Pertes de chaleur dans une canalisation

[invite426803d1]

Bonjour

Voici l'exposé du problème :

Une canalisation en inox et située en extérieur, de longueur L, transporte de l'eau chaude.
Connaissant la température de l'eau chaude à l"entrée de la canalisation, j'aimerais connaitre la température à la sortie (en fonction de la température de l'air ambiant)

A priori, les pertes de chaleur se font par conduction et convection forcée.
Je pense qu'il faut prendre en compte la conductivité, le diamètre et la longueur de la canalisation, la température de l'air, de l'eau à l'entrée. Peut-être y'a t-il d'autres variables ?

Quelqu'un peut-il m'aider car c'est pour étudier la nécessité ou pas d'installer un refroidisseur qui coute très cher.

Merci d'avance.

[cedbont]

Bonjour,
oui, il y a un autre paramètre : la vitesse d'écoulement de l'eau.
Tu peux peut-être résoudre ton problème par le calcul en utilisant la formule de Fourier pour une tranche d'eau d'épaisseur dx, durant un temps dt... Mets-toi en régime permanent.

[invite426803d1]

Je suis perdu.
Pour connaitre la température à la sortie il faut connaitre le flux de chaleur perdu par l'eau.
Bref je trouve plein de formules mais je sais pas les utiliser

Merci d'avance pour votre aide

[cedbont]

Bon, j'ai fait quelque chose au brouillon mais la vitesse d'écoulement n'apparaît pas (d'où une erreur possible ou une fausse intuition !). Cela vient aussi peut-être du fait que je me place en régime permanent. Le système considéré est une fine tranche d'eau d'épaisseur dx.
On note :
U son énergie interne,
sa masse volumique,
c sa chaleur massique,
T_(x) sa température à l'abscisse x,
sa conductivité thermique,
R le rayon intérieur de la canalisation,
la conductivité thermique de la canalisation,
e l'épaisseur de la canalisation,
T₀ la température de l'air.

De là, on a :



Or :




Ici on a supposé que la température du tube à l'extérieur était toujours égale à T₀, ce qui est faux dans la réalité (mais bon, c'est une approximation) !

Donc, on simplifie :







En régime permanent :



Donc :



Voilà, une belle équation différentielle que tu dois savoir résoudre .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite426803d1]

Le débit maximal est de 60 m3/h.
Dans ton calcul tu prends en compte la perte par conduction et/ou convection forcée.
Je m'attendais pas à des calculs si compliqués parce que moi et les maths...

[cedbont]

Et oui des fois c'est décourageant, mais après des calculs assez lourds et des hypothèses simplificatrices, l'équation finale est plutôt simple, non ?

[invite426803d1]

Du coup tu prend pas en compte la convection forcée. J'ai trouvé une formule simplifiée : Q=h.S.deltaT ou h est le coef de transfert de chaleur (W.m-2.K-1)
Dans ta formule tu prends pas en compte non plus la surface totale de la canalisation, ni le débit de l'eau.


Désolé de toutes ces questions, mais je travaille dans une usine qui se pose la question d'installer ou non un refroidisseur pour les effluents et le refroidisseur coute 50000 €. Donc si le refroidissement des effluents par l'air ambiant en passant dans la canalisation est suffisant, ca ferait une grosse économie.

[mamono666]

La convection n'a pas à etre prise en compte je pense, car tu as un débit imposé.

Et pour le rayonnement, il y a aussi la loi de stephan à prendre en compte. mais je n'ai pas fait de calcul d'ordre de grandeur...donc à voir....

[cedbont]

aurel94, ta formule simplifiée pose un petit problème : elle n'est pas homogène, à moins que h s'exprime en J/m²/K et non en W/m²/K.
La surface totale de la canalisation est prise en compte puisque tu vois que R va intervenir dans la solution T(x), mais aussi la longueur de la canalisation qui sera l'abscisse x en fin de canalisation.
Par contre, il est vrai que l'équation différentielle proposée ne fait pas intervenir le débit de l'eau, ce qui est un peu bizarre pour moi.
Quant à ta dernière remarque, il faut noter que j'ai fait de nombreuses hypothèses simplificatrices :
-régime permanent,
-canalisation cylindrique,
-température du côté extérieur de la canalisation égale à celle de l'air.
Je pense qu'une simulation numérique serait ici très appropriée, surtout devant les coûts annoncés !

En résolvant l'équation différentielle on trouve comme température en x :

D'après les conditions initiales : C₁ = 0 et C₂ = T_(x=0) - T₀

[mamono666]

ouais du coup le régime permanent enleve le temps dans les équations....

Mais sinon, le parametre x de distance n'est il pas la distance d'un point du liquide jusqu'à la paroie.
car à priori (vu la symétrie du probleme) le gradient de température sera dirigé du centre du tube vers l'extérieur (enfin, c'est radial en gros) qui plus est en régime permanent.

je sais pas si je suis clair, ou si je fais fausse route....

[cedbont]

Mais sinon, le parametre x de distance n'est il pas la distance d'un point du liquide jusqu'à la paroie.
car à priori (vu la symétrie du probleme) le gradient de température sera dirigé du centre du tube vers l'extérieur (enfin, c'est radial en gros) qui plus est en régime permanent.

Oui et non :
x représente la distance entre un plan d'abscisse x et le plan origine avec l'origine fixée là où le fluide entre dans la canalisation.
Il est vrai que le gradient de température est dirigé vers l'extérieur du tube, mais aussi de l'entrée vers la sortie. Moi, j'ai considéré que la température dans un plan d'abscisse x est constante (c'est faux, mais c'est la seule manière que je connais pour résoudre, analytiquement et en répondant en première approximation au problème).

[invite21126052]

il est totalement aberrant que la débit n'intervienne pas!
si on imagine un débit très rapide, l'eau n'aurait quasiment pas le temps de refroidir
au contraire, si c'est au goutte à goutte, l'eau serait en équilibre au bout d'une distance très courte

j'avais un exo un peu similaire... c'était pour un échangeur thermique, la situation me semble très similaire. je donne la réponse.
notations:
température d'entrée
temp de sortie
température extérieure
coef d'échange entre le milieu ext et la canalisation
surface totale d'échange (de la canalisation)
capa calorifique de l'eau
débit massique

alors

c'était lorsque la température était plus grande à l'extérieur. je pense que ça marche tjs dans ton cas.

on avait entre autre hypothèses que l'épaisseur de la paroi est très faible par rapport au diamètre, que la conductivité de l'eau est nulle, que les échanges de chaleur se font proportionnellement à la surface et à la température:
, que la température d'une tranche de liquide est constante.


et, en prime:
,
diamètre du tube (, longueur) et x distance à l'entrée