angle, une unité le radian mais pourquoi pas de dimension

[invite91f30b7b]

Bonjour,
Alors voila, pour une analyse dimensionnelle, on dit toujours que 2pi n'a pas de dimension, je le sais et j'en ai la preuve, mais je ne comprends pas pourquoi il a une unité..
Pouvez vous m'aider ?!
Merci d'avance
Respectueusement
-----

[arrial]

Bonsoir,


Il a une unité pour le différencier des précédentes unité historiques.
Mais il n'a pas de dimension, puisque l'angle en radians vaut le quotient de l'arc sur le rayon …


@+

[Amanuensis]

Bonjour,
Alors voila, pour une analyse dimensionnelle, on dit toujours que 2pi n'a pas de dimension, je le sais et j'en ai la preuve, mais je ne comprends pas pourquoi il a une unité..

On peut faire de l'analyse dimensionnelle avec l'angle comme dimension, mais c'est très risqué. L'une des raisons est que le produit d'un radian par un radian peut disparaître. Un exemple frappant est la force centrifuge, mω²r. Comme il s'agit bien d'une force, les radians au carré de ω² doivent disparaître.

Une autre raison pourquoi l'analyse dimensionnelle avec angle est risquée est que l'unité n'est utilisée que partiellement, par exemple pour la vitesse angulaire (en rad/s) ; mais il n'est pas d'usage de mentionner le radian pour le couple, qu'on donne en N.m (ce qui serait la même chose qu'un joule), alors qu'on pourrait le présenter en N.m/rad ou en J/rad (parce que le produit scalaire du couple par la vitesse angulaire est une puissance).

La présence d'un radian est souvent implicite, par exemple dans la différence entre vecteur et vecteur axial (ou pseudo-vecteur). Une sorte d'analyse dimensionnelle équivalente à l'introduction de l'angle comme dimension est possible en vérifiant les règles qui disent que le produit vectoriel de deux vecteurs "normaux" est un vecteur axial, que celui d'un axial et d'un normal est normal, et que celui de deux axiaux est axial.

Bref, manipuler une dimension d'angle est trop compliqué, ce qui rend le rapport bénéfice/inconvénient non avantageux. Par contre, les raisonnements ci-dessus justifie l'existence d'une unité.

[Amanuensis]

PS : L'argument qu'il s'agit d'un rapport de longueurs et donc sans dimension est parfaitement valide quand on parle de scalaires, comme des distances. L'angle comme dimension prend sens uniquement pour les grandeurs vectorielles (comme il était implicite dans le message précédent).

Un auteur a présenté cela en disant que le radian apparaît quand le "rapport" est entre vecteurs orthogonaux (ce qui est le cas dans le rapport entre le petit déplacement le long d'un cercle et le rayon). Dans le cas de vecteurs colinéaires, le rapport est sans dimension. (Ce qui, évidemment, va dans le sens de rendre encore plus difficile la manipulation d'une dimension d'angle. Mais aussi dans le sens de la justification de l'unité.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[arrial]

On peut faire de l'analyse dimensionnelle avec l'angle comme dimension, mais c'est très risqué.

Je ne comprends pas …

♦ arc : ds = r.dθ pas d’ambiguïté, scalaire ou vectoriel
♦ périmètre : P = 2π.R = π.D est la définition originelle de π, si je ne me trompe
♦ [m.ω².r] = M.T^-2.L est bien homogène à une force, si l'angle est sans dimension
♦ le couple est le produit vectoriel de la force par le bras de levier : pas d'angle là-dedans
♦ la puissance du couple est C.ω.
[C.ω] = [F.R.C.ω] = M.L.T^-2.L.T^-1 = M.L².T^-3
[F.x/t] = M.L.T^-2.L.T^-1 → on parle bien de puissances, à condition que le radian soit sans dimensions.
♦ Tous les vecteurs ont une intensité scalaire, dont l'unité est sans ambiguité, "vrai" ou "faux" vecteur …



@+

[Amanuensis]

Je ne comprends pas

Pas grave.

[stefjm]

Je ne comprends pas …

Ce n'est pas dans les livres mais ce n'est pas très compliqué pour autant.

♦ arc : ds = r.dθ pas d’ambiguïté, scalaire ou vectoriel
♦ périmètre : P = 2π.R = π.D est la définition originelle de π, si je ne me trompe

ds et P sont en L.rad pour tenir compte du fait de la rotation.

♦ [m.ω².r] = M.T^-2.L est bien homogène à une force, si l'angle est sans dimension

C'est valable aussi si le rad^2 est sans dimension.

♦ le couple est le produit vectoriel de la force par le bras de levier : pas d'angle là-dedans

Si, pi/2.
Le radian, ce serait la dimension de i. et comme i^2=-1, [rad^2]=[1]

C'est quand même ennuyeux qu'en AD classique, un couple et une énergie ait même dimension.
Additionner un couple et une énergie n'a quand même pas grand sens...

♦ la puissance du couple est C.ω.
[C.ω] = [F.R.C.ω] = M.L.T^-2.L.T^-1 = M.L².T^-3
[F.x/t] = M.L.T^-2.L.T^-1 → on parle bien de puissances, à condition que le radian soit sans dimensions.

Ça marche aussi avec le radian qui intervient à la fois dans le couple et dans la vitesse angulaire de rotation.

Je serais à ta place, je relierais le message de Amanuensis.

♦ Tous les vecteurs ont une intensité scalaire, dont l'unité est sans ambiguité, "vrai" ou "faux" vecteur …

Il s'agit de pseudo vecteur ou encore vecteur axial.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudovecteur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Orienta...ions_physiques

Notion qui découle des tenseurs.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur

Cordialement.

[stefjm]

Si, pi/2.
Le radian, ce serait la dimension de i. et comme i^2=-1, [rad^2]=[1]

ou bien la dimension de 1/i pour que le produit de l'exponentielle complexe soit sans dimension.

[arrial]

Ce n'est pas dans les livres mais ce n'est pas très compliqué pour autant.

Peut-être parce que ça ne se justifie pas ?

ds et P sont en L.rad pour tenir compte du fait de la rotation.

Pour moi, ds et P sont en mètres. C'est quoi un L.rad ?

C'est valable aussi si le rad^2 est sans dimension.

Si le rad est sans dimension, le rad² aussi. non ?

Si, pi/2. Le radian, ce serait la dimension de i. et comme i^2=-1, [rad^2]=[1]

Je n'ai pas parlé de notation complexe, mais je ne vois pas ce que ça change : i = e^i.pi/2 est forcément sans dimension. Non ?
J'ai l'impression de lire une mauvaise blague.

C'est quand même ennuyeux qu'en AD classique, un couple et une énergie ait même dimension.

AD classique ? Analyse Dimensionnelle ? il en existe une autre ?
Je ne vois pas pourquoi : la même dimension n'implique pas la même nature physique. Le cas n'est nullement rare, que je sache …

Additionner un couple et une énergie n'a quand même pas grand sens...

Qui parle de les additionner ?

Ça marche aussi avec le radian qui intervient à la fois dans le couple et dans la vitesse angulaire de rotation

Je me répète, mais pour moi, un couple est une force par un bras de levier. Même si on a un produit vectoriel, je ne vois pas de radian.

Je serais à ta place, je relierais le message de Amanuensis.

Ben … les phrases où je n'ai rien compris … ça n'ira pas mieux …
Et des réponses non ésotériques dans un forum d'aide et de discussion, ce ne serait pas un luxe.
Y a-t-il un didacticien sur le site ?

Il s'agit de pseudo vecteur ou encore vecteur axial.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudovecteur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Orienta...ions_physiques
Notion qui découle des tenseurs.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur

Merci, mai j'ai utilisé déjà toutes ces notions, en mécanique, en physique du solide, en relativité générale, et en mécanique des milieux continus, et ça ne me rappelle rien.


Enfin, merci de ne pas t'en tenir à un "c'est pas grave", que je ne sais comment interpréter.





Cordialement, merci et @+



[nota : je doute que l'auteur du topic ce soit attendu à ça ‼]

[arrial]

J'ai peut-être une étincelle de compréhension.

Un couple multiplié par une rotation [un angle] donne une énergie.
Donc, on change de nature physique, sans changer d'unité …
C'est là que ça achoppe ?

C'est effectivement intéressant. Cela mérite-t-il un développement dimensionnel ?
Si ça n'est pas dans les livres, ça doit pourtant bien être quelque-part … et ça devrait avoir une raison d'être ?


Un peu plus, Siouplait ?


@+

[Amanuensis]

annulé, cause la teneur plus positive du message qui précède immédiatement.

[Amanuensis]

Si ça n'est pas dans les livres, ça doit pourtant bien être quelque-part …

Différents auteurs, hors "courant principal". Ce que j'ai exposé n'est en rien original.

Un peu plus, Siouplait ?

Tous les points importants et toutes les pistes sont dans mes réponses et celles de stefjm (je n'avais pas mentionné les tenseurs ni les complexes, par choix; juste parce que je trouve que cela complique encore plus les choses pour pour une première réponse).

Y compris la réponse à la question "pourquoi on ne voit pas cela partout". Réponse : parce que c'est trop subtil.

Autre réponse [caveat : bien plus compliquée], parce que l'explication profonde se trouve dans la relation entre tenseurs et rotations, que les tenseurs ne font pas partie de l'éducation élémentaire, que la 3D est spéciale à ce sujet, tant mathématiquement (l'espace des tenseurs antisymétriques de rang 2 a la même dimension que l'espace de base, coïncidence valide uniquement en dimension 3) que dans l'enseignement (tout ce qui a un rapport avec les vecteurs et les rotations, et en particulier le produit vectoriel, n'est présenté qu'en dimension 3 dans l'éducation élémentaire).

[arrial]

Différents auteurs, hors "courant principal". Ce que j'ai exposé n'est en rien original.
Y compris la réponse à la question "pourquoi on ne voit pas cela partout". Réponse : parce que c'est trop subtil.

D'accord.
Je crois que je sens le sens du vent.

J'avoue que je n'ai jamais prêté beaucoup d'attention à l'aspect des parties symétriques et antisymétriques des tenseurs et des opérateurs. Je considérais les opérations de symétrie comme purement mathématiques, et n'en ai eu l'usage que pour les groupes cycliques en cristallographie … et un peu en mécanique quantique, et je n'utilise pas ça tous les jours …
J'aurais sans doute dû y passer plus de temps.

Cela dit, je ne cherchais nullement à ouvrir une polémique : j'ai donné une réponse avec ce dont je disposais. Si j'ai été maladroit, j'en présente volontiers mes excuses.


@+



[je goûte tout de même bien la juxtaposition « n'est en rien original » et « parce que c'est trop subtil » ‼ ]

[Amanuensis]

[je goûte tout de même bien la juxtaposition « n'est en rien original » et « parce que c'est trop subtil » ‼ ]

Rien de personnel. C'est une juxtaposition qui est facile à faire pour toute une collection de sujets, et qui revient à dire que l'enseignement de base (e.g., secondaire et un peu plus, en gros ce qu'on voit vulgarisé ou dans les articles de journaux) ne peut pas se permettre (par souci d'efficacité) d'entrer dans des "subtilités". Mais lesdites "subtilités" sont accessibles pour peu qu'on se donne un peu de peine d'aller chercher là où elles sont présentées.

Ce qui soulève au passage la question de ce que viennent chercher les personnes qui, comme Fukiro, posent des questions non triviales sur ce forum. Est-ce pour obtenir des réponses "tout-venant", qu'on peut trouver aisément dans la vulgarisation, ou des pistes vers d'autres réponses ? [Je pose la question sans avoir la réponse, j'imagine que c'est différent d'un cas à l'autre...]

PS : Autre exemple de "trouble" qu'on peut remonter aux angles, rotations, tenseurs : http://forums.futura-sciences.com/ma...vectoriel.html. Que répondre ?

[stefjm]

Un couple multiplié par une rotation [un angle] donne une énergie.
Donc, on change de nature physique, sans changer d'unité …
C'est là que ça achoppe ?

Oui.
C'est quand même ennuyeux non?

C'est effectivement intéressant. Cela mérite-t-il un développement dimensionnel ?

Je pense que oui mais je suis presque tout seul.
J'ai ouvert un fil qui ne demande qu'à être complété et expliqué sur
http://forums.futura-sciences.com/ph...ifferente.html
En particulier grace aux tenseurs.

Si ça n'est pas dans les livres, ça doit pourtant bien être quelque-part … et ça devrait avoir une raison d'être ?

Si cela permet de mieux comprendre, sans doute que oui.

Un peu plus, Siouplait ?

Si Amanuensis est de bonne humeur, il y aura beaucoup plus!

Cordialement.

[coussin]

PS : Autre exemple de "trouble" qu'on peut remonter aux angles, rotations, tenseurs : http://forums.futura-sciences.com/ma...vectoriel.html. Que répondre ?

Je ne vois pas où est le « trouble »

[Amanuensis]

Si Amanuensis est de bonne humeur, il y aura beaucoup plus!

J'hésite à renvoyer aux écrits de JL

[Si quelqu'un traduit, c'est lui qui aura pris la décision...]

[invite60be3959]

J'hésite à renvoyer aux écrits de JL

[Si quelqu'un traduit, c'est lui qui aura pris la décision...]

C'est une secte ou quoi ??

[Amanuensis]

C'est une secte ou quoi ??

En anglais on dit "private joke".

Pour stefjm et moi, cela fait peut-être dix discussions sur ce forum sur ce sujet, étalées sur pas mal d'années. La seule secte, c'est celle de ceux qui ont suivi tout ça... Le droit d'entrée n'est pas cher : lire quelques milliers de discussions publiques...

[stefjm]

J'hésite à renvoyer aux écrits de JL
[Si quelqu'un traduit, c'est lui qui aura pris la décision...]

Je pensais plutôt à tes propres écrits sur le sujet.

[arrial]

Je ne vois pas où est le « trouble »

Le trouble auquel j'ai été sensible dès le lycée est le suivant :
Le produit vectoriel de deux vecteurs a été introduit en 2D, mais le résultat était un vecteur hors du plan. La difficulté a été éludée en utilisant une définition scalaire utilisant le sinus [fonction impaire]des 2 angles.
Ce qui est grave à mon sens, est que beaucoup d'élèves en sont restés à ce stade, même dans le supérieur.

Ensuite à l'université, il y a eu "produit scalaire" et "produit extérieur", dont j'ai appris bien plus tard que c'était une spécificité française ‼
Il y a eu aussi les tenseurs et les torseurs, et la notion de pseudo-vecteurs.

Comme je l'ai déjà dit, je n'ai jamais approfondi ce cloaque, car c'était beaucoup plus simple d'utiliser carrément les tenseurs et le formalisme matriciel associé (même si c'est très lourd : merci Albert pour la notation d'Einstein ‼)





… je ne suis pas du tout sûr d'être sur la même longueur d'onde que Amanuensis, mais je ne suis pas mécontent de l'avoir croisé, finalement, ainsi que stefjm, et bien sûr ce forum dont je commence à avoir une vision plus large …



[euh … le président de l'UBO du temps où j'y participais aux commissions de spécialistes disait que tous les universitaires étaient des caractériels (ais-je le droit de le répéter ? ) mais j'ajouterai que ça fait partie de leur richesse … ]


[secte is business, vaincent ]


@+