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GROUPES POUR PHYSICIENS : partie 1.
On rappel sans commentaires la définition axiomatique de la structure de groupe G.
1- Loi de composition interne.
2- Loi associative.
3- Existence d’un élément neutre.
4 – Existence d’un « symétrique »
5- Groupes commutatifs et groupes non commutatifs.
En physique la première notion dont on a un besoin en priorité est la notion d’action de groupe.
Une notion d'action .
Soient l’ensemble des entiers relalifs Z. cad des nombres tels que …..–6,.. 0,… 44, ..
On va repenser l’addition des nombres :
Au lieu d’avoir : 4 + 3 = 7
On écrit : 4 + 3 = 7 et on dit que 4 agit sur 3 pour donner 7
Cela veut dire que 4 est opérateur qui agit sur tous les éléments de Z et pas seulement 3.
On remarque que 4 agissant sur l’ensemble des Z redonne Z que l’on peut écrire symboliquement:
4.{Z} = {Z}
On dira en physique que l’opérateur 4 laisse invariant l’ensemble {Z} : l’opérateur 4 agit comme un registre à décalage d’une valeur 4.
La structure de groupe des actions d' opérateurs.
4 n’est pas le seul opérateur il y a également –15, …. + 4890,…. etc… Bref tous les opérateurs s’identifient à Z. Pour ne pas faire de confusion et pour des questions d’anticipations l’ensemble Z dont nous avons parlé s’appellera ensemble E ou encore espace cible E.
Si on s’intéresse à l’ensemble des opérateurs tel que 4 il est facile de vérifier que l’ensemble des opérateurs possèdent la structure de groupe où la loi de composition interne est l’addition.
On note que l’élément neutre est l’opérateur 0. Le symétrique de l’opérateur 4 est – 4 car 4 + (-4) = 0.
Par exemple : [4 + 7] + 3 = 33
Avec [4 + 7] = [11] qui est la loi de composition interne du groupe des opérateurs.
Nous avons donc 2 ensembles l’ensemble cible E et l’ensemble des opérateurs O que nous noterons G. L'action des opérateurs laissent invariant l’ensemble E. L’ensemble des opérateurs O possèdent la structure de groupe noté G.
Que l’on notera d’une manière universel par un couple :
(G,E)
G est l’ensemble des opérateurs ,ce sont des dominateurs et E l’ensemble qui subit, ce sont des dominés.
L’inconvénient de cette première introduction est que l’ensemble cible et l’ensemble des opérateurs se ressemblent fortement. On va donc se débarrasser progressivement de cette « symétrie ».
Une nouvelle action de groupe sur E, G = Zp : les opérateurs pairs.
Comme ensemble cible E on garde l’ensemble Z précédent. Comme ensemble d’opérateurs on prend le sous-groupe des nombres pairs.
La notion de sous-groupe s’impose naturellement. Il faut que les éléments du sous-groupe H de G soient clos pour l'opération de composition interne qui est ici l'addition.
On a bien :
(-16) + (402) = 386 qui est bien un nombre pair qui, appartient à Zp.
Nous avons bien maintenant 2 ensembles distincts que l'on ne peut plus confondre. On note symboliquement:
(G,E) = (Zp, Z)
Question : Les nombres impairs forment t-ils un sous-groupe de G?.
Un nouvel ensemble cible : l’ensemble des réels R
Dans le couple formel (G, E)
On prend G = Z et E = R soit (Z,E)
Si on prend l’opérateur 4 il ajoute 4 à tous les nombres réels.
L’ensemble des réels a une odeur fortement géométrique. On dit qu’il s’agit d’une droite.
Donc l’opérateur 4 laisse invariante la droite. L’opérateur 4 acquière du même coup un statut géométrique : C’est la translation à droite de tous les points de la ligne d’une quantité + 4
L'opérateur + 4 laisse invariante la droite. L'ensemble des opérateurs Z laisse invariante la droite.
Remarque : On aurait pu prendre G = R et E= R
Soit: (G,E) = (R,R)
Ce groupe d’action laisse également la droite R invariante.
Il est clair que le groupe d'action Z est un sous-groupe du groupe d’action R.
Application:
On suppose un cristal linéaire composé d'atomes identiques espacés de 1 (qui sert en même temps d'unité de longueur) et de longueur infinie.
Visiblement le cristal est invariant sous les opérations de G = Z. On dit que le cristal est invariant sous le groupe de translation que l'on notera dans ce contexte physique T plutôt que Z.
Question: que pourrait-on dire d'un cristal composé de 2 atomes (on dit 2 atomes par maille) différents en alternance?
Commentaire: Comme Z (ou plutôt T) est un sous-groupe de R il ne faudra pas s'étonner que la physique des cristaux partagent moyennant quelques précautions des propriétés de l'espace libre. Par exemple l'impulsion P est une propriété de l'invariance par translation continu dans l'espace libre. On retrouvera cette même expression dans un milieu périodique et on appellera quasi-impulsion faisant le lien avec le coté purement mathématique de l'espace libre.
Remarque: Un vrai cristal a une longueur finie et donc il n'est pas invariant par translation. Pour remédier à ce fâcheux inconvénient on déclare que le dernier atome à droite est confondu (identifier) au premier atome à gauche. Dans ce cas on a bien une structure de translation discrète de groupe.
A l'évidence les conséquences physiques de cette symétrie ne peut concerner que le volume et non les phénomènes prêt de la surface. Encore faudra-t-il définir à partit de quand on se situe dans la surface. L'enjeu est extrêmement important puisque la théorie des bandes des cristaux repose sur le groupe de translation.
Sans théorie des bandes, pas de transistors, ni aucun composants optoélectroniques, pas de facebook, pas de site futura-sciences. Les groupes, c'est vraiment utile.
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Envoyé par Phys2 
est vraie, puisque la prémisse est toujours fausse.
