Pendule sphérique

[The_Anonymous]

Bonsoir à tous!

Je sèche sur un problème dont le début du raisonnement me semble correct mais dont la suite logique mène à une incohérence.

Voici l'énoncé :

"Un pendule est formé d'un point matériel pesant de masse m et d'un fil sans masse de longueur L. Le pendule est astreint à osciller dans plan d'une "porte" qui tourne autour d'un axe vertical à vitesse angulaire omega constante. Le pendule est attaché à l'axe de rotation de la porte.
a) Établir le bilan des forces en présence.
b) Écrire les équations du mouvement."

Je tiens à préciser que je ne connais pas l'approche langrangienne qui semble apparaître à plusieurs reprises sur internet.

J'ai établis un système de coordonnées sphériques où l'autre extrémité du fil que celle où est le point matériel est l'origine, le point matériel décrivant ainsi une trajectoire sur une sphère.

En supposant la force de frottement nulle, il me reste la pesanteur et la tension du fil qui fait que j'ai

Comme L est une constante, on sait que dans l'équation de l'accélération dans un système de coordonnées sphériques, on aura .

Du coup, on obtient le grand système :

Avec ces trois questions, on peut mettre en évidence de la façon suivante :

Jusque là, pas de soucis, tout me semble ok et correspond à ce que j'ai pu trouvé ailleurs sur internet. Ma perturbation vient ensuite avec l'énoncé : on sait que le point matériel se déplace avec le plan "porte" (donc omega n'est pas nul, on n'a pas affaire à un pendule de Foucault), mais si omega est constant comme le dit l'énoncé, alors on devrait avoir l'implication suivante

C'est à partir de là que tout s'écroule... En remplaçant la dernière égalité dans la troisième du système, on déduit

Mais alors ceci implique que est une constante et que . Or, ceci implique que le point matériel ne bouge pas!

Où est l'erreur? Est-ce que je confonds omega et la dérivée de theta? Je bloque vraiment sur l'origine de mon problème...

Merci beaucoup pour les réponses!
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[The_Anonymous]

Bonjour,

Je suis toujours coincé dans mon problème... Peut-on écrire ou y a-t-il une autre relation à trouver?

Une réponde m'aiderait beaucoup!

[albanxiii]

Bonjour,

Essayez de visualiser le mouvement du pendule... s'il se déplace à vitesse de rotation autour de l'axe constante, est-ce que l'inclinaison sur ce même axe varie ?

@+

ps : il est faux d'écrire ou , cela n'est pas homogène ! Ça n'est pas le même zéro pour une dérivée ou pour une dérivée seconde.

[The_Anonymous]

Bonjour et merci pour la réponse!

J'essaye de visualiser le mouvement du pendule bien que cela demande un certain niveau d'abstraction, et il me semble qu'un exemple ressemblerait à



Mais alors je ne peux que constater que est constant pour tout t... J'ai de la peine à saisir ce que vous voulez dire par l'inclinaison du pendule sur l'axe de rotation.. Bien sûr que le pendule incline à l'intérieur du plan "porte" en fonction du temps qui est décrit sauf erreur par la fonction , mais le plan "porte" lui même continue de tourner à vitesse constante. Je ne sais pas si c'est ma vision qui est fausse, mais en assumant qu'elle est juste et en partant des formules obtenues, je ne vois pas comment ne pas arriver à une contradiction. Je suis désolé de mon manque de représentation dans l'espace, mais les coordonnées sphériques ne me réussissent pas franchement.


Quant à votre ps, je ne suis pas sûr de comprendre... Pour être technique, je disais que si , alors on peut déduire que . Sachant que le rayon de la sphère vaut L et qu'on sait qu'il est constant, comment les zéros peuvent-ils ne pas être les mêmes?

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Vous cherchez trop compliqué à mon avis.

Pour déterminer le mouvement complet, il faut bien sur les conditions initiales. Quand la hauteur du pendule varie, je ne suis pas sur que la vitesse de rotation autour de l'axe soit constante, comme on vous l'impose dans cet exercice. C'est vraisemblablement pour vous placer dans un cas simple plus facile à manipuler et à se représenter (prenez un pendule, faites le tourner régulièrement (comme on voit les voyants le faire au dessus d'une carte pour retrouver des personnes disparues dans les séries TV), vous verrez un mouvement bien plus simple que celui de votre vidéo).

D'ailleurs, avez-vous essayé d'intégrer les équations dans le cas où oméga n'est pas constant ?

Sur le ps : si je vous dit que l'équation n'est pas homogène, vous n'êtes pas d'accord ?
, donc et . Vous voyez mieux ?

[Amanuensis]

Je n'ai pas poussé la résolution jusqu'au bout, mais il me semble qu'une solution assez simple peut être obtenue en travaillant dans le référentiel tournant tel que le "plan de la porte" soit immobile.

L'accélération d'entraînement de Coriolis est perpendiculaire au plan, et est donc contrée par la force, quelle qu'elle soit, qui astreint le pendule à osciller dans le plan.

Reste la gravité et l'accélération d'entraînement centrifuge, toutes deux dans le plan, qui se traitent par projection sur la tangente, et cela donne une formule proche de celle du pendule usuel.