Espace dual et espace de hilbert

[hiphop68]

Bonjour à tous,

j'aurais pu ouvrir cette discussion dans l'espace de maths mais parler de maths à des matheux quand on est pas matheux est assez déroutant.

Bref, les États de l'espace de Hilbert correspondent aux kets |psi> et les bras <phi| correspondent à l'espace dual. Le problème est que j'ai du mal avec la notion d'espace dual. OK c'est l'espace correspondant à l'ensemble des formes linéaires des kets mais même avec la définition sous les yeux j'ai du mal à me représenter cet espace vectoriel. Quelqu'un pourrait m'éclairer ? Voir même me donner un exemple simple d'espace vectoriel et de son dual.

Question supplémentaire : qu'elles sont les spécificités de l'espace dual en MQ mis à part que c'est l'espace des bras ?

Merci
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[GrisBleu]

Bonjour

En regardant les cas simple, on peut se représenter les choses
+ espace vectoriel de dimension finie
A un vecteur W, tu peux associer la forme linéaire w=<W|.>
Ca revient - en coordonnées cartésiennes - à associer à la colonne (W1, ...,Wn)^T la ligne (W1,...,Wn)
Dans d'autres coordonnées, ce n'est plus aussi simple à écrire (car la métrique n'est plus l'identité)
+ Sur un espace de fonctions
L'exemple du Dirac est simple: à f tu associe f(0). Il n'y a pas de fonctions d telles que <d|f> = f(0), par contre, on peut approcher avec une suite de fonction "pic" dn : <dn|f> --> f(0).

Pour moi, les formes sont des machines à générer des nombres à partir de vecteurs de manière plus générale qu'un produit scalaire avec un vecteur
+ Si le vecteur h est un "petit déplacement la forme df(h) associe la variation de f
+ A un état |v>, la forme <u| associe la probabilité de mesurer l'état v si on est dans l'état u
+ etc.
Ce qui est prête à confusion, c'est que dans les cas simple (dimension finie) il y a équivalence forme -- produit scalaire avec un vecteur

[jacknicklaus]

Le <bra| est juste la bestiole adaptée pour que, insérée avec un |ket> dans la forme qui va bien (ici le produit scalaire hermitien <x|y>), il en sorte un scalaire (ici un complexe).

[hiphop68]

Merci pour vos réponses mais je dois avouer que je suis toujours dans le flou...

Reprenons depuis le début. L'espace dual d'un espace vectoriel E correspond à l'espace des formes linéaires L(E,R). Qu'est ce qu'une forme linéaire ? Quelle est la différence avec une application linéaire ? Y a-t-il un moyen de rattacher ça à un produit scalaire ?

A quoi correspond un vecteur dans l'espace dual ?

En faisant des recherches, j'ai lu qu'il fallait faire la différence entre dual algébrique et dual topologique, qui sont différent pour un espace de dimension infinie. Pouvez-vous m'en dire un peu plus ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[hiphop68]

Désolé pour le double poste mais en traitant sur la page wiki sur les espaces de Hilbert j'ai peut être trouvé quelque chose d'intéressant. Les bras <phi| correspondent à une fonctionelle Chi d'un ket |psi> (soit Chi (|psi>) ) tel que cette forme linéaire affilie un élément de C lambda correspondant à l'application <phi|psi>=lambda. C'est juste ça ?

[albanxiii]

Bonjour,

Toutes vos questions sont adressées par n'importe quel cours d'algèbre linéaire basique.
Le but du forum n'est pas de se substituer à ces cours, que vous devez travailler par vous même.

[hiphop68]

Bonjour,

Si je pose ces questions ici c'est bien parce que les cours que j'ai pu trouver sur le net ne m'ont pas aidé pour résoudre mes problèmes.

[GrisBleu]

[QUOTE=hiphop68;5948652Qu'est ce qu'une forme linéaire ? Quelle est la différence avec une application linéaire ? Y a-t-il un moyen de rattacher ça à un produit scalaire ?[/QUOTE]
Hello
+ une application w: H --> R est une forme linéaire si elle est linéaire sur H
+ Avec un produit scalaire <X|Y>, tu peux associer à un vecteur V une forme linéaire v par v(X)=<V|X>. Mais en dimension infinie, les formes linéaires sont plus générales

Cdlt

[hiphop68]

Bonjour.
Après réflexion sur ce qui a été dit je pense avoir compris les subtilités qui me manquaient. Merci pour votre aide.