Bonjour,
"jauge" un bien vilain mot pour une si belle théorie ...
Ce nouveau fil fait suite à un autre fil qui avait tendance à dériver :
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post3498963 (à partir de la page 3)
Le but de cette discussion est : Pouvons-nous "expliquer simplement" comment établir les équations de Maxwell à partir de concepts de symétries.
Accrochez-vous, c'est du lourd!
L'explication donnée par Deedee en haut de la page 3 est parfaitement clair...pour peu qu'on ai eu un cours dessus ou qu'on ai lut des choses a ce sujet!
Je comprend tout a fait que pour le lecteur lambda (disons ayant un bagage niveau L3/M1) tout ça parait vraiment obscure et indigeste.
Mais faut aussi reconnaitre que la science évolue, et que pour évoluer, il lui faut atteindre des degrés d'abstraction de plus en plus élevé !
Malheureusement, l'abstraction c'est pas une chose qui "s'apprend", c'est un long cheminement de la pensé, au fur et a mesure que l'on devient famillier avec des concept, on peut envisager d'augmenter le degrés d'abstraction, c'est bien pour ça que l'on ne devient pas physicien théoricien avec dug ou une licence !
L'avantage certain de cela c'est qu'on arrive a décrire la nature d'une maniére etrangement cohérente (je reste bluffé par certain devellopements!) mais le revers de la médialle c'est qu'elle devient presque inacessible aux commun des mortels. Et il faut s'appeler feynmann ou hawking pour esperer la vulgariser correctement.
Ceci étant dit, la question que tu pose n'est pas non plus a la frontiere du savoir actuel et tu est en droit d'esperer une réponse satisfaisante puisque c'est concept, qui date de plus de 40 ans sont maintenant bien digéré par les physiciens.
J'ai oublié une remarque importante a mes yeux. J'aurais réecrit ta phrase comme cela :Envoyé par lionelod
"jauge" un bien jolie concept pour une théorie pas si belle...
Le terme "jauge" qui fait tout de suite référence a la géo diff, est d'une puissance assez déroutante, on explique si bien la nature avec ces objets (comprendre la géo diff) que je me demande comment cela aurais était possible sans !
Par contre le MS...Certe il offre une bien belle description des interactions mais son nombre important de parametre libre, son fameux mécanisme de higgs bancale, et son incapacité a expliquer la masse des neutrino viennent entacher une bien belle aventure. Il restera clairement une bonne approximation mais il ne permet et ne permettra pas de donner de réelle explication a des question importantes.
Bon, ne partons pas battu d'avance.
On va y aller doucement.
Le mot "jauge" , beau ou vilain, renvoi à quoi ??
Je dirais à une problématique que n'ont pas les partisans de la loi de Newtonmais qu'ont les partisans du formalisme hamiltonien.
Savez-vous laquelle ?
Dans le formalisme hamiltonien, on utilise des intermédiaires de calculs : les potentiels. Et comme le dit justement arthur254, on a déjà un premier niveau d'abstraction.
L'inconvénient c'est que ces potentiels ne sont pas uniques et n'ont pas de réalités physiques, à l'instar des champs. Suivant le point d'observation ces potentiels varient.
Mais alors, quel est l’intérêt d'utiliser le formalisme Hamiltonien ?
L’intérêt est l'apparition de nouvelles variables globales ou généralisées.
Pour fixer les idées, on peut imager avec la vibration d'une corde.
Avec ce formalisme, la corde peut être représentée par un système Masse(généralisé)-Ressort(généralisé) avec une fréquence propre et une onde stationnaire (ou mode).
Donc toute l'information sur la corde peut se résumer avec seulement 2 variables globales : forme spatiale et fréquence du mode.
Maintenant, quel est le lien de tout ça avec la symétrie ?
Pour "appréhender" la symétrie, il y a 2 chemins :
La géométrie ou l'algèbre.
Dans les deux cas, les deux mots à retenir sont :
1. Transformation
2. Invariance
Bon, mais on veut "transformer" quoi ? : Eh bien, les variables généralisées obtenues avec le formalisme hamiltonien.
Pour imager, on va "rechercher" la symétrie dans l'oscillation de la corde.
Travaux Pratiques : Prenez une corde et faites là entrer en résonance sur son premier mode. Vous devriez obtenir une sorte de demi-sinus avec un ventre de vibration au milieu. Maintenant, pendant que la corde oscille, prenez 2 photographies à 2 instants différents.
Nous allons maintenant interpréter les 2 photos du point de vue de la symétrie.
Je vais essayer, mais via les maths...
Si je prends un cercle et les points d'un cercle, je peux parler d'angle entre deux points. Je peux parler aussi de rotation du cercle d'un certain angle, une opération r telle que "l'angle entre P et r(P) ne dépend pas de P", ce qui amène à "confondre" angle et rotation.
On a on donc d'un côté une notion d'angle et de rotation, et une notion de points du cercle.
Maintenant, je voudrais faire des calculs numériques, pas seulement des relations abstraites. C'est facile pour les rotations, il y a un isomorphisme avec les complexes de norme 1.
Pour les points, une méthode consiste alors à choisir arbitrairement un point origine 0. Du coup je peux "confondre" un point P et une rotation (et donc un complexe), celle qui permet de passer de O à P.
Le choix du point P est une "jauge", un cas élémentaire de jauge.
Cela met en œuvre un groupe (celui des rotations) qui "encode" une symétrie, et une "brisure de symétrie" artificielle, le choix arbitraire du point origine.
Le choix de jauge correspond à un paradoxe : il est nécessaire pour faire des calculs, mais le résultat utile des calculs ne doit pas dépendre de ce choix. Cette indépendance est ce qu'on entend par "symétrie" !
On parle donc de "symétrie de jauge" quand une théorie fait intervenir, de manière nécessaire à l'expression de cette théorie ou au calcul effectif, quelque chose qui est choisi arbitrairement.
Les cas les plus simples sont les bases d'espace vectoriel, les origines, les systèmes de coordonnées.
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Dans le cas de la théorie de Maxwell, on peut la reconstruire en travaillant dans un espace géométrique "bizarre", consistant à "mettre un cercle" en chaque point de l'espace-temps.
La jauge intervient parce qu'on va faire intervenir des expressions du genre 'le cercle a tourné d'un angle alpha entre l'événement A et l'événement B' (ce que cela veut dire n'est pas simple, on y reviendra). La jauge vient de la remarque simple que si tout ce qui compte ce sont ces rotations, alors faire tourner tous les cercles du même angle ne change rien. Il y a un degré de liberté inévitable dans le modèle, et on ne connaît pas d'expression de la théorie qui "supprime" ce degré de liberté.
Le modèle va ensuite définir ce que veut dire "tourner le cercle entre deux points", ce qui s'exprime simplement en choisissant un point sur l'un et son image sur l'autre, ce qui revient à faire correspondre deux origines (relation avec la jauge). On introduit alors ce qu'on appelle une section, qui est tout simplement le choix (différentiable) d'un point sur chaque cercle. L'équivalent du choix d'une origine sur un cercle est le choix d'une section. À partir de là et des rotations, on obtient une connexion, c'est à dire une mise en correspondance des cercles en des événements infiniment voisin.
Là où cela devient non trivial, et la théorie source de nouveauté par rapport à des concepts plus simples comme un simple produit cartésien de l'espace-temps par l'ensemble des cercles, c'est quand la rotation du cercle entre A et B dépend du chemin suivi entre les deux événements. Cela amène à travailler avec des équations particulières (dérivation covariante). Et, miracle, on peut exprimer des quantités qui sont formellement exactement les équations de Maxwell.
Les concepts mathématiques présentés au passage (section, connexion, dérivée covariante) appartiennent au "langage des fibrés", et donc à la géométrie différentielle, et se révèlent très génériques. Ils relient des groupes de symétrie (celui des rotations ici) et des équations ; ils amènent de nouvelles classes d'"objets" qui se révèlent bien modéliser tout une collection de théories. C'est une unification de la modélisation, qui en plus donne une importance première aux groupes de symétrie. Et en particulier, amène à voir une parenté étroite entre le groupe des rotations du cercle et l'électro-magnétisme.
À titre illustratif, un cas moins trivial.
La géométrie différentielle amène à associer à chaque événement de l'espace-temps un espace vectoriel tangent (celui des 4-vitesses).
Le choix en chaque point d'une base de cet espace est un choix de jauge, similaire au choix de l'origine d'un cercle. Le groupe de symétrie correspondant est le groupe linéaire, celui des changements de base ; ou plutôt un sous-groupe de ce groupe, correspondant aux symétries plus contraignantes de l'espace-temps de Minkowski.
À partir de là, on peut parler de sections, de connexions, de dérivation covariante et les équations correspondantes.
Et, miracle, ces équations permettent d'exprimer simplement celles de la relativité générale... (Par exemple, les trajectoires (4D) de chute libre sont celles qui annulent la dérivée covariante et de genre temps.)
En d'autres termes, on a une théorie de la gravitation liée au groupe des changements de repère, de la même manière que la théorie de l'électro-magnétisme est liée au groupe des rotations du cercle.
Salut,
Super bien expliqué bravo !
Avant d'aller plus avant, un terrible doute m'envahit
J'ai l'impression qu'il y a deux symétries différentes :
1. Celle nécessaire à l'invariance de jauge.
2. Une fois que le "calcul numérique" est fait, il semble qu'on procède alors à une nouvelle symétrie sur le "résultat" du calcul ?
Je vais rajouter une notion, pour obtenir la charge...
Revenons aux "cercles" de l'électro-magnétisme. En suivant un chemin fermé de l'espace-temps, le cercle tourne le long du chemin, selon ce qu'indique la connexion. Quand le chemin se ferme, le cercle a tourné d'un certain angle, indépendant d'une rotation identique de tous les cercles. Cet angle a une signification importante, et on va ramener cela à une notion différentielle : la courbure.
La courbure, c'est la rotation infinitésimale du cercle (plus généralement une transformation infinitésimale du groupe de jauge, donc un élément de l'algèbre de Lie du groupe) obtenue par un parcours d'une trajectoire fermée infinitésimale en appliquant la connexion. Une telle trajectoire est, au premier ordre, plane. Comme il a n(n-1)/2 plans indépendants en dimension n, soit 6 en dimension 4, la courbure doit donner la rotation pour les 6 plans, et elle se représente par un tenseur (ici 4x4x1, totalement antisymétrique).
Dans le cas du groupe du cercle, il y a un phénomène particulier : revenir à un cercle en même position qu'au départ ne veut pas dire que la rotation était nulle. Elle peut être 0, 1, -1, 2, etc. un nombre quelconque de tours, positif ou négatif (le signe demande une convention d'orientation). Cet aspect n'est pas encodé directement par la courbure (qui s'occupe de rotation infinitésimal). Et il apparaît, o surprise, comme la charge locale. Quantifiée, donc, parce que le groupe n'est pas "simplement connexe".
Dans le cas de la gravitation, le groupe de symétrie est bien plus compliqué, et la courbure est un tenseur 4x4x4x4 (une partie 4x4 comme avant, le choix du plan ; l'autre 4x4 correspond à ce qu'il faut pour décrire un changement de repère infinitésimal).
La courbure est bien liée à la "charge" : ce qu'exprime l'équation d'Einstein est qu'une forme de prise de moyenne sur la courbure décrit la "charge", c'est à dire le tenseur énergie-impulsion.
Ces petites manips montrent que le groupe de jauge (rotation du cercle ou groupe de changement de repère) est central, c'est de lui que se construisent les équations de champ et la notion de charge, de manière similaire dans les deux modèles.
J'arrête là, en espérant que cela donne suffisamment d'éléments de réponse.
Dernière modification par Amanuensis ; 09/04/2011 à 10h06.
Une réflexion, tout de même.
Pour moi, il ne s'agit pas d'une dérivation des équations de Maxwell à partir de considérations de symétrie.
C'est, à mon avis, un constat. Un constat que la mise en équation des phénomènes observés (électro-magnétisme, gravitation, ...) peut se faire avec une approche, avec des outils, similaire ; ainsi que le constat que ce qui différencie les théories est pour une partie importante le groupe de jauge et ses propriétés.
L'approche permet de "déconstruire" la complexité des théories initiales (Maxwell, Newton) en montrant qu'elles se ramènent à quelques notions "simples". Simples entre guillemets, puisque pour le sens commun ces constructions mathématiques (groupes, fibrés, connexions, etc.) apparaissent comme des abstractions incompréhensibles. Elles sont simples au sens mathématique, pas au sens de la compréhension du monde !
L'approche permet de prendre conscience de l'importance des symétries dans les "lois de la physique" que les humains construisent. Mais elle "n'explique" rien.
J'essai de résumer en cherchant les analogies entre physique et mathématiques:
1. Définition d'une jauge
1.1 En maths:
1.2 En physique:Le choix du point P est une "jauge", un cas élémentaire de jauge
Ensemble particulier de potentiels
2. Invariance de jauge
2.1 En maths
2.2 En physiqueLe choix de jauge correspond à un paradoxe : il est nécessaire pour faire des calculs, mais le résultat utile des calculs ne doit pas dépendre de ce choix. Cette indépendance est ce qu'on entend par "symétrie" !
Les potentiels étant des "artifices" de calcul, quelques soient les potentiels choisis, on doit trouver unicité des champs (électrique et magnétique)
3. Espace de travail
3.1 En math
3.2 En physiqueDans le cas de la théorie de Maxwell, on peut la reconstruire en travaillant dans un espace géométrique "bizarre", consistant à "mettre un cercle" en chaque point de l'espace-temps.
Les modes ??
4. La géométrie différentielle
4.1 En math
4.2 En PhysiqueLe modèle va ensuite définir ce que veut dire "tourner le cercle entre deux points", ce qui s'exprime simplement en choisissant un point sur l'un et son image sur l'autre, ce qui revient à faire correspondre deux origines (relation avec la jauge). On introduit alors ce qu'on appelle une section, qui est tout simplement le choix (différentiable) d'un point sur chaque cercle.
La photo de la corde vibrante à un instant donné quelconque
OK, je vais souffler un peu avant de continuer ....
Je ne sais pas si il y a un lien, mais :
Patrickhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_....C3.A9finition
Si on fixe un point origine O, par définition d'un espace affine, il existe une application de E dans V qui à un point M de E associe le vecteur OM. La propriété (A2) énonce que cette application est bijective pour tout point O. Cette correspondance permet, par choix d'une origine, de munir (de façon non canonique) l'espace affine E d'une structure d'espace vectoriel isomorphe à V.
Inversement, étant donné un espace vectoriel V, il est possible de définir (de façon canonique) une structure d'espace affine sur V par l'application qui au couple de vecteur (u, v) de V associe le vecteur v - u.
Au bémol que la photo fige un instant mais pas l'espace.
Une section c'est une description couvrant tout l'espace-temps (tout l'espace de base pour le cas général). C'est assez proche d'une fonction de l'espace-temps vers le groupe, mais il y a des différences importantes, liées à la différence entre un fibré et un produit cartésien (une fonction E --> F peut se voir comme un sous-espace du produit cartésien ExF ).
Oui c'est vrai,
Mais pour moi je ne me place plus dans l'espace réel, mais dans l'espace des modes. Donc la forme de la corde n'est qu'un point dans l'espace de mes coordonnées généralisées.
Maintenant si on parle d'automorphisme.
Si je regarde mes 2 photos, j'ai la même forme (le demi-sinus avec des amplitudes différentes)
Donc il existe une transformation qui laisse invariant ma forme.
Peut être une question amont. La symétrie c'est une propriété intrinsèque de quoi ?
La notion de symétrie semble plus être utilisé aujourd'hui de manière non plus "descriptive", mais bien de manière "constructive" pour bâtir de nouvelles théories de particule en interactions (les théories de jauge).
Par exemple dans le cas des symétries concernant l'espace-temps, la conservation de l'énergie pour une système isolé quelconque est une conséquence de la symétrie de translation dans le temps et non une propriété spécifique du système étudier.
Patrick
Le langage formel que sont les mathématiques ne sont, a mon sens pour ce qui concerne la physique, qu'un filtre qui permet par sa rigueur de trouver le juste milieu entre une sur-spécification et une sous-spécification, mais il ne servent qu'a décrire de la manière la plus précise possible l'articulation entre ce que l'on imagine et ce que l'on observe (qui découle, a mon sens aussi, de ce que nous avons imaginé pour réaliser les expériences : faire pour comprendre - comprendre pour faire).
Patrick
En ce qui me concerne, j'ai beaucoup apprécié vos précédentes explications et je suis assez d'accord avec votre message ci-dessus. Toutefois, il faut noter que c'est (selon moi) un point de vue de physicien plus qu'un point de vue de mathématicien. Certains mathématicien (pas tous mais un certain nombre quand même) tendent à considérer que tout le travail de réflexion inductive conduisant doucement et difficilement vers le modèle (en utilisant souvent des analogies) c'est de la bouillie pour les chats parce que (forcément) ce n'est pas un travail mathématique mais, au contraire, un travail de physicien (conduisant vers un modèle mathématique de ce qui est observé).
Pour un certain nombre de mathématiciens (en particulier ceux qui n'aiment pas les images physiques et les analogies) le travail réalisé par le physisicien n'a de la valeur que quand il est terminé (et c'est de là qu'ils partent), c'est à dire quand on dispose d'une axiomatique bien propre et d'un modèle dont les prédictions sont confirmées par les résultats d'observation.
Seule l'axiomatique obtenue (et le monde mathématique qui en découle) est jugé digne d'intérêt. Bref, on retire l'horrible échafaudage, la bétoneuse et tous les "outils de maçon" qui ont servi à la construction de la maison pour ne laisser que la belle maison réalisée. Bon, on peut le comprendre, chacun ses goûts.
En même temps, le jour où on veut modifier la maison, c'est quand même pas mal de pouvoir retrouver l'échafaudage, la bétoneuse, etc, etc pour pouvoir l'agrandir ou la modifier.
Salut, tu parle bien de la théorie de KK ?
ça me parait bien compliqué pour expliquer la théorie de maxwell a partir des symétries !
Ou alors tu parlais peut etre, et là j'ai bien peur de dire quelques bétises, du fait que pour décrire l'electromagnétisme, on prend un fibré a chaque point de l'espace-temps, et c'est "dans" ce fibré que l'on fait nos transformation de jauge et autre. On voit cela effectivement comme un cercle(groupe de jauge U(1)) sur le fibré... Si c'est de cela que tu parle ?
Très étroite même !
Bonjour,
Bon je ne voudrais pas répondre à sa place mais il ne parle pas de la théorie de KK (qui n'est absolument pas nécessaire à l'explication des symétries de jauge) mais de la symétrie de jauge U(1) de manière vulgarisée (d'où l'appelle limité au langage de la géométrie différentielle).Salut, tu parle bien de la théorie de KK ?
ça me parait bien compliqué pour expliquer la théorie de maxwell a partir des symétries !
D'ailleurs félicitation pour cette vulgarisation il fallait avoir du courage, à quand la même avec les théories de jauge non-abéliennes ?
Non et oui. Magnétar a bien répondu.
La présentation reflète mes choix pour vulgariser, ce n'est pas un cours ni une explication pour ceux auxquels les concepts sont familiers.
Oui autant pour moi, ta description de cercle en chaque points de l'espace-temps m'as fait toute suite pensé a KK. Ce n'est qu'aprés que j'ai "tilté" mais comme j'aime toujours laisser le cheminement de ma penser...
Ça y est, je crois que je l'ai trouvé mon analogie pour expliquer les équations de Maxwell.
Dans cette analogie, je suppose que vous êtes les "équations de maxwell"
Imaginer qu'au lieu de prendre une corde, vous prenez un fil de fer.
Au départ, votre fil de fer à une certaine forme. Vous devez absolument mémoriser cette forme!
Ensuite quelqu'un tord le fil de fer un peu n'importe comment.
Votre mission (si vous l'acceptez) est alors la suivante : En utilisant le minimum de modification, reconstituez la forme de départ!
C'est comme cela que tout se passe.
Normal, il y a un rapport...
Les différences sont importantes : la théorie KK peut se voir comme parlant d'un arrière-plan, et parle de métrique. Son propos est d'intégrer gravitation et électro-magnétisme.
J'ai soigneusement évité de parler de métrique, en particulier parce que l'électro-magnétisme peut se formuler sans aucune référence à la métrique de l'espace-temps, ce qui est intrigant (et donc porteur de "compréhension") en soi-même. Les équations de Maxwell, une fois vues sous le bon angle (fibré et/ou dérivée extérieure), présentent une très grande indépendance par rapport à la structure de l'espace-temps, en particulier une totale indépendance par rapport à la métrique (ce qui implique indépendance par rapport à la différence même entre temps et espace, ainsi qu'absence de rapport avec la notion de vitesse limite et donc avec la "vitesse de la lumière").
La théorie KK va plutôt à l'envers de ces idées, elle met "ensemble" deux théories qui présentent, au point de vue physique, une grande indépendance l'une par rapport à l'autre, tout en partageant, point de vue mathématique, un formalisme très proche (ce qui permet la formulation KK).
C'est bien plus intrigant qu'explicatif.
Une nouvelle analogie si vous le voulez bien.
Je vais raisonner comme une architecte (pas très grand ...) ou un ingénieur des structures.
Je considère mon fil de fer représentant l'univers ou l'espace-temps "vide".
Maintenant je pose une planète dessus (une masse ponctuelle).
Pour éviter que mon univers s'écroule, je rajoute le champ électromagnétique (une raideur linéique) qui a la même fonction que les câble du pont le "golden gate".
Si j'ai bien compris, selon toi le centre de l'univers se situerait à San Fransico donc ??
En fait je dis n'importe quoi.
Une étoile se créé dans l'univers => brisure de symétrie locale.
L'étoile envoie un message aux autres étoiles ( via le champ électromagnétique) :" Eh les gars, faut m'envoyer un câble (la gravitation) pour conserver la symétrie globale". Si personne répond, hélas pour l'étoile elle devient un trou noir.
Cela laisse entrevoir que s'intéresser à l'aspect qualitatif (aux fonctions lisses) plutôt qu'à "l'espace" dans lequel elles "vivent" (ou elles sont définis) apparaît plus pertinent. http://en.wikipedia.org/wiki/Abstrac...ntial_geometryJ'ai soigneusement évité de parler de métrique, en particulier parce que l'électro-magnétisme peut se formuler sans aucune référence à la métrique de l'espace-temps, ce qui est intrigant (et donc porteur de "compréhension") en soi-même. Les équations de Maxwell, une fois vues sous le bon angle (fibré et/ou dérivée extérieure), présentent une très grande indépendance par rapport à la structure de l'espace-temps, en particulier une totale indépendance par rapport à la métrique (ce qui implique indépendance par rapport à la différence même entre temps et espace, ainsi qu'absence de rapport avec la notion de vitesse limite et donc avec la "vitesse de la lumière"
Patrick
