Skate : cassera ? cassera pas ?

[beral54]

Bonjour à tous, j'ai un problème de RDM à vous suggérer :

Imaginons un skateur qui fait un saut au-dessus de son skate et qui retombe en son centre. Pour simplifier l'énoncé, la trajectoire est verticale et de vitesse initiale nulle. J'aimerais savoir si le skate en question résisterait ou non au saut (déformation élastique / plastique / rupture). Il existe un cas similaire en escalade avec la force de choc, la formule existe, seulement comment passer de la surface de la section de la corde à une dimension équivalente sur le skate ?

Pour qu'on parte tous avec les mêmes valeurs, les voici :

Poids skateur = 60 kg
Hauteur du saut = 2 m
Module d'Young du skate = 15000 MPa
Contrainte de rupture à la flexion du skate = 90 MPa
Empattement / largeur / hauteur du skate = 50 cm / 22 cm / 1 cm

Je vous remercie par avance pour vos réponses !
-----

[Lyris]

Bonsoir,

l'ambiguité dans ton histoire c'est qu'une pression a des unité en N/m^2 (=Pa). Donc tu dois définir sur quelle surface le poids du skateur appuie. En l'occurrence tu n'as pas besoin des dimensions du skate pour résoudre.

[beral54]

Les dimensions du skate sont importantes, parce qu'à module d'Young identique, la réponse à la charge sera différente selon l'empattement : plus celui-ci sera élevé, plus la flèche et les contraintes internes le seront.
Quant aux unités, pression et contrainte, même combat !

[Lyris]

Tu n'as pas répondu à ma question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[beral54]

Dis-moi où tu veux en venir, on gagnera du temps !

[Lyris]

Lorsque tu sautes sur ton skate, la pression que tu exerceras dessus est dépendante de la surface de tes pieds sur le skate. Plus la surface est petite plus la pression sera intense. Tu dois comparer la pression que tu exerces à la contrainte maximal que ton matériau peut supporter.

[beral54]

Pour calculer une pression, qui par définition est le rapport de la force exercée sur la surface, je dois connaître ladite force. Or, selon moi, il est possible de calculer l'énergie cinétique ou la vitesse de chute juste avant le contact avec la planche, mais j'ai aucune idée de comment calculer la force en question.

[LPFR]

Bonjour.
La RDM n’est pas mon domaine.
En fait il faut calculer quelle est la force maximale F que le skate peut supporter dans son centre avant de casser.
Et la déformation D du centre pour cette force.
Avez ces deux valeurs on calcule l’équivalent de la constante élastique k = F/D.
Puis l’énergie élastique stockée dans le skate est : ½kD²
C’est l’énergie cinétique maximale que le skateur peut communiquer au skate pour ne pas casser l’engin.

Mais ce calcul est faussé par le fait que le skateur n’est pas une pierre et qu’il plie les genoux et le corps pour amortir l’impact. Et ça, c’est très difficile à calculer. Ce n’est plus de la physique.
Au revoir.

[beral54]

Merci pour cette réponse LPFR, je m'orientais justement vers cette solution en comparant l'énergie élastique max que le skate peut encaisser à l'énergie cinétique du skateur, mais je sais pas comment calculer cette énergie élastique. Comme pour la flexion d'une poutre elle doit mettre en jeu le module d'Young et les dimensions du skate pour les paramètres d'élasticité, et logiquement sa contrainte à la rupture en flexion comme point limite à ne pas dépasser, mais comment combiner l'ensemble ?

Concernant le skateur je vais considérer que c'est un solide indéformable dont toute l'énergie cinétique devra être absorbée par la skate (et non en partie par sa masse musculaire). Vu que je cherche juste à avoir un ordre de grandeur pour dimensionner un skate, et pas une valeur-étalon, cette approximation n'est pas dramatique.

[Titiou64]

Bonjour,

Tu peux considérer que ton skateur est une force ponctuelle appliquée sur ton skate (pas la peine de s'embêter avec la surface des pieds).
L'idée est de trouver la force appliquée au milieu du skate.
Tu as les 2 relations suivantes :
, tirée des théorèmes énergétiques

, tirée de la RdM

avec la déformation du skate au milieu, v la vitesse du sauteur, E le module d'Young et I l'inertie (=0.22*0.01^3/12)

Pour déterminer v, tu peux utiliser les formules de la chute libre.
En remplaçant dans la première équation, tu peux tirer F (attention aux unités).
A partir de cette valeur de F, tu peux calculer le moment (FL/4) et donc la contrainte appliquée et la comparer à la contrainte limite (=M/(I/v)).

Mais cette valeur est très très défavorable (chute libre, non déformation du skateur). En prenant un coef de sécurité de 2 ou 3 sur le poids du skateur je suppose que c'est largement suffisant pour vérifier la tenue du skate.

[LPFR]

Re.
Regardez ces deux pages :
http://www.engineeringcalculator.net...alculator.html
http://www.engineeringtoolbox.com/be...on-d_1312.html
A+

[beral54]

Merci Titiou64 et LPFR pour vos réponses et vos liens ! Je regarde ça et vous redis si je m'en sors ou pas. Pour le cas de la non déformation du skateur, il y a peut-être moyen de trouver un plafond de puissance qu'il peut encaisser à l'impact (biomécanique). En faisant le lien avec l'énergie cinétique à dissiper, ça nous donnerait quelle portion serait alors à la seule charge du skate.

[beral54]

, tirée des théorèmes énergétiques

Je n'arrive pas à trouver la démonstration qui permette de passer de l'énergie cinétique à la force : tu fais comment ? Pour le reste du calcul c'est dans mes cordes.

[LPFR]

...
, tirée des théorèmes énergétiques

...

Re.
Cette relation n’est pas la bonne. Elle donne la force moyenne et non la force maximum.
Il faut utiliser la relation que j’ai donné dans le post#8.
A+

[beral54]

Ces équations-là, en quelque sorte ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raideur...C3.A9formation

[LPFR]

Re.
Oui. Bien sûr.
A+

[Titiou64]

Re,

Cette relation n’est pas la bonne. Elle donne la force moyenne et non la force maximum.

Effectivement on a un coef 1/2 entre nos équations. Celle que j'ai donné est cependant celle utilisée pour les calcul des ponts et des bâtiments

[beral54]

Bon j'ai changé de valeurs concernant les paramètres de mon premier post. Voici les nouvelles :

Individu
masse : 110 kg
hauteur : 2 m

Longboard
empattement : 1030 mm
largeur : 270 mm
hauteur : 15 mm
matériau utilisé : bambou brut considéré isotrope dans un premier temps
module d'Young : 15 GPa
contrainte à la rupture en flexion : 90 MPa

Saut
chute libre verticale sans vitesse initiale
retombée au centre du longboard
hauteur absolue : 1,5 m
hauteur relative : 0.30 m

Calculs et simulations de l'impact
charge maxi sur le centre du longboard avant rupture : 2750 N
raideur mécanique du longboard : 72 kN/m
énergie élastique maximale du longboard avant rupture : 53 J
énergie cinétique du skateur juste avant impact : 324 J
raideur mécanique des jambes du skateur : 10 kN/m (après recherches en biomécanique)
énergie élastique des jambes du skateur : 378 J

Que pensez-vous de ces résultats ? Pas concernant leur exactitude, mais leur ordre de grandeur : vous semblent-ils cohérents ?
Maintenant j'essaie d'étudier le fonctionnement de deux ressorts ensemble (ce à quoi s'apparente désormais cette étude), pour voir comment les deux interagissent et dispersent l'énergie élastique emmagasinée...

Vous l'aurez compris je suis en train de me concevoir un longboard, et je voudrais pas qu'il casse dès le premier saut !

[LPFR]

Re.
Je n’ai pas le temps de regarder en détail ce soir.
Mais je ne comprends pas les hauteurs absolue et relative du saut.

La valeur de 10 kN/m me semble suspecte. La force sur les pieds des sauteurs de trampoline est d’environ 7 kN et ses jambes n’ont pas fléchi de 70 cm.
A+

[beral54]

Pour la hauteur relative de 30 cm, c'est la différence de hauteur du centre de gravité en saut par rapport à la position statique sur le skate. La hauteur absolue correspond à la distance entre le centre de gravité et le skate.

Quant à la raideur des jambes, l'info provient d'une thèse qui traite de sauts d'un point de vue biomécanique : la valeur de 10 kN/m provient de stats sur différents joueurs de basket, handball, voley, etc., alors que pour des novices la moyenne tourne autour de 2 kN/m.

[mc222]

Bonsoir,

Si l'on garde le modèle simplifié de la poutre sur deux appuis ponctuels soumise à la chute d'une masse ponctuelle, on peut modéliser le déplacement de la fibre neutre ainsi je crois:

En théorie des poutres, on a une équation fondamentale qui est : où est la force "extérieur linéique", c'est-à-dire la force extérieur appliquée au point x.

Dans le cas d'une force ponctuelle, prend la forme d'une distribution de Dirac.
De plus, l'intensité de cette force vaut ou est la masse tombante et , l'accélération que subit la masse, en tombant.



On a donc 4 conditions aux limites spatiales (déformée et pente aux limites) et 2 conditions initiales (déformée initiale et vitesse initiale).

Une fois l'équation de la déformée, on repère la flèche maximale et on remonte à la contrainte max.

Qu'en dites-vous ?

A+

[mc222]

D'ailleurs, je pense que c'est dans l'expression de la vitesse initiale de déplacement qu'on introduit l'énergie cinétique de la masse tombante.
En effet, à l'endroit du choc : xo et à l'instant du choc t=0, la vitesse de la masse tombante (qui dépend de son énergie cinétique) et égale à la vitesse de déplacement de la fibre neutre.

[beral54]

Concernant le longboard en lui-même, en faisant varier l'effort ponctuel en son centre (avec CATIA V5), j'ai obtenu sa valeur maximale correspondant à la limite élastique. Et de cet effort j'en ai déduit l'énergie élastique maximale admissible. Maintenant, la question que je me pose est de pouvoir faire le même calcul avec un être humain.

[beral54]

Désolé mc222 mais j'suis pas assez calé en RDM pour réussir à te suivre...

[Jaunin]

Bonjour,
Il y a quelques renseignements dans le livre résistance des matériaux Timoshenko tome 1 sur les flèches due à un choc et dans le lien suivant

http://www.raymondnicolet.ch/resmat/...emateriaux.pdf

Cette utilisation est nouvelle ou des planches subissent t-elle déjà ce traitement.
Car là il semble que l'on dépasse la limite de résistance du bois, mais maintenant les jambes du sportif peuvent amortir le choc comme la fait remarquer LPFR que je salue.

Cordialement.
Jaunin__

[LPFR]

Bonjour.
Je ne peux pas juger des résultats. Je ne vois pas d’où pourrais-je avoir des chiffres de comparaison.
Je ne suis pas d’accord avec votre méthode de calcul.
Car vous supposez que le sauteur bloque es jambes et qu les jambes ainsi bloquées se compriment de 30 cm. Les muscles et les tendons ne peuvent pas s’allonger élastiquement d’une telle distance.
La raideur des jambes que vous donnez est celle qui correspond à un saut de beaucoup plus petite amplitude ou aux appuis des coureurs dans une piste. (Ceci a permis d’établir le coefficient élastique des pistes de courses que améliorent les performances).

Je pense (mais je en suis spécialiste) que la personne arrive avec les jambes bloquées, mais qu’elle « laisse aller » la flexion (comme le ferait une personne ordinaire) en absorbant une partie (importante) de l’énergie. Force au peu près constante pendant la flexion.
Ceci allonge la durée de la phase de décélération et diminue les forces et sur les jambes et sur le skate.

Mais, puisque vous faites du skate, pourquoi n’essayez-vous pas de mesurer les forces que vous exercez quand vous sautez sur quelque chose ? Il doit être possible de trouver un « bricolage » simple pour mesurer la force maximale.
Au revoir.

[beral54]

Je reconnais que mes hypothèses de départ étaient un peu légères...
Il s'agit alors de considérer un système articulaire (celui de la jambe), dont les muscles travailleraient en traction pour amortir le choc de la réception du saut et ainsi transformer l'énergie cinétique accumulée par le corps en énergie élastique. Je peux essayer de modéliser ça dans CATIA avec un mannequin numérique, en me basant sur des amplitudes angulaires de travail à ne pas dépasser et des données morphologiques précises (longueur des os de la jambe), mais il me manque la raideur mécanique de l'ensemble musculo-squelettique et le temps de conversion de l'énergie cinétique (la durée de la phase de réception). Qu'en pensez-vous ?

[LPFR]

Re.
Cette raideur dépend de l’individu. Si je saute d’une chaise, mes jambes vont céder jusqu’à ce que me fesses touchent mes talons.
Un athlète peut probablement maintenir des poids de 3 kN pendant un bref instant avant de s’écrouler. Mais c’est un chiffre au « pif »
A+

[beral54]

Bonjour tout le monde, je viens vous faire part de mon état d'avancement sur la question de l'amortissement d'un saut sur un longboard. Le problème principal est le calcul de la part d'énergie cinétique que le corps de l'individu peut encaisser, pour ainsi obtenir l'énergie résultante à la charge du longboard, et ainsi le dimensionner en conséquence.

Concernant le calcul de l'énergie cinétique, elle est donnée par la formule Ec = 1/2 m V², avec V fonction de la trajectoire. Qu'elle soit purement verticale ou parabolique, on ne considéra donc ici que sa composante verticale.

Pour le longboard en lui-même, j'ai modélisé sur CATIA un composite fibre de verre + époxy pour le renfort en sandwich et contreplaqué en hêtre pour la matrice. Je pourrai par la suite orienter la fibre de verre et les panneaux de hêtres selon les efforts à supporter (flexion pour le saut, torsion lors d'un virage ou d'un freinage perpendiculaire à la trajectoire), mais toute la question est de savoir quelle charge maximale le longboard doit supporter en flexion. On le considérera comme un ressort de constante de raideur k skate (vive l'humour) et de flexion maximale l skate.

Pour ce faire je suis parti d'un cas extrême (saut parabolique depuis un point haut de 2 m, angle de 30°, vitesse de 32 km/h) aboutissant à une énergie cinétique verticale (Ec vert) de 6504 J juste avant impact sur la planche. Vu que toute cette énergie doit être convertie en énergie potentielle élastique (Epe) par le longboard et l'individu, afin de détruire ni l'un ni l'autre, alors Epe = Ec vert = 6504 J.

Puis viens la question de l'individu en lui-même : en le modélisant comme un système masse-ressort, constitué d'un ressort linéaire simple vertical de longueur l leg (la longueur des jambes), sur lequel est posée une masse m (masse totale de l'individu, 110 kg), il est alors possible de calculer sa constante de raideur k leg.

L'ensemble individu + longboard est assimilable à deux ressorts en série, de constante de raideur totale k tot, dont la souplesse totale s'écrit 1 / k tot = 1 / k leg + 1 / k skate
En reformulant cette équation, on parvient à isoler k skate en fonction de Ec, de k leg et de l leg, puis on définit une flexion maximale l skate à ne pas dépasser (la garde au sol du longboard, par exemple), et on aboutit, avec k skate = F maxi / l skate, à la charge maximale F maxi que le longboard doit pouvoir supporter avant déformation plastique ou rupture.

Mais pour en arriver là, il convient de définir la constante de raideur des jambes de skateur, k leg. J'ai alors potassé pas mal d'études en biomécanique, rien sur la réception d'un saut, et les seules qui s'en rapprochent le plus concernent le saut en contre-haut (G. Laffaye et al., 2005). Lors d'une expérimentation en flexion maximale (genoux à 90°), pour un saut d'une hauteur de 60 cm, on a quelques données comme le temps de contact au sol pour l'impulsion, la puissance maximale spécifique développée (W/kg), qui permettent d'obtenir l'Epe de ce cas particulier. Il serait tentant de l'extrapoler à notre saut extrême, mais ça ne concerne ni la même hauteur de saut, ni le même but (amortissement total dans un cas, stockage puis restitution d'énergie pour le saut dans l'autre), ni les mêmes capacités angulaires (flexion des genoux à 140° dans un cas, 90° dans l'autre). Alors comment calculer cette constante de raideur des jambes ? Mystère...

[LPFR]

Bonjour.
J’insiste : quand on saute d’une hauteur, le comportement des jambes n’est pas élastique mais plastique. La personne ne rebondit pas.
La modélisation doit être plutôt similaire à une force de friction. Peut-être constante. Ça valeur dépend, comme je l’ai déjà dit, de la qualité des muscles de l’individu. De plus, elle est peut-être bien plus importante pour des durées courtes que pour des durées longues. On ne peut pas la mesurer es statique.

Et je répète : pourquoi ne mesurez-vous pas la force dans votre cas ?
Ce n’est pas difficile. Prenez une planche (sans roulettes) dont vous avez mesuré la constante. Mettez un morceau de pâte à modeler sous la planche. Sautez dessus et mesurez l’épaisseur de la pâte. Cela vous donnera la force maximale que vous avez exercée sur la planche.
Ça c’est la version « poor man » de la manip. On peut la faire de façon plus élaborée, si on a les moyens.
Au revoir.