valeur de z, tandis que pour les valeurs de z situées strictement en dehors du cercle la série diverge.

Dans le cas de (1 + z²)^-1 les singularités (pôles) sont situés à une distance unité de l'origine et le cercle de convergence est le cercle de rayon unité centré sur l'origine.

réels si réels et complexes si complexes ?

Patrick

[mariposa]

Tu remplaces réels par entiers et je serais déjà plus près d'accepter ton empirisme.

Cordialement.

J'ai également donné un exemple (parmi des milliers du même type) de nombres réels que comprend sans effort un enfant de 10 ans.

On peut comprendre quelque chose des réels (enfant de 10 ans) sans même savoir ce qu'est un corps (niveau bac +1=).

[stefjm]

J'ai également donné un exemple (parmi des milliers du même type) de nombres réels que comprend sans effort un enfant de 10 ans.
On peut comprendre quelque chose des réels (enfant de 10 ans) sans même savoir ce qu'est un corps (niveau bac +1=).

Je n'ai pas vu ton exemple de nombre réel.
Pour un enfant de 10 ans, une distance (la taille de papa?) n'a rien d'un réel. Au mieux un rationnel et encore on peut faire sans : 178 centimètres=178/100 mètre

Et puisque tu parle de corps, il me semble bien que Q en est un!

Après avoir refuser à i (i^2=-1) d'être une grandeur physique, que dire de ?

On va finir pythagoricien si on continue comme cela!

Cordialement.

[mariposa]

Je n'ai pas vu ton exemple de nombre réel.
Pour un enfant de 10 ans, une distance (la taille de papa?) n'a rien d'un réel. Au mieux un rationnel et encore on peut faire sans : 178 centimètres=178/100 mètre

Et puisque tu parle de corps, il me semble bien que Q en est un!

Après avoir refuser à i (i^2=-1) d'être une grandeur physique, que dire de ?

On va finir pythagoricien si on continue comme cela!

Cordialement.

Quand tu interviens tu te mets exclusivement du point de vue mathématicien et je n'ai rien à dire là-dessus, grosso-modo je suis d'accord.

Ce que j'essaie de dire est qu il y a une connaissance éxpérimentale (le coté empirique des choses) que j'assimile à la physique (pour simplifier) qui s'exprime dans des langages. Une partie de ce langage va progressivement au cours de l'histoire devenir un corps autonome que l'on appelle les mathématiques. Une autre partie de ce langage va devenir des concepts physiques.

Je tiens vraiment à faire la différence entre la physique comme discours élaboré sur le réel et le langage mathématique qui a sa propre logique et sa propre cohérence.

Les mathématiciens parlent de mathématiques appliquées et certains croient que la physique c'est de la mathématique appliquée. Horreur.

[invite6754323456711]

Je me suis moi-même fait mon propre avis bien entendu sur la question et je sais que le carré d'un nombre(qui possède une signification physique) ne peut-être négatif,

1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + ... = (1 - x²)^-1

Pour x = 2 ==>

1 + 2² + 2⁴ + 2⁶ + 2⁸ + ... = (1 - 2²)^-1 = -1/3

Il est important de signaler que dans la physique moderne , et plus particulièrement dans le domaine de la théorie quantique des champs, nous rencontrons fréquemment de telles séries divergentes.

....

Le sens que l'on peut attribuer à ces expressions qui semblent apparemment en être dénuées dépend souvent, et de manière cruciale, des propriétés des nombres complexes.

Patrick

[stefjm]

Ce n'est quand même pas comme si nous n'avions que très peu de recul sur la signification des nombres complexes. Vous n'avez pas réagi par rapport à mon exemple des tachyons. Pourtant il montre tres bien qu'une solution imaginaire n'est pas acceptable physiquement et cela fait consensus !

Tu n'as pas l'air de comprendre un point important :
Pour 10 exemples de solutions compexes non acceptables physiquement que tu exhiberas, je te proposerai 10 exemples de solutions complexes acceptables physiquement.

Je suis très loin d'être le seul à le penser. Pardonnez-moi mais j'ai plus tendance à faire confiance à toute une commauté scientifique qu'à quelques personnes.

Désolé, cela fait quelqu'année déjà que je réfléchis par moi même. Je te conseille de faire de même. Cela n'empèche pas le débat avec les autres.

Je me suis moi-même fait mon propre avis bien entendu sur la question et je sais que le carré d'un nombre(qui possède une signification physique) ne peut-être négatif, je suis donc d'accord avec la communauté.

Comment définis-tu ce que j'ai mis en gras?

Je t'assure que dans une modélisation donnée, je trouve une signification physique très claire au nombre complexe suivant :

Je t'accorde volontier que sans son conjugué, je serais un peu gêné, mais pas plus que si tu me refusais la solution négative de x^2-1=0.

L'abstraction qui consiste à le poser tout de même apporte bon nombre de simplifications au sein des modèles et une représentation très pratique de ceux-ci, ça s'arrête là. S'en rendre compte c'est savoir faire la part des choses comme le font les physiciens depuis que les nombres complexes ont une utilité dans leur travail.

C'est bien plus qu'une simplification! Comment justifier de s'arrêter là. (D'ailleurs, qu'est ce que cela veut dire?)

Cordialement.

[vaincent]

1 + x² + x⁴ + x⁶ + x⁸ + ... = (1 - x²)^-1

Pour x = 2 ==>

1 + 2² + 2⁴ + 2⁶ + 2⁸ + ... = (1 - 2²)^-1 = -1/3



Patrick

Bien essayé, sauf que cela ne fonctionne que lorsque |x|<1. ça ne t'as pas semblé bizarre qu'une somme infinie de nombres strictement positifs soit égale à un nombre négatif ?

[vaincent]

Vous êtes décidément très tétu, vous me reprochez, avec exemples à l'appui, d'affirmer que les complexes existent dans la "nature", alors que je n'arrête pas, au contraire, de dire que non seulement ils n'y existent pas, mais que les limites des suites de Cauchy de nombres rationnels ne s'y trouve pas plus. Cela devient une mauvaise habitude que de me faire dire ce que je ne dis pas.

A propos des tachyons, que direz-vous si un jour on en détecte ?

J'avoue que je ne vois plus ce que vous défendez alors ?!

Si l'on découvre des tachyons, je me poserais d'abord la question de savoir si je ne vis pas dans un monde imaginaire ! Après j'essayerai de savoir comment un détecteur de particules de masse imaginaire pur fonctionne !