[Physique] [L1] Cinématique - Forum Exercices pour les concours et examens

zoup1 · 01/11/2005, 22h06

Voici un petit exercice de cinématique pour répondre à la demande de Boobooboo...
Il est sous forme d'un fichier pdf que l'on peut trouver à cette adresse : http://zoup1.free.fr/Exo4.pdf
ou comme pièce jointe à ce message
Si le format du post pose un problème, je peux éventuellement faire un effort pour le convertir en autre chose...

**benjy_star** · 02/11/2005, 19h45

Bon je m'y colle, j'ai besoin de progresser en mécanique.

I. Questions préliminaires

(a)
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$
$\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

(b)

$\vec{r} = r \vec{u_r}$
$\vec{v} = \frac{dr}{dt} \vec{u_r} - r \frac{d\theta}{dt} \vec{u_\theta}$
Pour a c'est un peu plus long, faut pas que je me mange une erreur en route !

$\vec{a} = (\frac{d^2r}{dt^2} + r\frac{d\theta}{dt})\vec{u_r} -r(\frac{d\theta}{dt} + \frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u_ {\theta}}$

Voilà pour le début...

zoup1 · 02/11/2005, 21h18

Citation:

Posté par benjy_star

Bon je m'y colle, j'ai besoin de progresser en mécanique.

C'est pas vraiment de la mécanique tout cela... juste un peu de math dont on a besoin pour faire de la mécanique...

Citation:

I. Questions préliminaires

(a)
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$
$\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

pour l'instant rien à dire.

Citation:

(b)

$\vec{r} = r \vec{u_r}$
$\vec{v} = \frac{dr}{dt} \vec{u_r} - r \frac{d\theta}{dt} \vec{u_\theta}$
Pour a c'est un peu plus long, faut pas que je me mange une erreur en route !

$\vec{a} = (\frac{d^2r}{dt^2} + r\frac{d\theta}{dt})\vec{u_r} -r(\frac{d\theta}{dt} + \frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u_ {\theta}}$

Voilà pour le début...

Aïe, là cela coince. Pour l'expression de la vitesse déjà, on est pas très loin mais il y a un problème de signe.
peut-être est-il utile de retrouver le lien entre $\vec{u_r}$ et $\vec{u_\theta}$ ? Il se retrouve simplement en écrivant les coordonnées des 2 vecteurs dans la base cartésienne.
En ce qui concerne l'accélération, c'est plus embétant... Ce que tu as écris n'est pas homogène. $r\frac{d\theta}{dt}\vec{u_r}$ a les dimensions d'une vitesse et non pas celle d'une accélération. En fait il n'y a qu'un seul des termes qui est homogène à une accélération, le prermier. Cela ne peut donc pas coller... $\frac{d^2r}{dt^2}$
Je pense qu'il faudrait que tu détailles précisément ce que tu fais en ce qui concerne la vitesse. On pourra sans doute voir ce qui ne va pas et l'accélération devrait par la suite aller d'elle-même.

**doryphore** · 02/11/2005, 22h01

Le pauvre Benjy-Star qui se fait gronder de partout

zoup1 · 02/11/2005, 22h18

Citation:

Posté par doryphore

Le pauvre Benjy-Star qui se fait gronder de partout

Heu!!! Tu as pas bien regardé, je commence par un "pour l'instant rien à dire" ce qui, en zoup1, veut dire, c'est super chouette, t'as tout fait bon...

**benjy_star** · 02/11/2005, 22h21

tout le monde dit du mal de moi...

Remarque, je cherche !

Bon, on s'est bien marré, on a bien déconné, au boulot !

Alors selon moi et après correction :

$\frac{d\vec{u_r}}{dt} = +\frac{d\theta}{dt} \vec{u_\theta}$

$\frac{d\vec{u_\theta}}{dt} = -\frac{d\theta}{dt} \vec{u_r}$

Et on a donc pour la vitesse :

$\vec{v} = \frac{dr}{dt} \vec{u_r} + r \frac{d\theta}{dt} \vec{u_\theta}$

J'en reste là avant de passer à l'accélération.

zoup1 · 02/11/2005, 22h37

Alors pas d'hésitation sur les qualificatifs, c'est parfait !!!
Mais as tu compris ce qui clochait dans ce que tu avais fait pour l'accélération ?

**benjy_star** · 02/11/2005, 23h01

L'accélération, pas encore, je m'y mets demain, là il est tard.

Je voulais juste déjà bien poser les bases.

En tout cas, ton exercice est pile ce qu'il me faut !

zoup1 · 02/11/2005, 23h24

Bonne nuit alors...
L'exo était plutot pour Boobooboo... mais il ne s'est pas reconnecté depuis qu'il a fait sa demande. Je suis content qu'au moins il profite à quelqu'un..

**benjy_star** · 03/11/2005, 07h29

Il faut pas que ma réponse l'empêche de le faire après tout. si j'amais il lit ce message, on peut parfaitement être plusieurs à répondre à un même exercice...

**benjy_star** · 03/11/2005, 12h27

Bon, je vais tenter pour l'accélération :

$\vec{a} = (\frac{d^2r}{dt^2} - r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u _r} + (2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{ dt} + r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u _\theta}$

Au passage : peut-on dire :

$\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt } = \frac{dr.d\theta}{dt^2}$

??

callius · 03/11/2005, 12h56

qu'est ce qu'une force central . est ce qu'on peut fair une etude de son mvt?

**benjy_star** · 03/11/2005, 13h03

Citation:

Posté par callius

qu'est ce qu'une force central . est ce qu'on peut fair une etude de son mvt?

Je comprends pas tout... Un rapport avec l'exercice, ou je supprime ?

zoup1 · 03/11/2005, 15h47

Citation:

Posté par benjy_star

Bon, je vais tenter pour l'accélération :

$\vec{a} = (\frac{d^2r}{dt^2} - r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u _r} + (2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{ dt} + r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u _\theta}$

Au passage : peut-on dire :

$\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt } = \frac{dr.d\theta}{dt^2}$

??

On y est presque sauf que le terme $r\frac{d^2\theta}{dt^2} \vec{u_r}$ n'est pas bon. Cela devrait etre $r\left ( \frac{d\theta}{dt} \right )^2\vec{u_r}$

Je pense que ton erreur est liée à la question que tu poses. On ne peut pas dire $\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt } = \frac{dr.d\theta}{dt^2}$ . Cela n'a pas de sens.
De la même façon (peut-être) $\frac{d\theta}{dt}. \frac{d\theta}{dt} = \left ( \frac{d\theta}{dt} \right )^2 \neq \frac{d^2\theta}{dt^2}$ .
Je suis pas très sûr d'être très clair... Mais pour être plus explicite, il me faudrait le détail du calcul qui te conduit au résultat érroné pour que je puisse pointé réellement du doigt, l'origine du problème.

zoup1 · 03/11/2005, 16h20

Citation:

Posté par callius

qu'est ce qu'une force central . est ce qu'on peut fair une etude de son mvt?

On parle de force centrale pour un champ de force tel que en un point, la force radiale (dont la direction pointe ou fuit d'un centre) et le module ne dépend que de la distance au centre.

Si on appelle $O$ le centre et qu'on note $\vec r = \vec OM = r \vec {u_r}$ le vecteur position par rapport au centre $O$ . Autrement dit, on peut ecrire la force comme $\vec F = F(r) \vec{u_r}$ . L'intérêt des forces centrales est qu'elle sont conservatives. C'est à dire que le travail de cette force entre 2 points A et B, ne dépend pas du chemin suivi entre A et B. Par conséquent on peut leur associer une énergie potentielle... Comme elles sont radiales elles conserve le moment cinétique par rapport au centre. Voilà ce qu'on peut en dire, mais cela est un autre sujet

**benjy_star** · 03/11/2005, 17h43

Alors, pour l'accélération :
$\vec{a} = (\frac{d^2r}{dt^2} - r(\frac{d\theta}{dt})^2)\vec{u _r} + (2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{ dt} + r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u _\theta}$

Pour la précision sur les carrés, c'est exactement ce que je voulais savoir !

La suite plus tard...

**benjy_star** · 03/11/2005, 18h55

Alors on a :

$\vec{v} = \frac{dr}{dt} \vec{u_r} + r \frac{d\theta}{dt} \vec{u_\theta}$

Soit, en appliquant ici :

$\vec{v} = 2A\omega e^{2\omega t} \vec{u_r} + A\omega e^{2\omega t} \vec{u_\theta}$

Et donc la norme :

$v = \sqrt{5} A\omega e^{2\omega t}$

zoup1 · 03/11/2005, 19h09

Parfait !!!