Un paradoxe de la relativité, un de plus

[Amanuensis]

Bonsoir,

Un minimum de recherche me laisse penser que le sujet n'est pas apparu sur les forum FS. Si je me suis trompé, merci d'indiquer la discussion!

Il s'agit d'un paradoxe ayant amené une publication l'année dernière dans une revue à pairs, et des explications publiées en début d'année. J'indiquerai plus tard les références, à moins que quelqu'un les connaisse ou les trouve, et les indique!

---

Prenons une charge électrique ponctuelle, et un aimant à une distance d dans la direction des z, de moment magnétique orienté selon l'axe de x, les deux immobiles dans un référentiel inertiel.

Si on analyse la situation dans ce référentiel, rien ne se passe: les charges dans l'aimant ont une répartition symétrique vu de la charge, et par ailleurs la charge est immobile.

Prenons alors un référentiel en mouvement uniforme selon l'axe des z. Si on modélise le champ de l'aimant comme généré par des charges en révolution selon une orbite dans le plan yz, les charges d'un côté vont moins vite que de l'autre, selon la théorie de la relativité. Cela dissymétrise la distribution des charges dans l'aimant et alors la charge ponctuelle engendre un couple sur l'aimant, qui devrait donc se mettre à tourner selon l'axe x.

Il n'y a donc pas, selon ce raisonnement, équivalence entre les effets prédits dans les deux référentiels.

Où est l'erreur?

[Une méthode pour répondre consiste à trouver les articles qui m'ont amené à proposer ce sujet, ce qui ne devrait pas être très dur. Mais l'idée est plutôt d'en faire un exercice et de trouver la réponse par soi-même. Pas facile du tout, je tiens à l'indiquer... Je suis assez intrigué par la solution, d'ailleurs.]

Cordialement,
-----

[bobdémaths]

Bonsoir,

Tout d'abord, il me semble qu'il n'y a pas de paradoxe si on considère le moment magnétique comme "complètement intrinsèque", c'est-à-dire indépendant d'un mouvement de charges.

Maintenant, si on souhaite décrire ce moment magnétique par des charges qui tournent en rond, il faut aller jusqu'au bout, c'est-à-dire calculer le champ électromagnétique généré par toutes ces charges, et c'est sans doute très compliqué.

Pour simplifier, on peut considérer que le moment magnétique est généré par une seule spire parcourue par un courant constant et uniforme. Ceci se modélise bien par un quadri-courant parfaitement covariant, donc j'ai du mal à voir où pourrait apparaître le paradoxe. Je pense donc que le paradoxe réside dans l'argument selon lequel les charges vont moins vite d'un côté que de l'autre. Ceci est certainement correct, mais il doit manquer une autre petite contribution cachée, qui rétablit la covariance. J'ai la flemme de le faire précisément, mais en étudiant la structure du quadri-courant après transformation de Lorentz, on doit pouvoir identifier ce qui manque.

Si je suis sur la bonne piste, je ferai peut-être le calcul...

[invite58238425]

Bonjour,

Prenons alors un référentiel en mouvement uniforme selon l'axe des z.

Dans ce référentiel, la géométrie du plan s'appuie -t'elle sur les mêmes axiomes que dans le référentiel du début de situation? merci.

[invite23876543123]

Salut !

Je pensais aux courant de Foucault dans un conducteur aimanté, et donc comme il y a ce courant les charges circulaires (libres ?) ne peuvent pas mettre en mouvement l'aimant et auront tendance à s'arrêter !

@

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Je pensais aux courant de Foucault dans un conducteur aimanté, et donc comme il y a ce courant les charges circulaires (libres ?) ne peuvent pas mettre en mouvement l'aimant et auront tendance à s'arrêter !

Les courants de Foucault sont des courants induits par un champ variable extérieur. Or ici il n'y en a pas. Ca ne peut donc pas jouer dans ce problème (un peu trop complexe et pas assez de temps pour que j'ai pu me pencher dessus sans dire une grosse bêtise d'ailleurs).

[Amanuensis]

Maintenant, si on souhaite décrire ce moment magnétique par des charges qui tournent en rond, il faut aller jusqu'au bout, c'est-à-dire calculer le champ électromagnétique généré par toutes ces charges, et c'est sans doute très compliqué.

Ce n'est pas nécessaire, un modèle simplifié suffit.

Pour simplifier, on peut considérer que le moment magnétique est généré par une seule spire parcourue par un courant constant et uniforme.

Par exemple!

Ceci se modélise bien par un quadri-courant parfaitement covariant, donc j'ai du mal à voir où pourrait apparaître le paradoxe. Je pense donc que le paradoxe réside dans l'argument selon lequel les charges vont moins vite d'un côté que de l'autre.

L'argument est assez simple. La vitesse n'est pas constante le long de la boucle, cause l'énergie potentielle entre le point le plus proche de la charge et le point le plus loin. Dans l'analyse dans le référentiel où le système est fixe, le module de la vitesse est symétrique selon la ligne joignant la charge au centre de la boucle, pas de différence de densité de charge, pas de couple. Dans l'analyse en référentiel avec translation, l'addition relativiste des vitesses dissymétrise le module des vitesses, et il y a un petit peu plus de charges d'un côté que de l'autre. (On peut voir cela aussi comme une contraction des longueurs différente entre les deux côtés...)

[Amanuensis]

Dans ce référentiel, la géométrie du plan s'appuie -t'elle sur les mêmes axiomes que dans le référentiel du début de situation? merci.

Je ne comprends pas la question. Mais le cadre est la relativité restreinte, sans adaptation.

[Deedee81]

Salut,

Ecoutes tu ne connais certainement pas le générateur homopolaire, j'ai pu le tester, et y'a production de courant rien que pour un aimant en rotation !

Il n'y a pas d'aimant en rotation dans le problème soulevé par Amanuensis. Essaie de rester dans le sujet.

[chaverondier]

Il n'y a donc pas, selon ce raisonnement, équivalence entre les effets prédits dans les deux référentiels. Où est l'erreur?

Je ne suis pas totalement convaincu qu'il y en ait une. Je me suis déjà posé ("pas très fort" cependant) la question de savoir comment mettre en évidence un référentiel qui serait privilégié vis à vis des mouvements de rotation. A peu près persuadé qu'après de gros efforts je serais retombé sur la conclusion qu'il n'y en avait pas, je n'ai pas fait l'effort de creuser. Peut-être, après tout qu'il n'y a pas d'erreur dans ce que tu présentes. Ce qui est choquant, c'est la simplicité de l'argument. On s'attend, de ce fait, à ce que le contre argument soit simple lui aussi et le contre argument ne saute pas immédiatement aux yeux.

On peut voir cela aussi comme une contraction des longueurs différente entre les deux côtés...

Je m'étais posé cette même question dans le domaine mécanique mais c'était très compliqué à traiter. Convaincu que la conclusion serait qu'il n'y avait pas de problème, je n'ai jamais eu le courage de creuser (ça m'aurait obligé de "faire des math"). Ton exemple est très intéressant parce qu'il est très simple. S'il y a une erreur (ce qui est probable ?) je suis intéressé de la connaître. Cela dit, il y a des exemples de systèmes sensés violer telle ou telle loi de la physique pour lesquels on met pas mal de temps à trouver l'erreur.

[Amanuensis]

Peut-être, après tout qu'il n'y a pas d'erreur dans ce que tu présentes.

Il y en a une, mais à un endroit plutôt inattendu!

Ce qui est choquant, c'est la simplicité de l'argument. On s'attend, de ce fait, à ce que le contre argument soit simple lui aussi et le contre argument ne saute pas immédiatement aux yeux.

C'est le côté intriguant de la solution. Effectivement le contre-argument tient en deux ou trois lignes sans les calculs, mais j'ai mis du temps à "intégrer" le raisonnement.

Il y au fond (assez loin, ce qui n'en fait pas un indice très aidant, présenter cela est facétieux de ma part) la question fort intéressante: qu'est-ce que le centre de masse en RR, ce point qui, pour un système isolé, suit une trajectoire affine?

Cela dit, il y a des exemples de systèmes sensés violer telle ou telle loi de la physique pour lesquels on met pas mal de temps à trouver l'erreur.

D'après ce que je lis, ce qui est derrière le paradoxe est publié depuis les années 60. L'article dont je parlais, datant de l'année dernière, présentait le cas comme montrant que la RR était erroné, l'article a passé quand même la revue par des pairs, qui apparemment n'ont pas immédiatement trouvé l'"erreur"!

[invite6754323456711]

Bonjour,

C'est un paradoxe qui repose sur une violation du principe d'action/réaction comme celui donné par gastu ? L'impulsion est conservée dans les deux situations ?

Patrick

[Xoxopixo]

Bonjour,

(On peut voir cela aussi comme une contraction des longueurs différente entre les deux côtés...)

Le "magnétisme" ne correspond-il pas déja à cette différence ?
Donc si on met l'aimant en mouvement, son intensité va simplement varier en intensité pour la charge éloignée.

[Amanuensis]

C'est un paradoxe qui repose sur une violation du principe d'action/réaction comme celui donné par gastu ? L'impulsion est conservée dans les deux situations ?

Dans l'explication que je comprends pour résoudre le paradoxe sujet de ce fil il n'y a aucun problème avec l'action-réaction.

Peut-être qu'il y a un rapport entre les deux cas, mais il ne m'apparaît pas immédiatement. Faudrait étudier... (Il y a un indice de point en commun, la note : "Pour être en accord avec le 3ieme principe de Newton, il serait nécessaire de prendre en compte les moments des champs magnétique et électrique").

[al1brn]

Bonjour,

les charges d'un côté vont moins vite que de l'autre, selon la théorie de la relativité. Cela dissymétrise la distribution des charges dans l'aimant et alors la charge ponctuelle engendre un couple sur l'aimant, qui devrait donc se mettre à tourner selon l'axe x.

Elles vont moins vite d’un côté mais il y en a plus. Est-ce que l’effet nombre ne compense pas l’effet vitesse ?

Cordialement

[Amanuensis]

Elles vont moins vite d’un côté mais il y en a plus. Est-ce que l’effet nombre ne compense pas l’effet vitesse ?

Oui, puisque le courant est le même de chaque côté. Mais c'est bien le point: l'addition non linéaire des vitesse fait que vu du second référentiel il y en a plus d'un côté, donc la force électro-statique exercée par la charge est différente.

[stefjm]

Oui, puisque le courant est le même de chaque côté. Mais c'est bien le point: l'addition non linéaire des vitesse fait que vu du second référentiel il y en a plus d'un côté, donc la force électro-statique exercée par la charge est différente.

Et du coup, je ne comprend plus trop comment est défini ce courant en fonction des charges?
C'est du continu, du discret?
Le nombre total de charge est conservé?

Ca me fait des noeuds aux cerveau...

[Amanuensis]

Suffit d'oublier les charges et de prendre le courant J. Détails de calcul, du moins pour le paradoxe en question.

Le paradoxe est indépendant de l'électromagnétisme, même si c'est l'électromagnétisme qui est le plus simple choix pour un exemple. Ce qui intervient est le fait que la force exercée dérive d'un potentiel; or la notion de potentiel est bien moins simple en RR qu'en classique. Un exemple de difficulté nouvelle est qu'en classique la notion de potentiel ne met en jeu que l'énergie. Mais en RR, l'énergie est inséparable de la quantité de mouvement, et quelque chose qui n'est qu'énergie dans un référentiel va impliquer une quantité de mouvement dans un autre.

[al1brn]

vu du second référentiel il y en a plus d'un côté, donc la force électro-statique exercée par la charge est différente.

Ok, j’avais mal compris l’énoncé.

Je crois que la force électrostatique s’appuie sur des particules (des bosons ?) qui sont échangées entre deux charges.
N’y a-t-il pas un phénomène temporel qui intervient ? Du côté où les charges sont plus rapides et moins denses, elles échangent peut-être plus fréquemment des bosons ce qui équilibre.

[al1brn]

J'ai essayé d'approfondir un peu cette idée.

Je ne pense pas qu'on puisse considérer en RR que la force électrostatique soit instantanée entre deux charges en mouvement relatif (la charge fixe et une des charges en rotation). En effet, ce qui est instantané dans le référentiel de l'une ne l'est pas dans le référentiel de l'autre. Or, aucun de ces deux référentiels ne peut être privilégié.

Il me semble donc qu'on est contraint d'utiliser un modèle dans lequel la force ne s'exerce pas instantanément entre les deux charges mais via un vecteur qui se transmet à une certaine vitesse.

Si je note T la période caractéristique d'émission des bosons mesurée dans le référentiel initial.

La transformation de Lorentz donne T' dans le référentiel en mouvement. T' est la somme d'une composante dépendant de T et d'une composante dépendant de la position. La fréquence 1/T' n'est donc pas constante sur le parcours d'une charge comme c'est le cas dans le référentiel initial.

Donc l'idée serait de regarder si les charges n'émettent pas les bosons à une fréquence plus élevée du côté où elles sont plus rapides.

[Amanuensis]

Intéressant.

Cependant, ce n'est pas sur la piste de ce qui est décrit dans les articles expliquant le paradoxe.

Dans le cas le plus simplifié, on prend un champ électrique uniforme et constant (la charge est supposée très loin par rapport aux orbites), et la question du délai disparaît.

[al1brn]

Autre piste dans ce cas.

Le bilan des forces est fait à l’instant t’ dans le second référentiel. Les forces prises en compte dans le bilan ne sont pas exercées de manière simultanée dans le référentiel initial.

Je ne suis pas sûr que cette somme de forces non « simultanées » permette d'en déduire quelque chose sur la mise en mouvement de l'aimant.

Un exemple pour illustrer ce que je veux dire.

Imaginons un objet long immobile dans un référentiel inertiel. A un instant donné, on exerce simultanément deux forces de même intensité mais de sens contraire de chaque côté de l’objet. La somme des forces est nulle et l’objet ne bouge pas.

Lorsque cette expérience est vue d’un référentiel inertiel en mouvement dans le sens de la longueur de l’objet, les forces ne sont pas appliquées de manière simultanée. Entre ces deux événements, pour le référentiel inertiel en déplacement la somme des forces exercées sur l’objet est non nulle. Pourtant l’objet reste immobile dans son référentiel inertiel.

[Amanuensis]

Le problème dans ce genre d'approche est que "simultané" est défini par le référentiel même. L'un des aspects les plus importants du modèle d'espace-temps qu'est la RR est que la "simultanéité" est arbitraire au sens où il y a une très grande liberté de choix. Et choisir un référentiel en RR, c'est choisir une simultanéité.

Que la simultanéité ne soit pas la même que dans le référentiel initial est intrinsèque au modèle, et quand on dit (une manière d'exprimer le principe de relativité) que les référentiels sont équivalents pour faire de la physique, on dit entre autres qu'on peut prendre comme simultanéité celle qu'on veut parmi les référentiels inertiels.

Bref, quand on parle du couple exercé sur un objet, il dépend du référentiel et est calculé selon la simultanéité dudit référentiel, et les lois de la physique l'utilisent ainsi calculé! Ici le couple dépend bien du référentiel, nul dans le référentiel initial et non nul dans l'autre; la question (intéressante) est qu'est-ce que dit la physique à propose d'un objet sur lequel s'exerce un couple non nul?

[al1brn]

quand on dit que les référentiels sont équivalents pour faire de la physique, on dit entre autres qu'on peut prendre comme simultanéité celle qu'on veut parmi les référentiels inertiels

Je suis bien entendu d’accord avec ce principe, mais selon moi il ne s’applique pas à votre paradoxe. En effet, vous ne faîtes pas une deuxième expérience dans un autre référentiel, vous observez une expérience unique à partir d’un second référentiel. Les effets de la relativité « déforment » l’observation et donnent l’illusion que des lois de la physique sont violées.

C’est ce que se passe avec l’expérience que je vous ai proposée. Il y a une seule expérience. Elle est décrite différemment à partir du référentiel en mouvement. Vu de ce dernier, un observateur a l’impression qu’une somme non nulle de forces n’engendre pas d'accélération.

Bref, quand on parle du couple exercé sur un objet, il dépend du référentiel et est calculé selon la simultanéité dudit référentiel, et les lois de la physique l'utilisent ainsi calculé! Ici le couple dépend bien du référentiel, nul dans le référentiel initial et non nul dans l'autre

Dans le référentiel en mouvement, comment calculez-vous le couple exercé par une charge en rotation ?

[Amanuensis]

Je suis bien entendu d’accord avec ce principe, mais selon moi il ne s’applique pas à votre paradoxe. En effet, vous ne faîtes pas une deuxième expérience dans un autre référentiel

"Faire une expérience dans un référentiel" n'a aucun sens. Je sais que ce genre d'expression est très utilisé, mais cela sous-tend, à mon avis, une incompréhension du principe même de relativité. Un référentiel n'est qu'un système de référence, ce n'est pas un "lieu", c'est plutôt comme une carte. On ne dit pas "un voyage dans une carte Michelin" par opposition à un voyage "dans une carte IGN". On parle ici d'une seule expérience, décrite en prenant comme référence deux référentiels différents. Le principe de relativité affirme que le choix de cette référence ne change rien à la "physique", que les deux descriptions obtenues sont équivalentes. Le point du paradoxe est bien que les deux descriptions sont apparemment différentes, la notion de "aimant tournant par rapport à la charge" se comprenant comme un changement de la partie de l'aimant faisant face à la charge, et cela est "physique", indépendant du référentiel choisi pour faire les calculs.

Les effets de la relativité « déforment » l’observation et donnent l’illusion que des lois de la physique sont violées.

L'illusion, oui. C'est le paradoxe. Le point est justement que les lois de la physique ne sont pas violées par les effets de la relativité. Ici, elles le paraissent, et c'est nécessairement une erreur.

Dans le référentiel en mouvement, comment calculez-vous le couple exercé par une charge en rotation ?

Comme dans n'importe quel référentiel inertiel, comme dans le référentiel initial! C'est le calcul normal du moment des forces, il n'y a rien de particulier. (L'idée qu'il pourrait y avoir une méthode de calcul différente selon un "type" de référentiel (parmi les inertiels) est contraire au principe de relativité.)

En pratique il y a souvent une "illusion" d'un calcul particulier, lié à un choix de référentiel déterminé par l'expérience même qu'on veut décrire, choix qui annule certaines variables qui du coup disparaissent. Un cas très classique est celui de E=mc², qui n'est valide que dans un référentiel particulier (et donc pas une "loi physique" bien écrite), simplification de la formule correcte m²c^4 = E²-p²c² quand on choisit le référentiel tel que p=0.

[al1brn]

Je réponds rapidement sur ce point et je reviendrai plus tard sur le calcul des moments.

"Faire une expérience dans un référentiel" n'a aucun sens

Mon vocabulaire n'est peut-être pas bon car je n'ai pas l'impression d'être en désaccord avec vous.

Par contre, il y a quelque chose qui selon moi ne dépend pas du référentiel, c'est le couple (événement , force).


Je vous ai proposé une expérience (l'objet sur lequel sont appliquées simultanément deux forces opposées aux deux extrémités). Dans la mesure où je décris cette expérience en faisant référence à deux événements simultanés, je privilégie le référentiel inertiel dans lequel ces deux événements sont simultanés.

Est-ce que selon vous, les lois sont violées lorsque l'on décrit cette expérience à partir d'un référentiel inertiel en mouvement le long de l'objet. Il semble que oui entre les deux moments où les forces sont appliquées.

J'ai réfléchi depuis que j'ai soumis cette expérience et j'ai une réponse possible qui explique pourquoi aucune loi n'est violée.

[Amanuensis]

(l'objet sur lequel sont appliquées simultanément deux forces opposées aux deux extrémités).

La difficulté est que vous ne parlez pas exactement d'événements. Une force n'est pas un événement, ce qui l'est et s'en approche le plus est un choc.

Si on prend deux chocs sur un même objet, et si ces chocs (en tant qu'événements) sont séparés spatialement, il y a bien un référentiel inertiel particulier où on leur attribuera la même coordonnée temporelle (on peut appeler cela "être simultanés", mais j'écris selon la conceptualisation que j'utilise).

[Le cas intéressant est bien celui de deux chocs se compensant: dans le référentiel où ils ont la même coordonnée temporelle, il y a immobilité du centre de masse; mais quid d'autres référentiels? (C'est encore un cas où l'élasticité de l'objet intervient, ainsi que la définition du centre de masse.)]

Parler de force sous-tend un phénomène qui dure, un segment non nul de trajectoire 4D du point d'application, et la notion de "simultanéité" devient bien moins évidente. En pratique, tous les référentiels sont alors équivalents, du moins dans la phase où la force est "constante".

Est-ce que selon vous, les lois sont violées lorsque l'on décrit cette expérience à partir d'un référentiel inertiel en mouvement le long de l'objet.

Si la loi est mal exprimée, bien sûr qu'elle peut être violée. E=mc² est violée systématiquement si E est l'énergie calculée dans un référentiel autre que celui où p=0 (E et p sont des valeurs relatives, des composantes du 4-vecteur énergie-quantité de mouvement, et comme toutes composantes, elles dépendent du système de coordonnées!). Le problème est dans la "loi", pas dans les descriptions.

Quand on est mis en face d'une "loi violée", la première piste à examiner est bien si on n'est pas en train de prendre pour "loi" quelque chose qui n'en est pas une, ou du moins qui est mal exprimée et/ou comprise de travers.

[Amanuensis]

PS: Pourrait-on revenir au sujet du fil?

[al1brn]

La difficulté est que vous ne parlez pas exactement d'événements. Une force n'est pas un événement

Oui, une force n'est pas un événement. En revanche, dire "à l'instant t, la charge ponctuelle est soumise à une force F" se traduit par un couple (événement, force) où l'événement est les coordonnées (ct, x, y, z) de la charge.

Pour moi, ce couple est un invariant. En d'autres termes, lorsque je décris une expérience à partir d'un autre référentiel, je dois arriver au même résultat : les coordonnées de l'événement changent avec la transformation de Lorentz mais le calcul de la force doit aboutir au même résultat sinon c'est qu'il y a une erreur.

(C'est encore un cas où l'élasticité de l'objet intervient, ainsi que la définition du centre de masse.)

Je suis d'accord, c'est la conclusion à laquelle j'étais arrivé. L'application des forces est simultanée mais il faut tenir compte de la propagation des deux ondes de choc le long de l'objet jusqu'au centre.

C'est le calcul normal du moment des forces, il n'y a rien de particulier. (L'idée qu'il pourrait y avoir une méthode de calcul différente selon un "type" de référentiel (parmi les inertiels) est contraire au principe de relativité.)

Je n'étais pas complétement sorti du sujet car le point que je voulais mettre en avant est que la simultanéité entre la cause et l'effet est une source d'erreur en RR. Et donc, je me demandais s'il ne fallait pas tenir compte du temps de propagation de la force exercée le long du bras de levier.

Mais il m'est venu une autre piste de solution liée à la forme des bras de levier.

Je m'explique.

Dans le référentiel initial, les charges en rotation sont placées aux extrémités de rayons rigides linéaires. Le tout ressemble à une roue de vélo.

Au centre de la roue, la vitesse des rayons est faible.

Vu du référentiel en mouvement, les points situés proches du centre de la roue subissent un effet de décalage moins important que les extrémités où sont situées les charges.

Les rayons sont donc courbes.

Ne faut-il pas tenir compte de la courbure des rayons pour calculer le moment exercé sur l'aimant ?

A la limite, le décalage des bases des rayons est nul de sorte que les bases sont régulièrement réparties autour du centre.

En synthèse, même si les charges s'accumulent d'un côté, du fait de la courbure des bras de levier, les moments sont eux régulièrement répartis et s'équilibrent.

[Amanuensis]

Pour moi, ce couple est un invariant. En d'autres termes, lorsque je décris une expérience à partir d'un autre référentiel, je dois arriver au même résultat : les coordonnées de l'événement changent avec la transformation de Lorentz mais le calcul de la force doit aboutir au même résultat sinon c'est qu'il y a une erreur.

Pourtant...

Et donc, je me demandais s'il ne fallait pas tenir compte du temps de propagation de la force exercée le long du bras de levier.

La distance entre la charge et la boucle étant constante, le champ électrique est stationnaire, et le temps de propagation n'intervient pas.

Ne faut-il pas tenir compte de la courbure des rayons pour calculer le moment exercé sur l'aimant ?

Il me semble que c'est la même chose que dire qu'il y a plus de charge d'un côté que de l'autre

En synthèse, même si les charges s'accumulent d'un côté, du fait de la courbure des bras de levier, les moments sont eux régulièrement répartis et s'équilibrent.

Je ne comprends pas. Le calcul du moment cinétique (et le couple en question en est la variation) se calcule en prenant comme "bras de levier" OM, O étant un point fixe dans le référentiel (typiquement l'origine) et M le point matériel. Cela ne se calcule pas à partir d'un point mobile comme le centre de la boucle.

---

De toutes manières, les explications données dans les références où sont donnés les éléments de résolution ne portent pas sur une erreur dans le calcul du couple. Il n'y a pas de problème, selon ces références (et cela ne me choque en rien), à ce que le calcul du couple donne 0 dans un référentiel et non nul dans l'autre; et le calcul du couple donné par l'auteur (ou néo-auteur) du paradoxe n'est pas mis en doute.

[al1brn]

Je ne comprends pas. Le calcul du moment cinétique (et le couple en question en est la variation) se calcule en prenant comme "bras de levier" OM, O étant un point fixe dans le référentiel (typiquement l'origine) et M le point matériel. Cela ne se calcule pas à partir d'un point mobile comme le centre de la boucle.

Oui, je retire mon idée, ce n'est pas la bonne piste...

Il n'y a pas de problème, selon ces références (et cela ne me choque en rien), à ce que le calcul du couple donne 0 dans un référentiel et non nul dans l'autre; et le calcul du couple donné par l'auteur (ou néo-auteur) du paradoxe n'est pas mis en doute

De mon côté, cette idée me choque. Je veux bien le détail car je doute du calcul...