Exercice étude des variations avec une petite dérivée et un tableau de signe (1èreS) - Forum Mathématiques du collège et du lycée

neokiller007 · 28/01/2006, 01h24

Salut,
Je voulais savoir si mon exercice est juste et bien rédigé.
L'énoncé est en bleu, mes réponses en noir.

ABCD est un carré de 4cm de côté.
E est le milieu du segment [AD]. On consièdre un point M du segment [AB].
La perpendiculaire à la droite (EM) en M coupe le segment [BC] en N.
On pose AM=x et on apelle f(x) l'air du triangle ENM. voir figure(cliquez)

1)Etudier les variations de la fonction f sur [0;4[.

Déterminons f(x):
Le triangle ENM est rectangle donc son aire est égale à: $\frac{EM\times MN}{2}$
Donc $f(x)=\frac{EM\times MN}{2}$

Calculons EM:
EM est l'hypoténuse du triangle rectangle EAM.
Donc d'après le théorème de pythagore:
$EM^2=EA^2+AM^2$
$EM^2=2^2+x^2$
$EM=\sqrt{x^2+4}$

Calculons MN:
Les angles $\widehat{EAM}$ et $\widehat{MBN}$ son des angles droits car ce sont les sommets d'un carré.
Comme la somme des angles d'un triangles est égale à 180° on a donc:
$\widehat{AME}+\widehat{MEA}=90 ^o$
$\widehat{BMN}+\widehat{BNM}=90 ^o$

L'angle $\widehat{AMB}$ mesure 180° car [AB] est le côté d'un triangle.
Donc $\widehat{AME}+\widehat{BMN}=90 ^o$
D'après tous ceci on déduit donc que $\widehat{BMN}=\widehat{MEA}$ et $\widehat{AME}=\widehat{BNM}$

Les triangles MAE et MBN sont donc semblables alors:
$\frac{x}{2}=\frac{BN}{4-x}\Leftrightarrow BN=\frac{x(4-x)}{2}$
Figure pour mieux comprendre le raisonnement(cliquez)

D'après le théorème de pythagore:
$MN^2=(4-x)^2+\frac{x^2(4-x)^2}{4}$
$MN=\sqrt{(4-x)^2+\frac{x^2(4-x)^2}{4}}$
$MN=\frac{4-x}{2}\sqrt{4+x}$

Etudions les variations de la fonction f sur [0;4[
$f(x)=\frac{EM\times MN}{2}$
$\Leftrightarrow f(x)=\frac{\sqrt{x^2+4}\times (\frac{4-x}{2}\sqrt{4+x^2})}{2}$
$\Leftrightarrow f(x)=\frac{(4-x)(x^2+4)}{4}$
Df=[0;4[=Df'

On pose u(x)=(4-x)(x²+4) et v(x)=4
Donc u'(x)=-1*(x²+4)+(4-x)*2x=-x²-4+8x-2x² et v'(x)=0

$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
$f'(x)=\frac{(-x^2-4+8x-2x^2)\times 4-[(4-x)(x^2+4)]\times0}{4^2}$
$f'(x)=\frac{-12x^2+32x-16}{16}$

On cherche les valeurs qui annulent le numérateur.
$\Delta =b^2-4ac$
$\Delta =32^2-4\times (-12)\times (-16)$
$\Delta =1024-768$
$\Delta =256$

$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x1=\frac{-32+\sqrt{256}}{-24}$ $x2=\frac{-32-\sqrt{256}}{-24}$
$x1=\frac{-32+8\sqrt{4}}{-24}$ $x2=\frac{-32-\sqrt8{4}}{-24}$
$x1=\frac{-4+\sqrt{4}}{-3}$ $x2=\frac{-4-\sqrt{4}}{-3}$
$x1=\frac{2}{3}$ $x2=2$

Faisons le tableau de signe:
voir tableau de signe(cliquez)

$f(0)=\frac{(4-0)(0+4)}{4}$
$f(0)=\frac{16}{4}$
$f(0)=4$

$f(\frac{2}{3})=\frac{\frac{10} {3}\times \frac{40}{3}}{4}$
$f(\frac{2}{3})=\frac{400}{27}* \frac{1}{4}$
$f(\frac{2}{3})=\frac{100}{27}$

$f(0)=\frac{2\times 8}{4}$
$f(0)=4$

2)En déduire un encadrement de f(x) pour x élément de [0:2].

Sur le tableau de signe précédent on a pour x $\in$ [0;2] une valeure minimale de $\frac{100}{7}$ pour $x=\frac{2}{3}$ et une valeure maximale de 4 pour x=0 et x=4
Donc si x $\in$ [0;2]; $\frac{100}{7} \leq f(x) \leq 4$

Voila
Merci a++

mécano41 · 28/01/2006, 10h58

Bonjour !

Tout cela me paraît bon et bien présenté.

Juste quelques erreurs à la recopie de ton brouillon :

- à la définition de MN, le x sous le radical devrait être x² mais c'est bon plus loin !

- à la définition de f(x) ce n'est pas (BM.MN)/2 mais (EM.MN)/2 mais c'est bon plus loin !

- à la 2ème définition de f(2/3) tu as frappé un signe "différent de" au lieu de "multiplié par" mais c'est bon plus loin !

Bon courage

mécano41 · 28/01/2006, 11h26

Désolé ! J'ai oublié :

tu as écris : L'angle AMB mesure 180° car AB est le côté d'un triangle. Il s'agit en fait du côté d'un carré ; mais tu aurais simplement pu dire que c'était par hypothèse ou par construction.

neokiller007 · 28/01/2006, 11h38

Oula effectivement c'est plein d'erreurs d'inatention.
Merci!