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Problème de physique quantique (transformation)

  1. #1
    anthonyme

    Problème de physique quantique (transformation)

    Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour répondre à une question traitant sur la physique quantique.

    On a un opérateur unitaire K(V)=exp(-V(a-a+)) avec V réel, a et a+ les opérateurs annihilation et création.
    On appelle â la transformé de a par K(V) et â+ celle de a+.
    Il faut montrer que â=(a-V) et â+=(a+-V)

    Je vous remercie d'avance

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    ThM55

    Re : Problème de physique quantique (transformation)

    Bonjour, je suppose qu'il s'agit des opérateurs de création et d'annihilation qui obéissent à la relation de commutation canonique .

    Et je suppose aussi que la "transformation" en question est . Je vous remercie de corriger si je me trompe.

    La solution passe par quelques calculs simples. D'abord, on a, par une application triviale de la relation de commutation:



    Ensuite on montre facilement par récurrence que pour tout entier naturel n>0 (Ici, j'abandonne le Latex, car il ne semble pas fonctionner, je reçois un message d'injures lors de la prévisualisation.)

    a(a-a^+)^n = (a-a^+)^na + n(a-a^+)^{n-1}

    Si on applique cela au développement en série de Taylor de l'exponentielle exp(-V(a - a^+)), on obtient

    a exp(-V(a-a^+) ) = Sum_n (-V)^n a(a-a^+)^n / n! = exp(-V(a-a^+)) a - V exp(-V(a-a^+))

    En multipliant à gauche par K^+, on obtient le premier résultat. L'autre s'obtient de manière très similaire (le truc est de trouver l'expression de commutation correspondante pour a^+).

  4. #3
    ThM55

    Re : Problème de physique quantique (transformation)

    Désolé, j'ai fait quelques erreurs de calcul (c'est la fatigue, on est vendredi soir). Il faut évidemment lire pour le cas de base:


    et corriger les signes dans les expressions qui en découlent (signe moins devant le second terme du cas général).

    Pour le dernier terme, on peut remarquer que cela revient à dériver par rapport à (a-a^+); cela n'a pas de sens mathématique, c'est une dérivée purement formelle, mais elle fonctionne sur la série et donne donc

    a K = Ka - VK

  5. #4
    anthonyme

    Re : Problème de physique quantique (transformation)

    Merci beaucoup pour votre réponse! J'ai aussi trouver une autre solution sans utiliser d'approximation ( en utilisant l'identité de Glauber)

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