Circuit RLC

[stefjm]

Oui effectivement. La source de pulsation w va exciter d’autant plus efficacement le circuit à sa pulsation w0 propre que ce dernier est en relation harmonique (pair je pense) avec w.
Prenons par exemple un circuit LC bouchon alimenté par une source de courant parfaite à la pulsation w. (c’est plus simple de prendre ce modèle que celui de la source de tension)
le courant envoyé dans le circuit bouchon par la source a une pulsation w.
Par contre la tension développée aux bornes du bouchon sera la somme de 2 tensions sinusoïdales de pulsation w et w0 ( pas de phénomène d’amortissement pour ces 2 signaux).
Comme on suppose ici qu’il n’y a pas de pertes, donc que Q tend vers l’infini, l’amplitude de w devient négligeable devant l’amplitude de w0 (dont l'amplitude part vers l’infini).

Je ne crois pas.
Le A.sin(w.t) est d'amplitude constante donnée par l'impédance et le B.sin(w0.t) est d'amplitude constante difficile à estimer sans utilisation d'équation différentielle ou transformée de Laplace.
Si w différent de w0, le régime est donné par la somme de la solution générale de l'ED (à w0) et de la solution particulière correspondant au régime forcé (à w)
Si w = w0, il faut une solution particulière en t.sin(w.t) car sin(w.t) est déjà solution générale.

Tenons compte maintenant des pertes en plaçant une résistance Rp équivalente à ces pertes en parallèle sur le circuit bouchon (ce qui veut dire que les pertes sont fonction de la tension aux bornes du circuit (1/2U²m/Rp si sinusoidal)). Dans ce cas quand le circuit bouchon entre en résonance, la tension U de w0 aux bornes de la résistance (du bouchon) augmente pour atteindre une valeur telle que le courant fourni par la source compense la perte dans Rp . Plus Rp est grand, plus Q est grand et plus U de w0 est élevé.

Oui. C'est réaliste de toujours laisser une résistance même grande (si //) pour atténuer le transitoire.
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[yvon l]

Je ne crois pas.
Le A.sin(w.t) est d'amplitude constante donnée par l'impédance et le B.sin(w0.t) est d'amplitude constante difficile à estimer sans utilisation d'équation différentielle ou transformée de Laplace.
Si w différent de w0, le régime est donné par la somme de la solution générale de l'ED (à w0) et de la solution particulière correspondant au régime forcé (à w)
Si w = w0, il faut une solution particulière en t.sin(w.t) car sin(w.t) est déjà solution générale.

J’ai une approche pratique du problème en partant de l’aspect énergétique et des transferts y afférant. Quand par exemple dans une voiture on accélère un moteur (mal équilibré), on constate des phénomènes de résonances en différents endroits de la carrosserie et cela à différentes vitesses du moteur. Ce dernier fournit l’énergie nécessaire à l’entretien de ces phénomènes de résonance. On est amené à les atténuer par voie d’amortissement en «absorbant» cette l’énergie ( chaleur).
Même avec une approche «par les mains» on peut comprendre et interpréter ces phénomènes.
Par exemple quand dans U= K t.sin(w0t), si je dis qu’au bout d’un certain temps la tension atteint une valeur telle que U²/Rp atteint la puissance que peut développer la source de courant (qui n’est plus parfaite, mais limitée), je pense donner une bonne compréhension du phénomène.
Laplace n’est pas toujours simple à manipuler lorsque le système n’est plus linéaire, et c’est le cas ici avec une source de courant (ou de tension) pratique.

Oui. C'est réaliste de toujours laisser une résistance même grande (si //) pour atténuer le transitoire.

Surtout, que du point de vue énergétique, les transferts électriques où on essaye de négliger les pertes (R=0 ou Rp=infini) amènes à des courants (ou des tensions tendant vers l’infini) donc à des pertes RI² ou U²/Rp indéterminées (R→0, ou Rp→infini). On calcule donc celle-ci par la tangente (bilan énergétique) (voir par exemple placer 2 condensateurs en parallèle, l’un étant chargé).

[phuphus]

Bonjour,

Je suis d'accord avec la conclusion : réponse en t.sin(t) : http://www.wolframalpha.com/input/?i...t)*heaviside(t)
J'imagine que tu ne définis pas l'impédance à la résonance car le régime périodique n'est jamais atteint?
Le calcul bête de l'impédance à la résonance donne bien 0 ce qui donne une amplitude infinie au bout d'un temps infini.

En effet, cela revient à ne "pas définir l'impédance à la résonance", tout du moins en fréquentiel. Si l'on définit l'impédance par Z(f) = U (f) / I(f), U(f) et I(f) étant respectivement les transformées de Fourier de U(t) et I(t), alors à la fréquence propre l'intégrale représentant la transformée de Fourier de I(t) ne converge pas : la transformée de Fourier n'existe pas. Certains diront que l'intégrale tend vers l'infini donc que l'impédance tend vers zéro, je préfère rester sur la non existence de la transformée de Fourier de I(t) à la fréquence propre.

J'évite donc d'interpréter le Z(f) à la résonance, calculé par l'assemblage des expressions fréquentielles des impédances séparées, comme une impédance nulle en temporel, et je ne m'empêche pas de raisonner en temporel.

Il faut juste donc avoir conscience que cette apparente Z(f) nulle n'implique pas un courant instantané infini, ou comme je l'ai écrit plus haut qu'à cette fréquence le circuit n'est pas équivalent à un fil.
Le cas est un peu plus compliqué que les fameuses démonstrations mathématiques que l'on fait au collège, où l'on "démontre" que 2 = 1 avec une magnifique division par zéro glissée dans la suite d'équations, mais c'est du même acabit.

Remarque que nous sommes en plein dans un sujet qui te tient à coeur, et que je ne peux pas renier : le sens physique et le lien entre mathématiques et physique. Si les choses sont faites proprement, faire des maths, c'est in fine faire de la physique. Le tout est d'avoir du recul. On lance un sujet sur une fréquence de résonance négative ?

Le A.sin(w.t) est d'amplitude constante donnée par l'impédance et le B.sin(w0.t) est d'amplitude constante difficile à estimer sans utilisation d'équation différentielle ou transformée de Laplace.

Simple ajout qualitatif : dans le cas d'une excitation causale le transitoire à t=0 va être large bande (saut de tangence entre le signal nul à t<0 et le sinus à t>0), c'est lui qui va induire la réponse du système sur sa fréquence propre.

[stefjm]

Remarque que nous sommes en plein dans un sujet qui te tient à coeur, et que je ne peux pas renier : le sens physique et le lien entre mathématiques et physique. Si les choses sont faites proprement, faire des maths, c'est in fine faire de la physique. Le tout est d'avoir du recul. On lance un sujet sur une fréquence de résonance négative ?

Fais!
Moi, je lancerai celui sur une fréquence de résonance dont le carré est négatif!

[yvon l]

Il faut juste donc avoir conscience que cette apparente Z(f) nulle n'implique pas un courant instantané infini, ou comme je l'ai écrit plus haut qu'à cette fréquence le circuit n'est pas équivalent à un fil.

Oui, mais tout dépend comment on s'y prend pour étudier le RLC
Considérons le circuit équivalent ou les pertes sont représentée par une Rp en parallèle sur L et C (circuit dit bouchon) et apportons-lui l'énergie à l'aide d'une source placée entre les 2 bornes du circuit. à la résonance ou Iself=Icond , la source envoie uniquement du courant dans Rp et compense ainsi les pertes. Le circuit oscillant n'a pas besoin de fournir de l'énergie de pertes.
Dans ce cas, s'il n'y a pas de pertes on enlève la résistance (Rp = infini) et la source fournit un courant nul, mais le circuit n'est pas équivalent à un fil coupé, mais se comporte comme tel pour la source.
Dans le cas du RLC série, la source est en série avec l'ensemble série R,L et C.
Il vaut mieux considérer que la source est un générateur qui fourni un courant constant I. Dans ce cas, à la résonance la tension de la source passe par un minimum et vaut RI.
La puissance fournie par la source est RI*I=RI² et sert uniquement pour compenser les pertes. Si pas de perte, R=0 donc U =0 Les tensions aux bornes de C et de U sont alors égales à wLI et I/wC
Voir aussi mes messages #8 et suivant
Amicalement

[yvon l]

...
En effet, cela revient à ne "pas définir l'impédance à la résonance", tout du moins en fréquentiel. Si l'on définit l'impédance par Z(f) = U (f) / I(f), U(f) et I(f) étant respectivement les transformées de Fourier de U(t) et I(t), alors à la fréquence propre l'intégrale représentant la transformée de Fourier de I(t) ne converge pas : la transformée de Fourier n'existe pas. Certains diront que l'intégrale tend vers l'infini donc que l'impédance tend vers zéro, je préfère rester sur la non existence de la transformée de Fourier de I(t) à la fréquence propre. ...

Alors pourquoi ne pas étudier plutôt la transformée de U(t) du circuit série -> (1/Z(f))= I(f)/U(f) ?

[gwgidaz]

Bonjour,

Une petite remarque :

Je prétends que si un circuit LC série est alimenté par une source de tension sinusoïdale de fréquence égale à la fréquence de résonance, alors le courant est bien infini....

Oui, mais voilà, ici, vous n'attaquez pas ce circuit LC par un signal sinusoïdal de moins l'infini à + l'infini....Votre signal est nul jusqu'à t= zéro, puis est égal à Vo sinwt.

Cela change tout, d'où le transitoire constitué par un courant croissant.

[yvon l]

Bonjour,

Une petite remarque :

Je prétends que si un circuit LC série est alimenté par une source de tension sinusoïdale de fréquence égale à la fréquence de résonance, alors le courant est bien infini....

Oui, mais voilà, ici, vous n'attaquez pas ce circuit LC par un signal sinusoïdal de moins l'infini à + l'infini....Votre signal est nul jusqu'à t= zéro, puis est égal à Vo sinwt.

Cela change tout, d'où le transitoire constitué par un courant croissant.

Bien sur, un régime transitoire complexe, d'autant plus qu'il faut considérer un signal en sin(wt-phi) pour t>=0. Suivant Phi, le régime transitoire sera différent.
(et en pratique si l'inductance a un noyau magnétique, la saturation (non-linéarité) modifie la fréquence de résonance pendant la phase transitoire ( L diminue)).
En plus pour avoir un courant infini, il faudrait que la source soit elle-même parfaite (pas d'impédance interne).
Remarque: Un cas très utilisé pour fournir de l'énergie au circuit RLC est de passer par une autre inductance couplé à L (mutuelle inductance)...

[phuphus]

Bonjour,

Alors pourquoi ne pas étudier plutôt la transformée de U(t) du circuit série -> (1/Z(f))= I(f)/U(f) ?

L'étude en temporel ne pose pas de problème particulier. J'utilise les outils qui me paraissent adaptés au cas, pour un circuit LC série attaqué en tension (et dans le cadre strict de la loi d'Ohm : donc de l'abstrait) le fréquentiel n'est pas mon choix, mais chacun fera comme il le souhaite à partir du moment où le choix est justifié et le résultat sensé.

[phuphus]

Bonjour,

Bonjour,

Une petite remarque :

Je prétends que si un circuit LC série est alimenté par une source de tension sinusoïdale de fréquence égale à la fréquence de résonance, alors le courant est bien infini....

Quelle est la signification mathématique d'un signal sinusoïdal infini ?

[stefjm]

Les fonctions de transfert en Laplace sont plus sympa car elles tiennent compte du transitoire et évite de parler de "fil" pour la résonance.
Une fonction de transfert 1/(1+p^2) attaquée par un signal sinus à la même fréquence 1/(1+p^2) donne en réponse 1/(1+p^2)^2, ce qui fait apparaitre les pôles imaginaires doubles +-i correspondants à une réponse temporelle en t.e^(i.t) (ou t.(A.cos t+B.sin t) si on préfère rester en mathématiques réelles), d'amplitude infinie à l'infini.

[yvon l]

Les fonctions de transfert en Laplace sont plus sympa car elles tiennent compte du transitoire et évite de parler de "fil" pour la résonance.
Une fonction de transfert 1/(1+p^2) attaquée par un signal sinus à la même fréquence 1/(1+p^2) donne en réponse 1/(1+p^2)^2, ce qui fait apparaitre les pôles imaginaires doubles +-i correspondants à une réponse temporelle en t.e^(i.t) (ou t.(A.cos t+B.sin t) si on préfère rester en mathématiques réelles), d'amplitude infinie à l'infini.

Pour moi, cela est correct quand on regarde l’aspect énergétique.
Si vous excitez un circuit LC à sa fréquence de résonance avec un générateur de tension parfait ou de courant parfait, (régime forcé) vous lui apportez via la source constamment de l’énergie électrique. Donc tension et courant vont croître progressivement dans et aux bornes de L et de C pour autant que cette augmentation ne soit pas sujet à un transfert parasite sous forme d’énergie thermique. Ce cas est théorique. Dans la pratique on a des pertes qui augmentent avec I et avec U . On matérialise ces pertes dans les formules par une résistance qui est traversée par I ou une résistance qui est aux bornes de U ( aux bornes de L ou C). Donc on se place dans une forme (supposée) de pertes en I²Rs ou U²/Rp, donc des pertes qui augmentent lorsque l’amplitude de l’oscillation augmente. Donc en pratique l’amplitude augmentera pour se stabiliser pour un courant (une tension) d’autant plus grande que les pertes sont faibles.

[yvon l]

Pour moi, dans le cas d'une source de courant continu l'approche est différente .
Si on excite le circuit RLC avec un front de tension provenant d’une source de tension la source va alors envoyer de l’énergie ponctuellement dans RLC (charge du condensateur)
Parmi toutes les fréquences (spectre continu) contenues dans le front, une fréquence, va exciter le circuit RLC, celle qui correspond à la fréquence de résonance. L’énergie transférée dans LC vaut 1/2LI² ou 1/2CU². (oscillation de l’énergie entre L et C)
Par contre l’énergie empruntée à la source est le double car on se retrouve systématiquement avec de l’énergie dissipée. En effet, après un certain temps (amortissement), le condensateur sera complètement chargé à la tension U de la source, soit avec l’énergie 1/2CU². Par contre pour charger un condensateur C, il faut une quantité d’électricité Q=CU soit une énergie de QU= CU².
La différence d’énergie correspond à de l’énergie perdue pendant l’oscillation (transfert thermique parasite). Plus les pertes sont faibles (R petit), moins vite l’amortissement aura lieu, donc plus de temps sera nécessaire pour dissiper l’énergie à perdre. Donc si R tend vers 0, l’oscillation tend à ne pas décroître.
Qu’en pensez-vous?

[stefjm]

Je suis complétement d'accord.
Dans le cas d'un échelon de tension, le condensateur se charge à deux fois la tension du générateur (100% de dépassement si R faible).
Réponse temporelle en 1-cos t à partir de 0.

Cela oscille tel quel si pas de R (ou compensation active, oscillateur) ou cela s'amortit et on perd la moitié de l'énergie dans R.

[yvon l]

En mécanique on peut obtenir le même type de comportement.
Soit un système dans le champ de la pesanteur constitué d’une masse attachée à un ressort de telle façon, que sous l’action de la pesanteur la masse soit à une hauteur H par rapport au sol. Le sol est considéré comme le potentiel de référence =0
L’énergie potentielle du système est alors E=mgH
Amenons la masse sur le sol en apportant au système de l’énergie E=-mgH.
En lâchant la masse le système va entrer en oscillation, le transfert des énergies potentielles (ressort et pesanteur) vers cinétique va faire remonter la masse à une hauteur de 2*H (endroit ou l’énergie cinétique est épuisée (si on néglige les pertes et si le ressort n’est pas complètement détendu).
Donc, la variation d’énergie mise en œuvre est donc 2* E.
Aux transferts purement mécaniques qui feraient osciller la masse entre 0 et 2* E, s’ajoute un transfert thermique (unidirectionnel) qui aura pour conséquence un amortissement des oscillations autour de la hauteur H . Cette hauteur H sera atteinte définitivement lorsqu'une moitié de l’énergie mise en œuvre soit transformée en énergie thermique et l’autre moitié se retrouvant sous la forme d’énergie potentielle= E=mgH

[stefjm]

Normal, ce sont les mêmes équations.
C'est toujours sympa de faire le parallèle.

[yvon l]

Normal, ce sont les mêmes équations.
C'est toujours sympa de faire le parallèle.

Oui, mais comme vous pouvez le constater c’est le point de vue énergétique que je développe ici.
Ceci pour illustrer l’augmentation d’entropie quand on passe d’une forme d’énergie à l’autre (ici mécanique vers mécanique ou électrique vers électrique).
On pourrait discuter également de ces transferts au niveau microscopique ou parler de transfert thermique n’a plus de sens. Mais ceci est une autre histoire...