Grandeurs complexes

[DuckDDR]

Bonjour à tous!

La question va peut être sembler bête à beaucoup, mais moi je bloque dessus depuis pas mal de temps et j'ai toujours fait avec sans chercher à comprendre pourquoi... Jusqu'à aujourd'hui je l'espère!

Quand on a des grandeurs complexes, par exemple en électromagnétisme (conductivité, indice optique, etc...) qu'est qui justifie qu'on puisse "comparer" la partie imaginaire et la partie réelle (comme on peut le faire en se mettant à haute ou basse fréquence) et en déduire par exemple que le complexe est en fait réel ou imaginaire pur?

Une des choses essentielles avec les complexes c'est qu'il n'y a pas de relation d'ordre. Donc comment par exemple un si ou un si ??

Merci de votre intérêt!
-----

[coussin]

On fait des comparaisons avec les parties réelles et imaginaires qui sont des nombres réels. Pis graphiquement, c'est évident: arctan(im/re) ça tend vers 0 ou pi/2...

[DuckDDR]

On fait des comparaisons avec les parties réelles et imaginaires qui sont des nombres réels. Pis graphiquement, c'est évident: arctan(im/re) ça tend vers 0 ou pi/2...

Certes, ça j'avais bien compris! Mais pour moi c'est tout de même en contradiction avec le fait qu'on ne peut pas comparer un imaginaire pur avec un réel! Je ressent ça comme si on sommait deux grandeurs d'unités différentes!

Y a qu'à voir en analyse complexe, je n'ai pas souvenir d'avoir fait des choses comme ça... y a qu'en physique

[coussin]

Vous ne comparez pas un imaginaire pur avec un réel (cela n'a pas de sens). Vous comparez deux nombres réels.

[A voir en vidéo sur Futura]

[DuckDDR]

Vous comparez deux nombres réels.

Alors ce que je ne comprends pas c'est comment la comparaison de deux nombres réels peut-elle parfois donner un imaginaire pur?

Parce que si avec donne c'est bien que quelque part on a fait la somme! Comme pour un bête toujours si ()

[PA5CAL]

Bonsoir

On ne compare pas des valeurs, réelles ou complexes, sans une bonne raison.

S'il n'existe pas de relation d'ordre sur les complexes, en revanche il en existe pour leur partie réelle et leur module (voire, sous certaines conditions, pour leur argument).


On peut donc parfaitement écrire que 1+ετ≈1 si τ≪1 lorsque le module, la partie réelle et la partie imaginaire de cette valeur sont assimilables à la même grandeur physique (par exemple une tension électrique).

En revanche, si la représentation d'une situation physique sous une forme complexe donne des rôles différents à la partie réelle et à la partie imaginaire (par exemple une tension électrique pour l'une et l'intensité d'un courant pour l'autre), ce qui peut se justifier d'un point de vue strictement mathématique, alors l'approximation risque de ne plus être valable.

[coussin]

Alors ce que je ne comprends pas c'est comment la comparaison de deux nombres réels peut-elle parfois donner un imaginaire pur?

J'ai du mal à voir ce qui bloque... Un imaginaire pur est un complexe dont la partie réelle est nulle. Un nombre complexe dont la partie réelle est petite (devant sa partie imaginaire bien sûr) est donc à peu près imaginaire pur.
Si c'est la somme x+i*y qui semble vous bloquer, voyez un nombre complexe comme un couple (x, y)...

[PA5CAL]

Oups... il faut lire " 1+iτ≈1 si τ≪1 "

[DarK MaLaK]

Salut,

Je dirais que si on a un nombre complexe a + ib avec b>>a par exemple, on peut l'écrire b*(a/b + i) et comme a/b est proche de zéro, on peut dire que a+ib est proche de ib en ayant juste comparé les parties réelles et imaginaires sous la forme d'une fraction. Sinon on le voit bien en traçant un graphe avec la partie réelle en abscisses et la partie imaginaire en ordonnée, vu que le vecteur OM correspondant à a+ib sera presque parallèle à l'axe des ordonnées.

[DuckDDR]

On peut donc parfaitement écrire que 1+iτ≈1 si τ≪1 lorsque le module, la partie réelle et la partie imaginaire de cette valeur sont assimilables à la même grandeur physique

Oui mais voilà, pourquoi? La justification est-elle purement physique? Il faut donc se représenter de cette façon:

Un imaginaire pur est un complexe dont la partie réelle est nulle. Un nombre complexe dont la partie réelle est petite (devant sa partie imaginaire bien sûr) est donc à peu près imaginaire pur.

Si c'est la somme x+i*y qui semble vous bloquer, voyez un nombre complexe comme un couple (x, y)...

Oui mais cette relation me conviendrait pour des études asymptotiques en 0 par exemple. C'est vraiment le fait de dire qu'une des deux parties est négligeable devant l'autre qui me dérange. Mais peut être que cherche trop à l'aborder "mathématiquement"... Parce qu'existe-t-il une justification mathématique à tout ça? Je pense que c'est ça qui bloque pour moi...

[obi76]

Salut,

si on prend un complexe , et qu'on a (comparaison entre deux réels), alors on peut approcher par , car et
idem si a << b, on peut approcher par , car et

[DuckDDR]

si on prend un complexe , et qu'on a (comparaison entre deux réels), alors on peut approcher par [/TEX]\tilde z = a[/TEX], car et
idem si a << b, on peut approcher par , car et

Ah le déclic que j'attendais! C'est la démonstration qu'il me fallait je crois! Merci obi!

J'vais aller me coucher là dessus pour laisser germer et demain je referai quelques exos pour voir si ça va mieux!

En tout cas merci à tous pour vos interventions! Le fait d'avoir pu en discuter m'a aider à y voir clair!

[obi76]

Pas de soucis

[PA5CAL]

Oui mais voilà, pourquoi? La justification est-elle purement physique?

C'est la signification de la valeur qui est importante. La justification est certainement physique quand on traite de sciences physiques. Mais dans le domaine purement mathématique, je pense qu'on peut encore parler d'une certaine manière de la « signification physique » de la valeur complexe considérée, c'est-à-dire de ce à quoi elle sert dans le raisonnement mathématique.


obi76 a donné un exemple où l'approximation réalisée semble valable.

En revanche, on ne peut décemment pas considérer que a+ib≈a lorsque b«a dans l'expression f(x)=e^(a+ib)x, notamment si l'on s'intéresse aux valeurs x=(2k+1)π/b (avec k∈ℕ). Cela reviendrait à pouvoir dire que e^ax≈–e^ax lorsque ax est très grand ! (pour s'en persuader, prendre par exemple a=100, b=0,01 et x=300π ).

C'est parce qu'ici, a et b ont des significations très différentes : a donne la vitesse d'accroissement de l'amplitude des rotations autour de 0 de f(x) dans le plan complexe quand x varie, tandis que b donne la pulsation de ces rotations (ou bien, si l'on s'intéresse à la seule partie réelle, a donne la vitesse d'accroissement de l'amplitude des oscillations autour de 0 tandis que b donne la pulsation de ces oscillations).

[obi76]

En revanche, on ne peut décemment pas considérer que a+ib≈a lorsque b«a dans l'expression f(x)=e^(a+ib)x, notamment si l'on s'intéresse aux valeurs x=(2k+1)π/b (avec k∈ℕ). Cela reviendrait à pouvoir dire que e^ax≈–e^ax lorsque ax est très grand ! (pour s'en persuader, prendre par exemple a=100, b=0,01 et x=300π ).

Je suis tout à fait d'accord. On peut toujours discuter du fait par exemple où a = 10-12 et b = 10-3. On a b >> a mais le rapport entre les deux arguments (z = ib et z = a+ib) est gigantesque...

Bref, dans les cas "classiques" où on les utilise (en électronique pour les circuits RLC par exemple), c'est valable. Évidement ce n'est pas vrai tout le temps...

[stefjm]

Bonjour,
Bonne question et très intéressante.

En électronique de puissance, on utilise des unités différentes pour la partie réelle de la puissance complexe (P Puissance active en Watt), pour la partie imaginaire (Q Puissance réactive en Volt Ampère Réactif) et pour le module (S Puissance apparente en Volt Ampère).

Cela signifie que la comparaison entre puissance active et réactive n'a aucun sens car les deux type de puissance évolue sur des droites perpendiculaires. (pas dans dans le même espace)

De même, on ne peut additionner directement puissance active et puissance réactive car elle n'ont pas même unité.

Par contre, on peut additionner en complexe , ou surcharger l'addition par .

Notez au passage que cette écriture attribue une unité au complexe i et au réel 1.

1 : VA/W
i : VA/VAR

On a également les relations :
et

Si le système d'unité est cohérent, on peut comparer sous certaines conditions partie réelle et partie imaginaire.
Par exemple, une machine synchrone a une puissance apparente nominale S, qu'on peut répartir en puissance active ou réactive. Il faut rester dans le cercle de rayon S.

Cordialement.

[albanxiii]

Bonjour,

Si les explications de Obi ne suffisent pas, avec un dessin, je trouve que c'est très clair. C'est une histoire de distances dans le plan complexe.

@+

[coussin]

Oui, c'est ce que je disais avec arctan(im/re). Ça va vers arctan(0) ou arctan(infini).

[stefjm]

Si les explications de Obi ne suffisent pas, avec un dessin, je trouve que c'est très clair. C'est une histoire de distances dans le plan complexe.

Et c'est aussi pour cette raison que cela ne marche pas pour

[albanxiii]

Re,

Dans ce cas, j'écrirais , et on revient à comparer, si la question initiale se pose, et .
Ou alors, je suis aux fraises ?

Si on veut, on peut trouver des tas d'expression "avec du dedans" (des fonctions de ce nombre complexe) où la comparaison directe entre et (qui revient à faire n'importe quoi donc, puisqu'on travaille sur une fonction de et pas sur directement), n'est pas pertinente pour trouver le terme prépondérant. Mais là, ça devient un tout petit peu capillotracté....

@+

[PA5CAL]

Toute la question est de savoir dans quelles conditions on peut négliger la partie imaginaire devant la partie réelle (ou l'inverse).

Le fait est qu'on ne peut pas décider que l'un est prépondérant devant l'autre en dehors de tout contexte, juste en observant leurs valeurs.

Plus généralement, on ne peut pas effectuer de comparaison entre les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe sans connaître le sens qu'on lui donne.

[obi76]

Là on en revient aux primordiaux de la physique : qu'est ce qui peut être négligé ou pas... En tous cas, négliger une valeur imaginaire au profit d'une valeur réelle ou vice-versa peut être justifié, ce qui répond à la question initiale.

[stefjm]

Dans ce cas, j'écrirais , et on revient à comparer, si la question initiale se pose, et .
Ou alors, je suis aux fraises ?

Non.
Et la relation d'ordre est mise à mal par les fonctions non monotones sinus et cosinus.

Si on veut, on peut trouver des tas d'expression "avec du dedans" (des fonctions de ce nombre complexe) où la comparaison directe entre et (qui revient à faire n'importe quoi donc, puisqu'on travaille sur une fonction de et pas sur directement), n'est pas pertinente pour trouver le terme prépondérant. Mais là, ça devient un tout petit peu capillotracté....

Tout ce qui est transformée de Laplace est fonction de ce type.

Cela permet de comparer des pulsations w (partie imaginaire) à des inverses de constante de temps (partie réelle).


Cordialement.