Anomalie excentrique

[invite87431254]

Bonjour a tous! J'ai une sorte d'ADS/TIPE a faire sur l'anomalie excentrique (les planètes!) Je suis en MPSI. Et j'aurais voulu savoir vraiment pourquoi s'interresser à cette donnée, et puis si vous en savez un peu plus...
Le prof ma juste donné un exo à faire (ça ne coressepond pas a mon TIPE, c'est juste pour me faire travailler avec cet outil qu'est l'anomalie excentrique)
Si vou voulez avoir plus de précision on me demande d'établir une relation entre r (distance orbite/foyer = FM); a qui est le demi grd axe de l'ellipse; e l'excentricité; et u l'ANOMALIE EXCENTRIQUE!!
>>> r=a(1-ecosu) ça c'est fait!!
2. il faut ensuite établir:
t=(T/2Pi)(u-esinu)
t étant un instant qcq et T la période de révolution
et enfin 3. établir tan(téta/2)=racine((1+e)/(1-e))tan(u/2)
2 j'ai ptetre trouvé un truc mais pas sur par contre 3...
ENfin bref le probleme est que je ne voit pas bien ou veut me faire en venir cet exo...
Merci de votre aide
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[invite87431254]

Bon et bien merci quand meme de votr dévouement. J'ai eu reéponse a la plupart de mes questions et en fait le but de cet exo est d'obtenir une équation plus simplifé de téta en fonction du temps, bien plus simple que l'intégrale obtenue avec L'équadiff et binet.

[invite8c514936]

Salut,

Merci de nous faire partager tes retours par ailleurs, ça aidera éventuellement les gens qui liront cette discussion. Le fait qu'elle n'ait pas eu de réponse ne veut pas dire qu'elle n'ait pas été lue, ni qu'elle n'a intéressé personne, c'est juste que personne ne pensait pouvoir t'aider sur ce coup-là !

[invite79aadfd3]

Bonjour a tous! J'ai une sorte d'ADS/TIPE a faire sur l'anomalie excentrique (les planètes!) Je suis en MPSI. Et j'aurais voulu savoir vraiment pourquoi s'interresser à cette donnée, et puis si vous en savez un peu plus...
Le prof ma juste donné un exo à faire (ça ne coressepond pas a mon TIPE, c'est juste pour me faire travailler avec cet outil qu'est l'anomalie excentrique)
Si vou voulez avoir plus de précision on me demande d'établir une relation entre r (distance orbite/foyer = FM); a qui est le demi grd axe de l'ellipse; e l'excentricité; et u l'ANOMALIE EXCENTRIQUE!!
>>> r=a(1-ecosu) ça c'est fait!!
2. il faut ensuite établir:
t=(T/2Pi)(u-esinu)
t étant un instant qcq et T la période de révolution
et enfin 3. établir tan(téta/2)=racine((1+e)/(1-e))tan(u/2)
2 j'ai ptetre trouvé un truc mais pas sur par contre 3...
ENfin bref le probleme est que je ne voit pas bien ou veut me faire en venir cet exo...
Merci de votre aide

le 3 est trivial. Vous avez d'une part

r = p / (1 + e cos theta),

soit

r = a (1 - e^2) / (1 + e cos theta)

et

r = a (1 - e cos u)

donc

(1 - e cos u) (1 + e cos theta) = (1 + e) (1 - e)

on utilise la relation bien connue

cos (x) = (1 - t^2) / (1 + t^2)

avec

t = tan (x/2)

On remplace les deux cosinus par cette relation :

[1 - e (1 - tan^2 u/2) (1 + tan^2 u/2)] [1 + e (1 - tan^2 theta/2) (1 + tan^2 theta/2)] = (1 - e) (1 + e)

On multiplie par le numerateur du membre de gauche

[1 + tan^2 u/2 - e (1 - tan^2 u/2)][1 + tan^2 theta/2 + e (1 - tan^2 theta / 2)] = (1 - e) (1 + e) (1 + tan^2 u/2) (1 + tan^2 theta/2)

Pour simplifier les notations, on pose
v = tan^2 u/2
f = tan^2 theta / 2

soit

[1 - e + (1 + e) v][1 + e + (1 - e) f] = (1 - e) (1 + e) (1 + v) (1 +f)

qui donne, en developpant

(1 - e)(1 + e) + (1 + e)^2 v + (1 -e)^2 f + (1 - e) (1 + e) f v = (1 - e) (1 + e) (1 + f v) + (1 - e) (1 + e) (f + v)

les termes en f v et sans f ou v se simplifient, et il reste :

[(1 + e)^2 - (1 - e^2)] v + [(1 - e)^2 - (1 - e^2)] f = 0

[2 e^2 + 2 e] v + [2 e^2 - 2 e] f = 0

On simplifie par 2 e :

(e + 1) v = (1 - e) f

soit le resultat cherche :

tan u/2 = sqrt[(1 - e) / (1 + e)] tan theta/2

[A voir en vidéo sur Futura]