Plaque percée, solution analytique

[kyraz66]

Bonjour,

J'ai une simulation d'éléments finits à faire pour un projet (étudiant). Cependant il m'est aussi demandé de trouver une solution analytique (pour le déplacement et contraintes) de mon problème afin d'avoir une idée de l'ordre de grandeur de la solution (je ne dois donc pas trouver de solution exacte, mais me faire une idée quantitative réaliste). Bref j'image de la pièce à étudier est . Je sais que je peux déjà diviser mon problème en 4 avec quelques conditions limites. Cependant je n'ai aucune idée du niveau d'approximation que je peux faire, il se fait que je ne trouve que des exemples similaires sur internet dans le cas ou le trou est un cercle (problème 2D), ce qui est totalement différent de ma plaque (surtout pour les contraintes autour du trou).

Je m'adresse à vous pour avoir votre avis sur le sujet, et éventuellement quelque pistes de résolutions.
Merci d'avance.
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[Jaunin]

Bonjour Kyraz66,
Bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
Avez-vous regardé l'étude des plaques dans le Roark's ?
Cordialement.
Jaunin__

[Jaunin]

Voici deux liens, peut être déjà connus ?

http://mms2.ensmp.fr/mmc_paris/annales/corrige2007.pdf

http://en.booksee.org/book/1296118

[kyraz66]

Ah oui merci beaucoup, j'avais effectivement trouvé quelque références parlant des fonctions biharmoniques, mais j'avais un peu de mal à déterminer la forme générale de la fonction de contrainte (car tout les articles semblent la sortir de nulle part sans vraiment justifier, et j'aime bien pouvoir démontrer plus ou moins les formules que j'utilise). Je vais jeter un coup d'oeil à vos textes, de plus je vois que l'un est en français et s'élargit sur d'autres formes qu'un cylindre.

Vous m'avez épargné beaucoup d'heures de recherches et de calculs !

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

Ah oui merci beaucoup, j'avais effectivement trouvé quelque références parlant des fonctions biharmoniques, mais j'avais un peu de mal à déterminer la forme générale de la fonction de contrainte (car tout les articles semblent la sortir de nulle part sans vraiment justifier, et j'aime bien pouvoir démontrer plus ou moins les formules que j'utilise). Je vais jeter un coup d'oeil à vos textes, de plus je vois que l'un est en français et s'élargit sur d'autres formes qu'un cylindre.

Vous m'avez épargné beaucoup d'heures de recherches et de calculs !

Mmm... Je doute que vous puissiez obtenir quelque chose de raisonnable avec une approche trop théorique dans le cas de la géométrie considérée.

Dans un modèle en contraintes planes, dans une approche type fonction biharmonique, on a un potentiel scalaire dont la dérivée seconde est le tenseur de contraintes. Ce tenseur est forcément de divergence nulle puisque l'on peut permuter l'ordre de dérivation. Le caractère biharmonique du potentiel dont dérive le tenseur de contraintes assure quant à lui le respect des équations dites de compatibilité (cf par exemple, Chapitre VII Elasticité plane, §III fonctions d'Airy).

La recherche d'une solution par décomposition du potentiel scalaire en question en une série de type : somme de sin ou cos (n alpha x) * sinh ou cos sh(m alpha y) par exemple, c'est déjà coton, même avec un chargement et des conditions d'appui très simples et présentant une bonne symétrie par rapport aux plans de symétrie d'une plaque rectangulaire élastique linéaire homogène d'épaisseur constante et sans trou (chargée uniquement dans son plan).

Avec la géométrie en croix de votre problème, c'est ingérable. Un exemple de recoupement analytique bien plus raisonnable serait, par exemple :

• de faire la moyenne des contrainte normales de traction obtenues par éléments finis sur la section nette (celle qui reste quand on enlève la croix) de plaque carrée découpée par une diagonale.
• de vérifier qu'elle est égale à N/S, N étant la traction totale sur la diagonale (racine de deux fois la traction sur un côté de la plaque carrée) et S la section nette de plaque découpée par cette diagonale.

Évidemment, ce recoupement ne permet toutefois pas de recouper les concentrations de contraintes au niveau des angles rentrants de la croix.

Attention dans le modèle EF de, certes, éliminer les modes rigides, mais de ne pas mettre de conditions d'appui surabondantes. Dans ce problèmes plan, où les 4 côtés de la plaque reçoivent la même charge linéique, il faut 3 déplacements imposés (pas plus et pas moins) pour supprimer les 3 modes rigides sans pour autant introduire un hyperstatisme qui ne serait pas conforme à l'objectif de modélisation visé.

[kyraz66]

Oui je vois, c'est sûr que je ne risque pas d'obtenir quelque chose de cohérent au niveau de la croix (ou du moins, dans les coins intérieurs) avec les fonctions d'Airy. Voici la question qui m'a été posée :

Determine, on your simplifed model, the expressions of the stress and dis-
placement felds and the expression of the Total Potential Energy as a function
of the applied load: use beam theory, energy theorems, strength of material,
linear elasticity theory, Rayleigh-Ritz method (kinetically and/or statically
admissible method).

Du coup je ne sais pas si je peux utiliser les éléments finis pour cette partie analytique.

[Jaunin]

Pour répondre à votre dernier message :

https://www.ethz.ch/content/dam/ethz...I/lecture3.pdf

[Follium]

Bonsoir!

Je donne peut-être une piste...

J'ai eu un de ces trucs en cours d'élasticité (ça date maintenant) et on était passé par les complexes via le "Conformal Mapping" pour calculer analytiquement les contraintes avec un trou elliptique.

Voilà voilà.

Follium