Invariance par difféomorphisme

[stefjm]

???
Sans faire dévier le sujet, si tu pouvais me dire pourquoi avoir mis ça....? (En qq mots ici, ou MP si trop long...).

Parce qu'une réalisation n'est jamais certaine à 100%.
L'indépendance statistique est très importante en science comme rappelé par le "indépendamment vôtre" d'Illusionoflogic.
Je regardais les processus stochastiques, stationnaires ou ergodiques en me demandant si c'était bien dans le sujet de ce fil?
Dès qu'on étudie deux processus qui sont sont dans l'ailleurs relativiste, je ne vois pas bien comment échapper à cette question?

Prédictions fausses.
Avec éventuellement impossibilité de formuler une "science" qui aurait permis une prédiction correcte.

Prédiction hors MQ et hors statistique donc?
-----

[stefjm]

Si je devais expliquer/vulgariser l' I.D, essayer de donner l'essence de ce que cela représente avec un langage perfectible mais sans trahir le concept essentiel, je dirais que c'est un transport, cela permet transporter toutes les propriétés d'une/plusieurs expérience(s) située(s) à un endroit/moment, à une autre région de l'espace-temps, c'est un outil de mise en correspondance de ces régions (qui sont donc distinctes), et quand deux endroits/régions peuvent être mises en lien et le transport possible on donne un statut aux propriétés, statut qui se nomme I.D.
Bref, l'I.D, c'est comme un véhicule.

Ce transport respecte-il les lois physiques connues?
Ces régions d'espace-temps distinctes sont-elles dans le cône de causalité? J'imagine que oui?

[Mct92mct]

Ce transport respecte-il les lois physiques connues?
Ces régions d'espace-temps distinctes sont-elles dans le cône de causalité? J'imagine que oui?

Bonne question!
je n'en suis pas sûr...
L'expérience d'Aspet serait elle encore la même hors du cône de causalité, je pense que oui...

[Amanuensis]

Ce transport respecte-il les lois physiques connues?

Plutôt dans l'autre sens!

Ce qu'on appelle "loi physique" se doit de respecter ce "transport". C'est l'essence même du principe en question, qu'on peut résumer brutalement en disant "il est possible de formuler des lois physiques si on impose que "loi physique" ne s'applique qu'à des propriétés invariantes par ce "transport". (Ce que je traduis encore plus brutalement: la physique ne s'occupe pas des miracles.)

[Amanuensis]

L'expérience d'Aspet serait elle encore la même hors du cône de causalité, je pense que oui...

Je ne comprends pas ce point. Développement?

[invite06459106]

Ces régions d'espace-temps distinctes sont-elles dans le cône de causalité? J'imagine que oui?

Il me semble que c'est implicite au modèle même non?

Je veux dire que se construire un modèle local (travailler sur une variété/difféomorphisme ect...) ayant comme capacité de transporter toutes les propriétés d'un machin, c'est appliquer sur un ouvert les invariants/absolus/trucs universels, c'est construire de facto une variété connexe, faire du "proche en proche" (c'est à ça que sert la topologie non?).

Maintenant, ceci étant fraîchement nouveau et très loin d'être digéré, il se peut que ta question est un sens qui m'échappe à ce jour...lirais des réponses avec attention.

[stefjm]

Plutôt dans l'autre sens!

Ce qu'on appelle "loi physique" se doit de respecter ce "transport". C'est l'essence même du principe en question, qu'on peut résumer brutalement en disant "il est possible de formuler des lois physiques si on impose que "loi physique" ne s'applique qu'à des propriétés invariantes par ce "transport". (Ce que je traduis encore plus brutalement: la physique ne s'occupe pas des miracles.)

On devrait donc commencer par établir ce transport.
Se pose aussi la question de ce qui doit être conservée : s'il n'y avait que des invariants, l'étude de ce qui évolue serait difficile. Degré de liberté?

[AncMath]

Je ne crois pas avoir vraiment quelque chose de pertinent à dire sur quoique ce soit en physique alors qu'on me pardonne le côté iconoclaste de cette remarque.

Pour ma part le principe initial et la dichotomie entre invariance par difféomorphisme actifs et passifs me fait penser à une sorte de dualité. L'une concerne le fait que si on prend l'espace temps alors la même physique doit être décrite par tout jeu de coordonnées locales dessus. L'autre dit que si l'on prend un petit ouvert U d'un espace numérique et une expérience de physique qui "vivrait dessus" alors cette description locale est susceptible de se plonger dans n'importe quelle variété espace-temps et de n'importe quelle façon. Ça n'est pas très précis je le reconnais.

Néanmoins il me semble que cela permet de voir le principe dont il est question dans le premier message comme une sorte de principe d'isolement. La physique ne dépend que de ce qu'il se passe à proximité ou il est impossible de discerner deux expériences de physique identiques par leur "localité" en un sens très général.

Dit peut être de manière plus physique on peut dire qu'il existe une sorte de dualité entre observateur et environnement. On peut faire varier l'observateur à environnement fixe la physique reste la même et on peut faire varier l’environnement à observateur fixe, c'est a dire que les conditions locales restent les mêmes, la physique reste la même.

Ça ne me semble pas très sérieux comme formulation.

[invite06459106]

J'en suis encore à me demander si mon post #30 répond à la vulgarisation demandée...même si il manque le coté différenciation actif/passif...mais dans un 1er temps, avant de savoir ce que l'on met comme bagages dans le véhicule, faudrait savoir si l'analogie est suffisamment représentative du concept...

[Amanuensis]

Je ne crois pas avoir vraiment quelque chose de pertinent à dire sur quoique ce soit en physique alors qu'on me pardonne le côté iconoclaste de cette remarque.

Pour ma part le principe initial et la dichotomie entre invariance par difféomorphisme actifs et passifs me fait penser à une sorte de dualité. L'une concerne le fait que si on prend l'espace temps alors la même physique doit être décrite par tout jeu de coordonnées locales dessus. L'autre dit que si l'on prend un petit ouvert U d'un espace numérique et une expérience de physique qui "vivrait dessus" alors cette description locale est susceptible de se plonger dans n'importe quelle variété espace-temps et de n'importe quelle façon. Ça n'est pas très précis je le reconnais.

Néanmoins il me semble que cela permet de voir le principe dont il est question dans le premier message comme une sorte de principe d'isolement. La physique ne dépend que de ce qu'il se passe à proximité ou il est impossible de discerner deux expériences de physique identiques par leur "localité" en un sens très général.

Dit peut être de manière plus physique on peut dire qu'il existe une sorte de dualité entre observateur et environnement. On peut faire varier l'observateur à environnement fixe la physique reste la même et on peut faire varier l’environnement à observateur fixe, c'est a dire que les conditions locales restent les mêmes, la physique reste la même.

Ça ne me semble pas très sérieux comme formulation.

Dans l'ensemble, c'est bien ça.

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Un petit bémol, il y a une dissymétrie assez nette, illustrée par le fait qu'on fait le plus souvent le changement actif et passif en même temps, i.e., si on décrit deux expériences "à distance", on va changer le système de coordonnées aussi. Si on fait souvent un changement passif seul (juste un changement de coordonnées), il est très rare de parler de "transport actif" sans changer les coordonnées en même temps.

(Dans un exemple donné, il est rare de décrire ce qu'il se passe à Paris en utilisant l'heure locale de Los Angeles. Notons que cela pose problème pour un événement ailleurs que sur Terre, comme le premier pas sur la Lune.)

Cette combinaison de deux transformations, une active, une passive, est très courante dans la vulgarisation de la RR, quand les gens parlent de "changer de référentiel" là où il s'agit d'un changement de vitesse.

Donc, dualité, oui, mais déséquilibrée...

[Mct92mct]

Je ne comprends pas ce point. Développement?

Bonjour,
veuillez m'excuser, je m'exprime mal.
Je voulais dire simplement qu'une mesure faite sur une particule intriquée dans une région de l'espace temps pouvait influer sur l'autre particule intriquée dans une autre région de l'espace temps hors du cône de causalité.

[Amanuensis]

Je voulais dire simplement qu'une mesure faite sur une particule intriquée dans une région de l'espace temps pouvait influer sur l'autre particule intriquée dans une autre région de l'espace temps hors du cône de causalité.

OK. Mis à part que c'est faux (1), je ne vois pas toujours pas comment cela aide sur le sujet?

(1) Cf. toutes les discussions où cette notion de "influer" a pu être discutée.

[andretou]

QUOTE=Mct92mct;5887976]
Je voulais dire simplement qu'une mesure faite sur une particule intriquée dans une région de l'espace temps pouvait influer sur l'autre particule intriquée dans une autre région de l'espace temps hors du cône de causalité.[/QUOTE]

OK. Mis à part que c'est faux (1), je ne vois pas toujours pas comment cela aide sur le sujet?

Qu'est-ce qui est faux précisément ? Il me semble pourtant que l'indéterminisme quantique contredit ce fameux principe de reproductibilité dans l'espace et dans le temps.
Par exemple, une expérience indiquera en effet telle position sur un écran pour un photon, et indiquera une autre position pour un autre photon l'instant d'après alors que les conditions de l'expérience sont absolument identiques...

[Amanuensis]

Qu'est-ce qui est faux précisément ?

L'influence causale d'une mesure sur l'autre particule.

Quant à la non reproductibilité, personne n'a encore proposé que les lois de la physique quantique changent dans le temps et dans l'espace. L'invariance par difféomorphisme n'implique pas le déterminisme (la "transformation"/"transport" peut porter sur des expressions probabilistes).

[sunyata]

Avec un peu de chance cette description devrait suffire à faire comprendre en quoi c'est essentiel à la notion même de "lois de la physique", et à la science elle-même!

N'y a-t-il un ensemble définit de changements par rapport auquel toutes les lois de la physique sont définies, pour être des lois en tant que telles ?

Invariance par changement de :

- Position
- temps
- orientation
- vitesse
- accélération
- identité
- phase

Comme le suggère la théorème de Noether ?

Cordialement,

[sunyata]

QUOTE=Mct92mct;5887976]
Qu'est-ce qui est faux précisément ? Il me semble pourtant que l'indéterminisme quantique contredit ce fameux principe de reproductibilité dans l'espace et dans le temps.
Par exemple, une expérience indiquera en effet telle position sur un écran pour un photon, et indiquera une autre position pour un autre photon l'instant d'après alors que les conditions de l'expérience sont absolument identiques...

Certes mais au delà du problème de la mesure, lié aux observable, l'équation de Schrödinger exprime bien une invariance reproductible dans l'espace et le temps.
Ce n'est pas le résultat singulier qui compte, c'est l'invariance considérée.
Une invariance exprime de qui ne varie pas au sein de ce qui ne cesse de varier...

[Amanuensis]

N'y a-t-il un ensemble définit de changements par rapport auquel toutes les lois de la physique sont définies, pour être des lois en tant que telles ?

C'est bien le sujet, et cet ensemble, pris le plus grand, est celui des "difféomorphismes".

Invariance par changement de :

Tous des cas particuliers de difféomorphisme.

Comme le suggère la théorème de Noether ?

Deuxième fois que cela apparaît, mais je ne vois pas en quoi ce théorème devrait être invoqué. Mais je suis intéressé à essayer de voir, si on m'aide.

[sunyata]

Le concept de "covariance générale"ne pourrait il pas convenir ?

[Amanuensis]

Lire le message #1, souvent utile avant d'intervenir dans une discussion.

[invite06459106]

[Noether]



Deuxième fois que cela apparaît, mais je ne vois pas en quoi ce théorème devrait être invoqué.

Le théorème de Noether parle de symétrie (d'invariance) globale, alors que l'I.D c'est local, c'est peut-être l'erreur qui a été faite (par moi également) de lier Noether à l'I.D?

[Deedee81]

Salut,

Le théorème de Noether parle de symétrie (d'invariance) globale, alors que l'I.D c'est local, c'est peut-être l'erreur qui a été faite (par moi également) de lier Noether à l'I.D?

Cette remarque soulève une question qui me vient à l'esprit : les transformations par difféomorphisme forment elles un groupe ?

[jacknicklaus]

La question principale porte sur le nom de ce principe, et surtout sur l'existence d'un nom facile à comprendre et fortement vulgarisé. Je n'en trouve pas en compulsant le Web.

Dans la littérature technique, ce qui semble s'en rapprocher le mieux semble "l'invariance par difféomorphisme" (ou "covariance par difféomorphisme").

Même cela n'a pas l'air consensuel ou immédiat, cf. http://forums.futura-sciences.com/ph...morphisme.html (où la réponse #6, de Rincevent, va dans le sens que ce terme couvre bien le principe en question (1)) .

(1) Rincevent précise bien que c'est " l'invariance active qui est l'élément-clef de la RG (son invariance de jauge)." Personnellement, je pense que le principe est général à la physique, pas spécifique à la RG.

Le terme est ésotérique, incompréhensible par tout-un-chacun, donc impropre à la vulgarisation.

Je ne sais pas si un tel terme existe dans la littérature. Je crains que ce ne soit le mouton à 5 pattes. Un terme simple sera trop vague, et un terme technique précis sera impropre à vulgarisation.
D’autant plus difficile qu'il s'agit d'unifier deux aspects : invariance active et passive, notablement différents.

Il ne te reste qu'à créer ton propre terme. "Invariance par délocalisation" peut-être..

[AncMath]

Salut,



Cette remarque soulève une question qui me vient à l'esprit : les transformations par difféomorphisme forment elles un groupe ?

Bien sûr comme tous les ensembles d'automorphismes.

[Deedee81]

Salut,

Bien sûr comme tous les ensembles d'automorphismes.

Holàlà, oui, en effet. Merci de la piqure de rappel.

[Murmure-du-vent]

il me semble me souvenir que l invariance par diff est liee a une etude des
contraintes de diffeomorphisme sur le lagrangien tout comme il y a des
contraintes de jauge
quand on deforme des boucles d holonomie certaines choses doivent rester
invariantes en theorie des boucles.

[Amanuensis]

Le théorème de Noether parle de symétrie

Les (il y en a deux) théorèmes de Noether parlent de groupes de Lie, d'équations différentielles (1) et de "courants" ; c'est une approche générale à ce qui était appelé "intégrales premières" (constant of motion, en anglais) dans le cadre de la résolution d'équations différentielles.

Le (premier) théorème de Noether indique une conséquence d'une symétrie (un courant conservé), il ne dit rien en lui-même sur l'existence ou non d'une symétrie.

Or le sujet ici est l'existence d'une symétrie (par les difféomorphismes), pas l'analyse de ses conséquences.

(1) En physique, le premier théorème de Noether est invoqué en général pour les équa diff venant de l'application du principe de moindre action à un lagrangien ou une densité lagrangienne ; mais le théorème mathématique est d'application plus vaste.

[GrisBleu]

Prédictions fausses.

Avec éventuellement impossibilité de formuler une "science" qui aurait permis une prédiction correcte.

Merci pour ta réponse
N'est-ce pas là une vulgarisation possible --> l'invariance par difféomorphisme permet de faire des prédictions car celles-ci - lorsqu'elles sont décrites par un formalisme invariant - ne dépendent plus des lieux ni de la date
Cdlt

[chaverondier]

Pour moi, covariance n'est pas équivalent à invariance.

Effectivement. Par exemple, en Relativité Restreinte, longueurs, durées et simultanéité relatives à deux évènements ne sont pas invariantes. Elles sont seulement covariantes, comme d'ailleurs toutes les grandeurs physiques (c'est une conséquence du principe de Relativité du mouvement).

Cela signifie que ces grandeurs, ainsi que la propriété de simultanéité, restent inchangées si on fait subir une même action du groupe de Poincaré à l'observateur (c'est à dire au référentiel inertiel dans lequel les instruments de mesure de longueur, de durée et de simultanéité sont au repos) ET aux deux évènements concernés.

La durée propre séparant deux évènements est, quant à elle, invariante. Elle reste la même si on fait subir une action du groupe de Poincaré

• seulement aux instruments de mesure = invariance "passive" vis à vis des actions du groupe de Poincaré, c'est à dire lors d'un changement de système de coordonnées inertiel, ou encore
• seulement aux deux évènements entre lesquels on mesure la durée propre = invariance "active" vis à vis des actions du groupe de Poincaré (c'est à dire en faisant subir aux deux évènements en question un changement conférant à ces deux évènements, dans le nouveau système de coordonnées inertiel engendré par l'action du groupe de Poincaré considérée, les coordonnées qu'avaient ces deux évènements avant ce changement de système de coordonnées).

Cela dit, à cause de la relativité du mouvement, une transformation active, c'est à dire une transformation A appliquée à un système observé, est équivalente à la transformation passive P obtenue en faisant subir la transformation active inverse A^(-1) aux instruments d'observation.

Plus généralement :

• une grandeur (relative à un système observé par exemple) est covariante par difféomorphisme ssi elle reste constante quand on fait subir le difféomorphisme à la fois au système observé et à l'observateur. D'après la Relativité Générale, toutes les grandeurs physiques sont covariantes par difféomorphisme.
  
• une grandeur invariante par difféomorphisme est une grandeur qui reste constante même si on fait subir le difféomorphisme seulement au système observé (difféomorphisme dit actif) ou encore (c'est équivalent) seulement aux instruments de mesure (difféomorphisme dit passif). Par exemple, la durée propre séparant deux évènements le long d'une ligne d'univers de type temps est invariante par difféomorphisme (c'est la conséquence de l'invariance de la métrique ds²).

J'ai une formulation perso, entre invariance par difféomorphisme passif et invariance par difféomorphisme actif.

• L'invariance d'une grandeur par difféomorphisme passif, c'est l'invariance de la grandeur mesurée quand on fait subir le difféomorphisme aux seuls instruments de mesure.
• L'invariance d'une grandeur par difféomorphisme actif, c'est l'invariance de la grandeur mesurée quand on fait subir le difféomorphisme au seul système observé.

A cause de la relativité des difféomorphismes (covariance par difféomorphisme de toutes les grandeurs physiques), les deux invariances sont mathématiquement équivalentes.

[Amanuensis]

Mon choix de "invariance par difféomorphisme", en court pour "invariance des grandeurs par difféomorphisme actif" est cohérent avec ces définitions.

Personnellement, je mets la logique dans l'autre sens.

Le principe premier, fondamental, qui a une signification profonde pour la physique, est l'invariance par difféomorphisme actif. (Et je rappelle que c'est celui dont je cherche une dénomination "plus grand public", et une définition aussi épurée que possible).

L'invariance par difféomorphisme passif est une contrainte philosophique, en gros l'affirmation qu'aucun résultat physique significatif ne peut dépendre de choix arbitraires. Cela s'applique aux systèmes de coordonnées, ou aux unités.

(Le premier est une hypothèse, un énoncé a posteriori, qui pourrait être réfutée par l'observation ; le second est un énoncé a priori, n'a pas besoin d'être démontré ni ne pourrait être réfuté.)

La covariance par difféomorphisme est une conséquence des deux idées.

[andretou]

Pour info, quand Aurélien Barrau évoque ici (à 1.10.00) l'importance de "l'invariance par difféomorphisme", malheureusement trop brièvement...

https://www.youtube.com/watch?v=EGLn4dqUXrY