Mécanique analytique, fonction potentielle et changement de direction d'une particule

[arbolis87]

Bonjour,
Je ne sais pas comment commencer ce probleme: "Une particule de masse m et de vitesse abandonne la région de l'espace ou son énergie potentielle est constante et vaut et entre dans une région de l'espace dans laquelle son énergie potentielle est a nouveau constante mais de valeur . Déterminez le changement de direction du mouvement de la particule."
Comme je suis en train d'étudier la mécanique lagrangienne, je suppose que je dois utiliser le lagrangien de la particule. Je me rend compte que le lagrangien change des que la particule change de région. Mais je ne vois pas comment trouver le changement de direction de la particule.
J'ai quand meme calculé la différence des lagrangiens qui représentent la dynamique de la particule dans l'espace... mais je ne suis pas sur que ca ait un sens.
J'aimerais bien avoir un petit coup de main.
Merci.

[Jeanpaul]

On peut quand même supposer que le changement de U ne se produit pas dans une zone infiniment petite. Dès lors, il existe une force F selon le gradient de potentiel.
La vitesse normale à cette direction est conservée et la vitesse selon cette direction change selon delta(1/2 m vn²) = - delta(U) dans la mesure où cette variation reste faible.
On peut alors aisément prédire le changement de direction.
Je ne vois pas bien ce que Lagrange apporterait.

[arbolis87]

On peut quand même supposer que le changement de U ne se produit pas dans une zone infiniment petite. Dès lors, il existe une force F selon le gradient de potentiel.
La vitesse normale à cette direction est conservée et la vitesse selon cette direction change selon delta(1/2 m vn²) = - delta(U) dans la mesure où cette variation reste faible.
On peut alors aisément prédire le changement de direction.
Je ne vois pas bien ce que Lagrange apporterait.

D'accord et merci pour la réponse. Lorsque vous dites "le changement de U ne se produit pas dans une zone infiniment petite." vous supposez que le changement de U s'effectue dans une zone petite? Comme un différentiel x par exemple?

Je reviens de l'université et j'ai demandé a un ami comment il a résolut le probleme. Il a utilisé le lagrangien. De mémoire il a écrit .
Ensuite il a dit que l'énergie se conservait puisque le lagrangien ne dépend pas explicement du temps (meme si dépend explicitement du temps).
Donc .
De plus, une translation verticale de la particule (si la séparation des zones de l'espace est un plan vertical) ne doit pas changer le lagrangien, donc le moment linéaire dans la direction "y" (verticale) est conservé.
En écrivant et en utilisant l'équation de l'énergie, on peut résoudre le probleme.
Je vais essayer de le faire. J'espere que ma mémoire ne m'a pas trompé. J'espere aussi arriver au meme résultat qu'avec ta méthode.

[arbolis87]

Je viens d'essayer la méthode de mon ami et j'obtiens . Je ne sais pas comment obtenir le résultat final Ne serait-ce que ?. Au moins si j'obtiens aucun changement de direction (la vitesse en y ne change pas et celle de x non plus).
Je voudrais essayer ta méthode mais je ne vois pas ce que représente n dans la formule.

[LPFR]

J
Je voudrais essayer ta méthode mais je ne vois pas ce que représente n dans la formule.

Bonjour.
Il s'agit de ½ m v_n². Le 'n' est pour "normale", la vitesse perpendiculaire à l'interface.
Au revoir.

[Jeanpaul]

Effectivement, n est la normale. Merci à LPFR de le préciser. Tout ça revient exactement au même : évoquer l'invariance par translation le long de l'interface ou dire que la force est nulle, c'est pareil. Et la conservation de l'énergie, pareil aussi.
Il fait préciser que l'interface n'est pas infiniment mince sinon on ne peut parler de force (elle est infinie).
Intéressant de remarquer que ça ne donne pas la loi de Descartes car la vitesse change.

[arbolis87]

Ok merci a vous deux. Je retrouve exactement la meme solution. Ensuite pour la direction, selon mon dessin j'ai ou est la variable.
Probleme résolu.