zéro puissance zéro

[Seirios]

J'ai dans le livre des frères Bogdanov, que zéro puissance zéro est égale à un !!!!!
Pourtant on m'a toujours apris que c'est une erreur mathématique.
Qu'en pensez-vous ?

[invite97eb3f8b]

Bonjour,
et oui 0^0 est égal à 1.
(0^0 replaced by 1) c'est ce qui sera marqué sur la calculatrice.
Le pourquoi, je ne sais pas, mais cela est juste.

[invite97a92052]

Si la calculette te prévient, c'est justement que 0⁰ n'est pas réellement défini
(c'est ce que l'on m'a appris en cours en tous cas...)

[invite9c9b9968]

En fait, le statut de 0^0 est un statut assez particulier.

On peut définir ce nombre, et force est de constater que l'on peut le définir comme on le souhaite, sans remettre en cause les axiomes de base (généralement on se place dans l'axiomatique de Zermelo-Frankel).

Usuellement, la convention prend 0^0=1 ; mais rien ne nous empêche de prendre aussi 0^0=0 (c'est rare).

Sur cette question très passionnante, je vous renvoie à la FAQ du forum usenet sci.maths.fr

@+

Julien

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

OK, merçi.

[invitefb0ffdce]

formellement 0^0 = exp[0log(0)] mais log(0) c'est absurde ! C'est dc bien une convention !

[shokin]

On peut aussi dire 0^0=infini ?

Shokin

[invite9c9b9968]

formellement 0^0 = exp[0log(0)] mais log(0) c'est absurde ! C'est dc bien une convention !

Oui et non.

Par exemple (-1)^2 = 1 mais (-1)^2 ne s'écrit pas exp(2 ln (-1))...

On pourrait aussi écrire, ayant 0^n=0 pour tout n différent de 0, que 0^0=0 (par "continuité")

Mais on a aussi n^0=1 pour tout n différent de 0, donc pourquoi pas 0^0=1 ?

On a aussi x^x= exp (x ln x) pour x réel supérieur strict à 0. Or l'on sait que donc par continuité de l'exponentielle. On pourrait donc poser, pourquoi pas, 0^0=1.

Tout est donc possible

[invitee3bb9fa7]

bonjour,

a^m / a^n = a^(m-n) = résul . seule condition a^n non nul.
exp :
2^3 / 2² = 2.2.2 / 2.2 = 2 = 2^(3-2)

3 cas possibles :
- m > n => pas de pb. (m-n > 0)
- m < n => exp :
2² / 2^3 = 2.2 / 2.2.2 = 1 / 2 = 2^(-1)
=> résul = a^(m-n) avec m-n < 0 (négatif)
d'ou les puissances négatives du type : 1 / a = a^(-1)

- m = n => m - n = 0
a^m / a^n = a^(m-n) = a^0 = 1
exp :
a.a.a.a / a.a.a.a = 1 = a^0 <= m = n = 3
rappel - seule condition : a non nul.
bonne lecture.

[invitefb0ffdce]

Oui et non.

i] Par exemple (-1)^2 = 1 mais (-1)^2 ne s'écrit pas exp(2 ln (-1))...

ii] On pourrait aussi écrire, ayant 0^n=0 pour tout n différent de 0, que 0^0=0 (par "continuité")

iii] Mais on a aussi n^0=1 pour tout n différent de 0, donc pourquoi pas 0^0=1 ?

iV]On a aussi x^x= exp (x ln x) pour x réel supérieur strict à 0. Or l'on sait que donc par continuité de l'exponentielle. On pourrait donc poser, pourquoi pas, 0^0=1.

Tout est donc possible

salut!
i] 0>=0 que je sâche !
ii]
iii]
iV] mieux

[invite9c9b9968]

salut!
i] 0>=0 que je sâche !
ii]
iii]
iV] mieux

i] tu prenais comme exemple exp(0 log 0) et tu expliques que c'est pas bien parce que log 0 n'existe pas ; je te montrais que cela n'est pas super pédagogique, car on peut prendre l'exemple que je donne, où log(-1) n'existe pas plus que log(0) (bon d'accord, on peut me rétorquer que log(-1) existe dans ...) et pourtant (-1)^2 = 1 a un sens.

ii] et iii] me paraissent très clairs, où est ton problème ? Je voulais seulement faire passer le message que si on s'interesse à la valeur de 0^0, on peut déjà s'interesser au comportement de a^b avec a et b entiers non tous nuls.

Si on prend a =0 on a toujours 0^b=0, ce qui peut nous pousser à généraliser à 0^0=0.

Si on prend b=0 on a toujours a^0=1, ce qui peut tout aussi bien nous pousser à généraliser à 0^0=1.

Ce n'est bien entendu pas rigoureux...

[inviteab2b41c6]

0^0 ne se défini pas simplement car (x,y)->x^y n'est pas continue en 0.

[invitefb0ffdce]

0^0 ne se défini pas simplement car (x,y)->x^y n'est pas continue en 0.

salut! voila le pblème ! pour y=0 et x<>0 pas de pblème. Quand x tend vers 0, xlog(x) tends vers 1=> on prolonge par continuité en POSANT x^x = 1 pour x=0. c'est dc bien une CONVENTION cqfd

[inviteab2b41c6]

"bon d'accord, on peut me rétorquer que log(-1) existe dans ..."

Je n'ai jamais vue de construction qui prenait que log(-1) existait.
En fait c'est possible, mais pas naturellement car il faut faire une coupure dans le plan complexe.
Un spécialiste du sujet est je crois, mathias sur le forum.
martini bird pourrait également en dire plus.

Il me semble que l'on peut définir le log de tout nombre en passant par les variétés différentielles...

[invite21126052]

petit extrait de notre cours d'il y a quelques jours (niveau terminal...)

pour a réel STRICTEMENT positif et b réel, on définit a^b par:
a^b = exp(b*ln a)

par ailleurs, on a écrit en propriété à la suite que pour a strictement positif, a^0=1 (en démontrant avec la formule)

bon je ne sais pas si ça résoud grand' chose, mais peut être que ça mettra quelques idées un peu plus au clair? (je ne vise personne...)

amicalement

[Seirios]

Quelqu'un aurait-il une explication simple (oui je sais ça va être coton) pour mon prof de math, parce qu'il m'a dit que 0^0 était impossible ?
Attention, c'est un prof du collège.

[invitee3bb9fa7]

merçi pour l'info FAQ du forum usenet sci.maths.fr
j'irai voir ce qu'ils en disent.

Ceci dit a^0 = 1 = a^(m-n) avec m = n & donc m-n = 0
mais 0^0 revient à diviser 0 par zéro
je peux diviser 0 par n'importe quel nb,
mais diviser 0 par 0 n'a pas de signification mathématique.
Peut'on lui attribuer une valeur arbitraire ? peut être, mais quel intêret ?

[invitefb0ffdce]

pour iii], n^0 = 1 s'explique très bien car n^0 = exp[0log(n)] = exp(0) = 1, pour tout n>0.
mais si n=0 on tombe sur log(0) qui n'est pas défini !

[invite88ef51f0]

Salut,

Peut'on lui attribuer une valeur arbitraire ? peut être, mais quel intêret ?

Oui, on peut... et l'intérêt est de faire ça intelligement de façon à retrouver le comportement limite de certaines fonctions. Ainsi, la fonction x->x^x tend vers 1 quand x tend vers 0 (car xln(x) tend vers 0). On aurait donc pu prendre comme convention 0⁰=17,3, mais ça aurait pas été très très pratique : x^x n'aurait pas été continue en 0, par exemple...

[invitefb0ffdce]

salut!

mais si on pose que 0^0 = 1 alors par exple,

2^[0^0] = 2^1 = 2 = [2^0]^0 = 1^0 = 1 impossible !

[invitefb0ffdce]

euh non c faux ce que je dit !
[2^0]^0 <> 2^[0^0] of course !


si 0^0 = 0 alors 0^[0^0] = 0^0 = 0
si 0^0 = 1 alors 0^[0^0] = 0^1 = 0

euh alors c'est quoi la réponse au final

[invitefbb1d0aa]

Du point de vue de l'arithmétique élémentaire (théorie des nombres entiers), 0^0 est parfaitement défini et vaut 1. C'est bien à tort que bien des ouvrages le disent indéfini. Cependant, quand on fait de l'analyse, on a une discontinuité de la fonction x^y pour x=0, y=0.
Arguments brefs et quelque peu abstraits:
La définition ensembliste de base est que n^k est le nombre d'applications d'un ensemble à k éléments vers un ensemble à n éléments, ce qui donne 0^n = 0 pour n>0 et n^0 = 1 pour tout entier n.
Voir à cette page des arguments plus détaillés et présentés de manière plus concrète.
Notamment cet argument plus parlant que la théorie des ensembles, et qui se résume ainsi:
n^k est le nombre de mots de k lettres que l'on peut écrire avec un alphabet à n lettres. Si l'alphabet est vide, on ne peut écrire aucun mot, sinon l'unique mot vide...
En algèbre, on utilise implicitement l'égalité 0^0=1, par exemple dans la formule pour les puissances d'une somme,
.
C'est une généralisation de la formule que tous les écoliers apprennent par cœur,
,
mais réécrite pour la généralisation sous la forme

Si on remplace a ou b par 0, la formule fonctionne... à condition de poser 0^0=1

[Médiat]

Voir : http://forums.futura-sciences.com/ma...nir-0-0-a.html

[invitefbb1d0aa]

En arithmétique, 0^0 est parfaitement défini et vaut 1 (voir les explications détaillés ici
Cependant, en analyse, cette égalité ne fonctionne pas dans le calcul des limites

[gg0]

Voir http://forums.futura-sciences.com/ma...nir-0-0-a.html.

[invitefbb1d0aa]

1. La définition ensembliste rigoureuse de 0⁰ donne bien 0⁰ =1

On se place ici dans l'ensemble des entiers naturels et on utilise la théorie des ensembles. Les opérations d'addition, de multiplication et d'exponentiation (puissance) se définissent alors de manière simple et naturelle à partir de la notion de cardinal d'un ensemble et des opérations élémentaires de la théorie des ensembles. L'addition se définit au moyen de la réunion de deux ensembles disjoints, la multiplication au moyen du produit cartésien, et l'exponentiation au moyen de l'ensemble des applications d'un ensemble vers un autre.

• x^y est le cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble de y éléments vers un ensemble de x éléments;
• 0⁰ est le cardinal de l'ensemble des applications de l'ensemble vide vers lui-même;
  l'application dont le graphe est l'ensemble vide est l'unique application de l'ensemble vide vers lui-même;
• l'ensemble des applications de l'ensemble vide vers lui-même contient donc cette unique application, et
• est de cardinal 1.

Cet argument peut s'illustrer de manière plus intuitive avec la théorie des mots. (Voir l'explication détaillée proposée en téléchargement)

2. Argument algébrique : en utilisant la forme générale pour un polynôime de degré n :

On obtient P(0) = a0 (le terme constant) à condition de poser 0⁰ =1 : P(0) = a₀·0⁰ = a₀

Voir plus de détails ainsi qu'un argument algébrique sur cette page : http://silvain.math.isuisse.com/

[invite0e4ceef6]

hm, les matheux, a mon avis sur ce coup, vous vous faites avoir par une ecriture qui n'a aucune réalité tengible. ormis mathématique peut-etre..

rien^rien cela m'ettonerais fortement que cela donne quelquechose.

et que cela surtout ait le moindre sens.. l'on peut toutefois dire que cette ecriture est quelquechose vu le nombre de page necessaire a sa non-résolution.

en philosophie serait vouloir muliplier le néant par lui même.

c'est sans doute un jeu d'ecriture diabolique, mais toute les questions ne sont pas forcement valide en elle-même.. chercher les coins d'une pièce ronde est sans doute amusant, si la pièce ronde existe..

le zero n'est qu'une ecriture formelle désignant un non-etre, ue comodité numérique de la numérotation.

vouloir mettre une convention a sa propre puissance, est-ce que cela vraiment un sens, même mathématique??

en soi, la puissance 0 est une negation de l'idée de puissance..
si je e trompe 1^1=1 la puissance est de toute façon toujours consubtenciel du chiffre 1, la rajouter ce faire une redondance d'ecriture. 1^0= n'est pas egal a zero, puisque cette puissance anule le chiffre et le calcul qui le porte. plutôt ensemble vide non..

ce n'est pascomme multiplier un chiffre par zero, ou il y a un bien resultat possible, puisque cela n'annule pas l'pération elle-même, l'identité et la raison de l'opération..

a+

[invite9c9b9968]

Euh quetzal tu t'aventures sur un terrain dangereux là

Désolé pour moi le zéro n'est pas qu'une simple écriture, ça existe - ne serait-ce qu'en temps que neutre pour la loi de composition interne d'un groupe additif

[invite4793db90]

Salut,

bon il faudrait arrêter : l'expression n'a absolument aucun sens mathématique. La confusion vient de ce que parfois, il est commode pour l'écriture de poser .

Il n'y a aucun interprétation à en faire, ni plus à discuter de sa « validité ».

Cordialement.

[invite9c9b9968]

Euh sinon totalement d'accord avec martini