Sur les dimensions physiques

[azizovsky]

pour : selon l'astuce, on doit avoir .

et on trouve par le même astuce pour cad

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[azizovsky]

correction :cad

[azizovsky]

correction :cad

ayyy

[Deedee81]

Salut,

Disons que angle et radian est peut être liés par la prise en compte de dims physiques.
Or le spin et dérivé MQ, ou l'inertie.rotation RG sont assez particuliers

Je suis désolé mais ça ne veut rien dire. En tout cas je n'arrive pas à y donner le moindre sens.

[Nicophil]

Sur la distinction des grandeurs polaires et des grandeurs axiales : http://artheque.ens-cachan.fr/archiv...b171a8e6eb.pdf

[stefjm]

Il y a de la transmission de pensée dans l'air...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_cyclotomique

X^n=1

J'ai hésité entre et

Pour préciser un peu ce que j'ai en tête :

Dimension 1 (ou 0) : avec angle
Dimension 2 (ou 1) : avec angle et distance minimum entre racines
Dimension 3 (ou 2) : avec angle et distance minimum entre racines
Dimesnion 4 (ou 3) : avec angle et distance minimum entre racines.

Edit : @ azizovsky : je crains d'avoir décrocher de la transmission de pensée... Si tu pouvais faire un résumé explicatif. Merci.

[azizovsky]

je crains d'avoir décrocher de la transmission de pensée... Si tu pouvais faire un résumé explicatif. Merci.

Bonjour, c'est juste une idée de passer d'une droite à une dimension à deux dimension (1,i) en passant par les rotation (angle), la question est : peut'on passer à 3D par le même astuce ' génélaliser' : rotation dans l'espace '? (Hamilton a trouvé les quaternions, 4D)

PS: je sais que les quaternions imaginaires purs représente 3D.

[mach3]

Les quaternions ne sont pas la solution (tout corps complexe d'ailleurs). Vous devriez lire ceci : http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/My...m#_Toc48324852

Pour faire tourner un vecteur d'un quart de tour, il suffit de lui appliquer le tenseur antisymétrique (1,1) (1 fois covariant, 1 fois contravariant) qui va bien. L'appliquer une deuxième fois permet un demi-tour. C'est ce que fait le "vecteur" rotation (j'emploie des guillemets car ce n'est pas un tenseur d'ordre 1) sur une trajectoire circulaire, quand on l'applique une fois au vecteur position, on obtient le vecteur vitesse (qui forme un angle droit avec le vecteur position) et quand on l'applique une deuxième fois on obtient le vecteur accélération (qui pointe à l'opposé du vecteur position).

La notion d'angle dérive de la métrique qui caractérise l'espace euclidien dans lequel on modélise les phénomènes physiques, c'est donc dans les structures qui fondent et entourent l'espace euclidien (espace vectoriel, espace dual, métrique, produit tensoriel, produit extérieur...) qu'il faut chercher, pas dans les corps complexes, même si ils présentent des analogies fortes et s'avèrent utile dans bien des cas.

m@ch3

[azizovsky]

Merci pour le lien, j'ai lu sous les titres attrayants, ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est la conclusion:

Un langage d'experts tend à réduire le désordre des langues naturelles à d'honnêtes bijections : un mot par concept, un concept par mot. On vient de voir par quelques exemples, que dans leur état présent, la physique et la mathématique sont encore loin d'être des langages d'experts, mais sont bien aussi bordéliques que des langues naturelles

ou

Enfin, je préconise qu'on établisse entre nous des relations rationalisées de clients et de fournisseurs, et que nous mettions en place une politique de qualité, et les moyens de la qualité, avec des cahiers des charges explicites, et le management orienté qualité. Jusqu'à présent, ces mots-là ont été accueillis comme des gros mots.

[azizovsky]

La notion d'angle dérive de la métrique qui caractérise l'espace euclidien dans lequel on modélise les phénomènes physiques, c'est donc dans les structures qui fondent et entourent l'espace euclidien (espace vectoriel, espace dual, métrique, produit tensoriel, produit extérieur...) qu'il faut chercher, pas dans les corps complexes, même si ils présentent des analogies fortes et s'avèrent utile dans bien des cas.

m@ch3

pour le vecteur, il 'y a courbure et torsion (deux 'rotation'), j'ai compris ton exemple, on peut introduire une métrique pour les complexes, par exemple, au lieu de i, on prend j avec j²=i , on représente là, on peut introduire les composantes covariantes et contravariantes et une métrique (projection orthogonale au parallèle ...).

[stefjm]

Bonjour, c'est juste une idée de passer d'une droite à une dimension à deux dimension (1,i) en passant par les rotation (angle), la question est : peut'on passer à 3D par le même astuce ' génélaliser' : rotation dans l'espace '? (Hamilton a trouvé les quaternions, 4D)

En 2D, je me suis toujours demandé pourquoi on préfère utiliser plutôt que . Une préférence pour l'angle 1/4 de tour plutôt que 1/3 de tour? Des facilités pour le produit scalaire et les repères orthogonaux?

PS: je sais que les quaternions imaginaires purs représente 3D.

Avec des ennuis de stabilité puisque , non imaginaire pur.

Les quaternions ne sont pas la solution (tout corps complexe d'ailleurs).

Ni même les réels d'ailleurs.
Tu te demandais s'il fallait faire porter l'unité par le vecteur ou le scalaire et je me pose le même genre de question pour le signe.
D'où l'indétermination sur la dimension :
X^1=1 : dim 1
X^2=1 : dim 2 à première vue, mais réductible à 1, car 1 et -1 sur le même axe...rotation de ou 1/2 tour.

[azizovsky]

Avec des ennuis de stabilité puisque , non imaginaire pur.

je n'ai pas compris le mot stabilité, on'a par exemple dans la géométrie de Minkowski le cercle de raton avec

En sciences de l'ingénieur
Les quaternions et autres hypercomplexes furent délaissés au profit de l'analyse vectorielle à partir de la fin du xixe siècle. Ils ont connu un regain d'intérêt depuis la fin du XXe siècle pour le calcul dans l'espace à trois dimensions, surtout en raison de la représentation qu'ils offrent des rotations spatiales. Celle-ci est plus performante d'un point de vue calculatoire que les représentations matricielles (car plus compacte, efficace et numériquement stable), et n'a pas l'inconvénient du blocage de cardan des angles d'Euler. Elle donne également un moyen commode de calculer une interpolation entre deux rotations (en suivant une géodésique sur S^3).
Ils sont utilisés notamment en infographie, robotique, théorie du contrôle, traitement du signal, dynamique moléculaire, mécanique spatiale, théorie de la commande. Par exemple, il est fréquent que les systèmes de commande de déplacement d'un vaisseau spatial soient régis en termes de quaternions.

(wikipédia)

[stefjm]

je n'ai pas compris le mot stabilité, ...

stabilité au sens des groupes : interne à l'ensemble.
Sur les quaternions imaginaires purs, i^2=-1 n'est pas imaginaire pur.
En tout cas, c'est sûr que c'est pratique pour les rotations :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Quater...s_l'espace

(wikipédia)

Oui, les quaternions complets, pas seulement leur partie imaginaire pure.
On retrouve d'ailleurs ici le décalage de 1 sur la dimension qui m'enquiquine sur ce fil...

[azizovsky]

Oui, les quaternions complets, pas seulement leur partie imaginaire pure.

[QUOTE]tous n'est représentation de concepts :

est un espace euclidien de dimension 3 canoniquement isomorphe à .

L'action induite sur définit donc un morphisme de groupes:





WIKI

[azizovsky]

Désolé stefjm, la page : https://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion, il faut regarder ce que 'Médiat' a écrit et ...., c'est très très intéressant ...., il y'a aussi .

[stefjm]

Oui, j'ai commencé à lire : Les quaternions fendus.

[azizovsky]

je vais te dire comment je vois les choses:


contenu(charrette)=x(pain)+y (pomme de terre)+z(oignons)+...=x+r (légume) (r=nbr de pièces...dans la charrette appartenant au légumes....)(qq*^1/2=nbr de tous les pièces dans la chareette...)

[mach3]

J'avance un peu. En m'inspirant du lien de Jacques Lavau, je suis parvenu à construire un tenseur antisymétrique (1,1) qui en agissant sur un vecteur position donne la composante orthogonale de la vitesse, c'est à dire quelque chose qui fait la même chose que le produit tensoriel du "vecteur" vitesse angulaire avec le vecteur position. "Classiquement", on a :

(x est le produit vectoriel), la vitesse se décomposant selon :

, c'est à dire la somme d'une vitesse colinéaire au vecteur position tel que :



et d'une vitesse orthogonale au vecteur position telle que :



Classiquement aussi, ce vecteur vitesse angulaire s'obtient de la façon suivante :



J'ai trouvé le tenseur suivant pour effectuer la même tâche :

, avec le produit extérieur (qui entre deux vecteurs revient à : , avec le produit tensoriel), le produit tensoriel contracté et g le tenseur métrique (je le fait apparaitre explicitement pour plus de clarté)

On note la ressemblance avec l'expression classique (sous forme de pseudovecteur) :
Cette grandeur est censée être en radian/s.

Si on effectue un produit tensoriel contracté de ce tenseur avec le vecteur position, il vient :



notons au passage que n'est qu'une façon d'écrire un produit scalaire en faisant apparaitre la métrique explicitement

, ce que l'on souhaitait obtenir donc.
les radians/s par des m deviennent des m/s comme par magie...

En coordonnées pour ce tenseur, ça donne ça :



et la contraction avec le vecteur position :



Je n'ai pas encore tout à fait compris comment le radian apparait puis disparait dans l'opération, mais je suis sur une piste. Le fait d'être un angle serait dépendant de l'objet. Un tenseur antisymétrique (1,1) serait vraisemblablement un angle en radian et la dimension "angle" serait d'une nature résolument différente des autres dimensions (qui, je le rappelle, dans mon schéma, sont des tenseurs de dimension 1). Il y a aussi des trucs que je pige vraiment pas bien sur la dimension de g.

m@ch3

[azizovsky]

je n'ai pas tous compris, un peu d'eau au moulin, l'angle est mis indirectement dans la métrique car = et , si implique que les lignes de coordonnées sont orthogonales...

E,F,G coefficients de la métrique...

[azizovsky]

=

désolé, aussi mon moulin est bloqué, et j'ai vérifié, il n'est vrai qu'au cas où les lignes coordonnées sont constants: ....

[mach3]

je n'ai pas tous compris, un peu d'eau au moulin, l'angle est mis indirectement dans la métrique

l'angle est une conséquence de la présence de la métrique : on peut faire apparaitre dans le produit scalaire. La façon de construire cela en partant de rien est encore obscure pour moi et je ne trouve pas de documents qui traitent de cela. Je me souviens, par contre, il y a 15 ans, avoir eu un cours de fac sur le calcul différentiel dans les espaces euclidien où le prof nous avait introduit le produit scalaire (forme bilinéaire symétrique définie positive) et nous avait interdit d'utiliser la définition déja connue (niveau lycée) pour faire les démonstrations car la notion d'angle n'était pas encore définie à ce stade (ça revenait à utiliser Z pour démontrer B, alors qu'il fallait partir de A, que B en découlait et que, bien après, Z en découlait).

m@ch3

[azizovsky]

oui , ce n'est pas évident, mélangé analyse et géométrie , enfin je pense qu'on doit avoir un truc comme ça

?

[azizovsky]

je maintiens ce que j'ai écris....

-introduction au calcul tensoriel application à la physique , C.Semay,B.Silvester-B
-leçon de géométrie, variétés différentiables M.Postnikov.
-cous de maths sup, tome 3 1ère partie V.Smirnov
-......

[mach3]

J'entame ma plongée dans les algèbres de Clifford. J'ai mis beaucoup de temps avant de percuter, mais certaines pages aident bien, comme :

https://slehar.wordpress.com/2014/03...-introduction/

Je m'intéresse maintenant à deux algèbres de clifford en particulier : le Cl_1,3(R), encore appelé spacetime algebra et le Cl_0,3(R) encore appelés les biquaternions de Clifford (split biquaternions en anglais). Ce sont vraiment deux cadres algébriques puissants pour la physique.

L'insertion des unités et dimensions dans ces choses ne me parait pas évident pour l'instant.

m@ch3

[azizovsky]

j'ai trouvé un historique : numérisation0001.jpgnumérisation0002.jpg