Résonance avec un ressort

[docEmmettBrown]

bonjour,

On relie à un mur, une masse m via un ressort sur un axe horizontale (axe des x). le poids est égale à la réaction du support et on néglige les frottements.
On excite la masse m via une force . A t = 0 la masse m est à la distance L1 sans vitesse initiale.

Déterminer la position de la masse m au cours du temps. Remarquez vous un phénomene de résonance ?

J'ai fait le principe fondamentale de la dynamique et obtenue l'équation :
avec x la position d'équilibre de la masse m

j'ai résolu l'équation diff avec sans second membre puis j'ai cherché une solution particuliere et j'ai obtenue :
ce qui me semble juste.

en prennant comme solution particuliere x(t=0) = L1 et v(t=0) = 0 j'ai:


Mon probleme est ma solution x(t) qui varie entre L1 et - L1 quand il y a phénomene de résonnance c'est a dire quand. Alors que sans frottement je devrai avoir une oscillation qui tend entre -INF et + INF car je n'ai pas de frottement.

Pouvez vous m'aider a trouver mon probleme ?

Merci d'avance
-----

[Denis2Gif]

Mon probleme est ma solution x(t) qui varie entre L1 et - L1 quand il y a phénomene de résonnance c'est a dire quand.

En es-tu sûr ? Que vaut 1/(k/m - Omega^2) quand k/m -> Omega^2

Alors que sans frottement je devrai avoir une oscillation qui tend entre -INF et + INF car je n'ai pas de frottement.

Oui, tout à fait.

[jacknicklaus]

pour mieux voir la divergence, qui existe bel et bien, regroupe tes termes et utilises cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2).sin((a-b)/2)
pose racine(k/m) - Omega = Epsilon, et à t fixé, regarde ce qui se passe quand epsilon -> 0;
Tu montres facilement que les extremums de de la sinusoide qui reste croissent linéairement avec t.

[docEmmettBrown]

En es-tu sûr ? Que vaut 1/(k/m - Omega^2) quand k/m -> Omega^2

ca fait ce qui me pose probleme

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

ca fait ce qui me pose probleme

non, pas du tout. il faut que fasse une étude de limite sérieuse, comme je te le suggère dans mon message.

[docEmmettBrown]

non, pas du tout. il faut que fasse une étude de limite sérieuse, comme je te le suggère dans mon message.

ok méaculpa j'obtiens via ta formule de trigo :


OK une bonne chose de faite il me reste un dernier soucis. Car l'équation me dit que la masse m oscille tout de suite entre -INF et +INF or il devrait avoir une transition d'oscillation ou la longueur varie de plus en plus jusqu'a atteindre -INF et +INF. Pourquoi je n'obtiens pas la transition des oscillations?

[jacknicklaus]

non, il manque des morceaux. et c'est quoi cette notation horrible m(0)???

on avait dit une étude de limite SERIEUSE. je t'avais même proposé une méthode avec un Epsilon qui marche bien...

[docEmmettBrown]

non, il manque des morceaux. et c'est quoi cette notation horrible m(0)???

on avait dit une étude de limite SERIEUSE. je t'avais même proposé une méthode avec un Epsilon qui marche bien...

On a :



je peux pas faire

[LPFR]

Bonjour.
Le problème est que vous voulez trouver une solution avec amplitude constante, ce qui n’est pas physiquement possible pour un système sans amortissement.
Si vous prenez un système sans amortissement la solution sera du genre

Avec b positif.

Donc, le mieux est de prendre une solution de la forme e^(λt), avec λ complexe.
Calculez les valeurs de λ qui satisfont l’équation. La solution sera une combinaison linéaire des solutions.
La partie réelle vous donnera l’exponentielle réelle (croissante), et les parties imaginaires, la partie sinusoïdale.

Ceci n’est pas une raison pour ne pas faire le calcul que jacknicklaus vous suggère et qui doit vous donner une amplitude infinie pour la fréquence de résonance.
Au revoir.

[stefjm]

j'ai résolu l'équation diff avec sans second membre puis j'ai cherché une solution particuliere et j'ai obtenue :
ce qui me semble juste.

C'est correct si est différent de 0, sinon, c'est bien évidement faux!
Vous pouvez faire comme le suggère jacknicklaus, ou encore plus simplement résoudre votre équation dans le cas où .
Dans ce cas, la solution particulière est en qui diverge en l'infini.

[stefjm]

Bonjour.
Le problème est que vous voulez trouver une solution avec amplitude constante, ce qui n’est pas physiquement possible pour un système sans amortissement.
Si vous prenez un système sans amortissement la solution sera du genre

Avec b positif.

Donc, le mieux est de prendre une solution de la forme e^(λt), avec λ complexe.
Calculez les valeurs de λ qui satisfont l’équation. La solution sera une combinaison linéaire des solutions.
La partie réelle vous donnera l’exponentielle réelle (croissante), et les parties imaginaires, la partie sinusoïdale.

Bonjour LPFR,
Désolé LPFR mais je suis sûr que vous vous trompez...
Mon coup d'oeil averti par transformée de Laplace m'assure que la solution à la résonnance est en .
Vous ne pouvez pas obtenir une réponse en exponentielle instable avec cette équation différentielle, car la partie réelle de votre est nulle de toute façon. Cela se voit avec l'équation caractéristique de l'EDL.

Ceci n’est pas une raison pour ne pas faire le calcul que jacknicklaus vous suggère et qui doit vous donner une amplitude infinie pour la fréquence de résonance.

J'ai d'ailleurs un doute sur cette méthode, au moins sur sa complication par rapport à l'étude directe que je propose.

Cordialement.

[jacknicklaus]

je m'intéresse au seul terme

On peut poser






dont on voit clairement la divergence s'installer progressivement à cause du facteur multiplicatif en t

[docEmmettBrown]

OK d'accord c'est exactement ce que je voulais comme résultat. Merci beaucoup jacknicklaus et les autres bien sur !

Derniere petite question, chaque liaison moléculaire à une fréquence de résonance. Je ne sais pas si ce sont les architectes ou les ingénieurs en génie civile qui font ce genre de calcule pour connaitre l'amortissement nécessaire pour éviter de rentrer dans un phénomène de résonance mais existe t'il une tableau comme le tableau de Mendeleïev pour connaitre en fonction de chaque liaison moléculaire sa fréquence de résonance ?

[stefjm]

Edit :: croisement
C'est effectivement un jolie façon de faire apparaitre la multiplication par t que parachute un peu la méthode traditionnelle quand le second membre est déjà solution générale.