Formules de calcul longitude et latitude d'un point depuis un autre point à la surface de la Terre.

[invitedcbea78d]

Bonjour à toutes et à tous,

Alors voilà mon problème qui semblait simple de prime abord, mais sur lequel je n'arrive à comprendre que la moitié.
Dans un programme informatique, j'ai trouvé une formule permettant, à partir d'un point OO donné sur une sphère (en l'occurence, la surface de la Terre) de latitude et de longitude , d'une distance parcourue d et d'une orientation b de calculer le point ainsi obtenu (c'est à dire depuis le point OO d'atteindre le point EE en parcourant dans la direction b une distance d).
(d est parcourue sur la sphère en suivant un grand cercle selon l'orientation b, c'est à dire égale à où r est la distance en mètre et R le rayon de la Terre).
Pour mieux comprendre, j'ai fait un schéma avec geogebra :


La formule des coordonnées du point EE est donné ainsi :



La première formule est immédiate en utilisant la formule fondamentale de la trigo sphérique (cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Trigono...sph%C3%A9rique) appliquée au triangle sphérique qui va bien (N, OO, EE sur le schéma). En revanche, je ne comprend pas du tout comment obtenir la deuxième, pourtant on voit bien sur la figure la quantité à rajouter à mais je n'arrive pas à déterminer ne serait-ce qu'un seul argument de la fonction atan2...
Si quelqu'un a une idée ou une piste sur comment cette formule a été obtenue...

Merci d'avance pour tout aide
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[sylvainc2]

On pose dlon = la différence de longitude (c'est l'angle à l'intérieur du triangle au point N), de sorte que longEE=longOO+dlon.

La formule calcule tg(dlon) qui est bien sûr sin(dlon)/cos(dlon). Pour le numérateur on utilise la loi des sinus pour triangles sphériques comme ceci:

et on remplace sin(co-latEE) par cos(latEE), ca donne


Pour le dénominateur c'est la loi des cosinus que tu connais déja:


On forme la fraction et on simplifie, ca donne la formule.

[obi76]

Bonjour Ayrawhsia_Aathsir_Tia,

merci de citer votre source pour l'image que vous avez mise.

Pour la modération,

[invitedcbea78d]

On pose dlon = la différence de longitude (c'est l'angle à l'intérieur du triangle au point N), de sorte que longEE=longOO+dlon.

La formule calcule tg(dlon) qui est bien sûr sin(dlon)/cos(dlon). Pour le numérateur on utilise la loi des sinus pour triangles sphériques comme ceci:

et on remplace sin(co-latEE) par cos(latEE), ca donne


Pour le dénominateur c'est la loi des cosinus que tu connais déja:


On forme la fraction et on simplifie, ca donne la formule.

Merci je vais regarder ça en détail

Bonjour Ayrawhsia_Aathsir_Tia,

merci de citer votre source pour l'image que vous avez mise.

Pour la modération,

Comment ça ma source ? J'ai moi-même créé le fichier image avec Geogebra (logiciel de géométrie 3D entre autres).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedcbea78d]

Bon en fait c'était vraiment simple, juste qu'il fallait utiliser la formule des sinus ! Merci pour l'aide

[invitedcbea78d]

J'imagine qu'il était nécessaire de passer par la fonction atan2 informatiquement parlant pour éviter des problèmes au bord des domaines de définition des fonctions, mais sinon mathématiquement, on aurait pu passer directement par la formule en prenant l'arcsin de la fraction, non ?

[obi76]

Comment ça ma source ? J'ai moi-même créé le fichier image avec Geogebra (logiciel de géométrie 3D entre autres).

Je n'ai rien dis alors

Pour la modération,

[sylvainc2]

Oui, on peut utiliser la formule sauf que asin() retourne l'angle dans l'intervalle -90 à +90 degrés alors que les longitudes sur terre font 360 degrés (techniquement c'est -180 à +180).

C'est d'ailleurs ce que l'auteur du document http://williams.best.vwh.net/avform.htm#LL a fait ici pour la formule simple (la 1ère).

On peut aussi utiliser la formule cos(dlon)=etc... sauf qu'il y a plus de termes à calculer, et il y a le même problème d'intervalle pour acos() qui retourne l'angle entre 0 et 180 degrés. La formule avec atan2() est plus générale car elle retourne l'angle sur 360 degrés.