Espace homogène et isotrope et métrique
Bonsoir,
Comment peux-t-on prouver que les deux seuls espaces à 3 dimensions vérifiant l'homogénéité et l'isotropie sont tels que:
(ou encore)
ou bien:
(ou encore
avec les
Merci par avance,
Cordialement
Salut,
Je crois qu'il existe d'autre cas (en toute généralité) mais si tu parles d'espace physique, on peut en effet montrer que ce sont les seules solutions (la démonstration n'est pas très compliquée mais elle est assez longue, j'ai ça quelque part chez moi dans un des tas d'articles recouverts de poussières. Il y a un autre cas exclu par des conditions de causalité. Je crois qu'il existe une démonstration plus courte et plus technique basée sur la théorie des groupes mais je ne la connais pas. Chaverondier doit la connaitre amha).Envoyé par neutrino éléctronique
L'expérience montre que la bonne solution est la deuxième.
Note que cette démonstration n'est valide que dans le voisinage d'un point. L'espace global pouvant posséder une courbure. Auquel cas les métriques que tu donnes ne sont plus valides en d'autre points. On peut toutefois avoir une métrique diagonale partout si l'espace est homogène (voir ma réponse dans l'autre fil).
Mais comme on peut refaire la démonstration en tout point, cela signifie qu'en tout point il est possible de trouver un système de coordonnées où la métrique est de Minkowski. C'est la forme moderne du principe d'équivalence (si on ajoute que les lois physiques en RR sont valables dans ce système de coordonnées en ce point et si on précise que les forces éventuellement appliquées ne sont pas gravitationnelles).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Je crois que c'est ce qui intéresse précisément neutrino (et moins le reste...)
Moi aussi ça m'intéresse
Un lien ou un résumé deedee steplé
Je vais essayer de retrouver ça.... ce soir (je ne suis pas chez moi là).Moi aussi ça m'intéresse
Un lien ou un résumé deedee steplé
Et je le mettrai sur scribd (trop long pour mettre ici et encore moins par MP).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
la dérivation (synonyme d'obtention) rigoureuse de la métrique de FLRW est présentée dans "gravitation and cosmology" de Weinberg(chapitre 13). J'ai ce livre sous format .djvu que j'avais trouvé sur internet. Je pense que vous pourrez le retrouver également.Moi aussi ça m'intéresse
Un lien ou un résumé deedee steplé
Mais il faut savoir que cette démonstration est très coton, il faut s'accrocher et avoir de solides bases mathématiques.
Bonsoir,
Ok donc si j'ai bien compris, si je considère l'espace homogène et isotrope j'aurai forcément une métrique diagonale identique en tout point et vérifiant l'une des deux relations précédentes.
C'est intéressant, peux-tu développer? Je ne vois pas très clairement le lien avec le seul principe d'équivalence que je connaisse, à savoir l'identification locale entre un champ de gravitation et un champ d'accélération.
Merci pour la référence, après l'avoir vue la démonstration ne m'intéresse plus tant que ça en fait
Un question subsidiaire: comment puis-je remarquer qu'un espace 3D décrit par
SAlut,
Voici un document, ou plutôt un fragment d'un très long document que j'ai écrit il y a fort longtemps sur la relativité.
http://www.scribd.com/doc/57980811/Deduction
Je n'ai pas repris la partie (fort longue) sur la discussion du principe de relativité et sur sa nécessité. Il suffira de dire que je le vois comme un simple principe logique : la description (mathématique) des lois physiques ne doit pas dépendre du choix arbitraire du système de références. De toute façon Neutrino_electronique dit bien "à partir de l'homogénéité et de l'isotropie".
Il s'agit en fait d'une déduction des transformations de Lorentz à partir des postulats de base. On montre en toute généralité les transfomations possibles (trois mais deux seulement sont physiquement envisageables).
A partir des deux transfomations trouvées il n'est guère difficile de trouver la métrique puisqu'il suffit de trouver l'élément de ligne invariant sous les transformations. Ce n'est pas dans le document mais c'est facile (surtout à deux dimensions, puis en généralisant à 4).
Il existe peut-être une méthode plus rapide. Non, il existe sûrement une méthode plus rapide. (voir #)
Enfin, à partir de la mesure d'invariance de c on en déduit que la bonne transformation est celle de Lorentz.
Comme expliqué dans le document, en l'absence de postulat supplémentaire, cette démonstration n'est valide que localement, dans le voisinage infinitésimal d'un événement.
La généralisation (sans postulat supplémentaire) conduit donc à une métrique quelconque mais qui peut, en un point quelconque, être diagonalisée pour donner la métrique de Minkowski. Pour une métrique quelconque, la coubure peut être non nulle (auquel cas une diagonalisation unique valable en tout point n'est pas possible, sinon l'espace-temps ne seait autre que celui de Minkowski qui est sans courbure).
(#)
Une méthode plus rapide serait de faire le chemin inverse. On postule l'existence (locale !) d'une relation métrique quelconque entre points voisins (infinitésimals). On diagonalise. Ce qui ne peu donner (sauf dégénérescence) que :
ds² = +- dx1² +- dx2² +- dx3² +- dx4²
On montre facilement qu'un changement global de signe n'a pas de conséquence physique. On peut montrer par quelques raisonnements que physiquement le signe des trois composantes spatiales doit être le même (il doit y avoir moyen de trouver des boucles temporelles ou des trucs du genre ou en tout cas des inconsistances, point à creuser si on veut procéder comme ça). Il ne reste plus que deux possibilités. Je laisse le curieux plancher sur tout ça.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
SalutBonsoir,
Comment peux-t-on prouver que les deux seuls espaces à 3 dimensions vérifiant l'homogénéité et l'isotropie sont tels que:
(ou encore
ou bien:
(ou encore
avec les
Merci par avance,
Cordialement
Pour les espace temps en RG (4D) il y a trois type de solutions à symétrie maximum (isotrope et homogène): Courbure positive (espace temps de de Sitter) , négative (anti-De Sitter) et nulle (Minkowski).
A 3 dimensions c'est pareil puisque c'est lié à des propriétés impliquant la forme du tenseur de Riemann qui doit être "proportionnel à la métrique", le scalaire de Ricci qui est constant et une constante K dont le signe détermine le type d'espace ( K> 0 courbure positive, K< 0 courbure négative et K = 0 courbure nulle).
Voir par exemple le livre De S. Carroll " space time and geometry" Chap 3.9 et 8.1 pour les détails
Cordialement
Pas besoin de chercher loin, "isotrope" implique même signe pour les trois composantes !
Par ailleurs, je trouve la question du message #1 peu claire.
Manifestement elle l'est suffisamment pour ceux qui répondent puisqu'ils répondent, c'est à dire qu'ils aient traduit la question en une question claire (mais qu'ils n'ont pas indiquée).
Je ne suis pas bien sûr que toutes les réponses parlent de la même chose...
Ne serait-il pas utile, en particulier pour le questionneur, de clarifier d'abord la question, de faire en sorte que les difficultés éventuelles qui auraient mené à exprimer une question peu claire soient résolues avant même de fournir une réponse ? N'y a-t-il pas un risque de mauvaise compréhension des réponses sinon ?
Et pour cause, puisque dans le cas d'avant les notions de isotrope et homogène s'applique à la 3D !
Salut,
Olàlà, je cherche parfois vraiment midi à quatorze heures.
Merci de cette remarque.
Il avait posé des questions préliminaires dans un fil juste avant. De fait, après avoir lu ça, ça m'a semblé assez clair
Mais je peux avoir surinterprété. Espérons le retour de Neutrino_electronique pour donner son avis.
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Salut
Dans la notion de symétrie maximum, formellement, l'isotropie et l'homogénérité s'appliquent globalement (en respectant la covariance)aux 4 dimensions de la variété (espace-temps) puisqu'on s'attache à des propriétés du tenseur de Riemann qui est à 4 dimensions.
Qu'on puisse en déduire par un feuilletage des propriétés sur une hypersurface 3D spatiale est bien sûr possible mais, formellement, si on s'intéresse à 3D seulement il est plus correct de reposer le problème avec un tenseur de Riemann à 3 dimensions.
Cordialement
Si on s'intéressait aux variétés 4D isotropes et homogènes, oui.
Mais ce n'est pas le cas, on s'intéresse à l'espace-temps !
Or, comme les directions temporelles sont distinguables des directions spatiales, il n'y a pas isotropie 4D pour une métrique de signature 1-3.
Par ailleurs, il n'y a pas homogénéité 4D pour un espace-temps en expansion.
Quand on parle d'homogénéité et d'isotropie dans le cadre de l'espace-temps, ces propriétés sont celles en 3D, pas en 4D.
Dernière modification par Amanuensis ; 16/06/2011 à 12h19.
Salut
Dans un espace temps pseudo Riemanien de signature (-,+, +, +) on peut parfaitement définir l'homogénéité (associé au groupe de translations 4D, temps et espace) et l'isotropie associé au groupe de Lorentz de 6 rotations (3 spatiales et 3 Spatio-temporelles qui sont les boosts). En fait c'est l'invariance par le groupe de Poincaré à 10 éléments qui traduit la symétrie maximum.
En RG les espaces temps de De Sitter (courbure positive) et Anti -De Sitter (courbure négative) ont le même groupe de symétrie (le groupe de Poincaré) que l'espace temps de Minkowski (courbure nulle).
Ce sont les solutions génériques mais on peut montrer que par exemple l'espace temps statique d'Einstein est conformément relié à celui de De Sitter qui en est une partie.
C'est pour cela que la propriété lié au tenseur de Riemann (quel que soit le nombre de dimensions) est générale car elle ne préjuge pas de la métrique.
Cordialement
Cela ne change rien sur, et ne donne aucun argument contre, ce que j'ai signalé.
À savoir que quand on parle de ce qu'a fait Friedmann, les hypothèses d'isotropie et d'homogénéité ne portent QUE sur l'espace 3D.
PS : On peut toujours s'amuser à redéfinir "homogénéité" et "isotropie" pour soutenir n'importe quelle thèse. Mathématiquement "homogénéité" veut dire l'existence d'un groupe G agissant transitivement et respectant la structure. Le groupe de Poincaré respecte cela pour l'espace-temps de Minkowski (qui est donc homogène en 4D), mais pas pour les autres cas (la translation dans le temps ne respecte pas la métrique). L'isotropie est plus compliquée, et concerne le groupe ponctuel. L'espace-temps de Minkowski n'est pas isotrope, parce que le groupe de Lorentz n'est pas transitif pour les directions (impossible de transformer une direction spatiale en direction temporelle par une transformation du groupe).
Dernière modification par Amanuensis ; 16/06/2011 à 17h41.
Pire que cela, elle n'est même pas bien définie : que pourrait bien être le résultat d'une translation de -50 milliards d'années sur le modèle actuel ?
L'invariance par le groupe de Poincaré ne s'applique que à l'espace-temps de Minkowski (qui est homogène 4D, anisotrope 4D, et tel que tout découpage orthogonal 1D temporel + 3D spatial donne un espace 3D homogène et isotrope), pas à l'ensemble des possibilités d'espace-temps avec espace homogène et isotrope.
Pour l'isotropie d'ailleurs il y aurait encore à dire, puisque les solutions genre celle étudiées par Luminet ne sont pas spatialement isotropes...
Bonsoir,
D'abord merci pour ces réponses, je vais essayer d'expliciter un peu mon propos.
En fait mon objectif est de retrouver la métrique FRW à partir du principe cosmologique, je veux donc montrer que si j'ai un
espace 3D homogène et isotrope alors je peux le décrire avec la métrique FRW, que je désire exhiber au final. Pour ce faire je suis le raisonnement de Weinberg dans son Cosmology.
Tout d'abord je remarque que l'espace 3D euclidien usuel est bien isotrope et homogène:
Après je remarque que l'hypersphère dans un espace euclidien 4D fonctionne également:
Enfin je constate que l'on a aussi homogénéité et isotropie si
Ma question est de savoir pourquoi ces deux derniers espaces sont les seules hypersurfaces vérifiant l'homogénéité et l'isotropie.
Je commence à y voir plus clair grâce à vos réponses
C'est l'espace-temps qui est muni de la métrique FRW.
Désolé, mais la distinction 3D vs. 4D reste floue.Après je remarque que l'hypersphère dans un espace euclidien 4D fonctionne également:
Enfin je constate que l'on a aussi homogénéité et isotropie si
Ma question est de savoir pourquoi ces deux derniers espaces sont les seules hypersurfaces vérifiant l'homogénéité et l'isotropie.
Si la métrique 4D est de la forme dt²+a(t)dx², avec a(t) une fonction quelconque différentiable sur R*, et si l'espace est difféomorphe à R3 (non compact, une seule carte), alors l'espace 3D (défini comme l'ensemble des lignes de x constant) est isomorphe à R3 euclidien pour la métrique définie en prenant un t arbitraire mais unique, et est donc homogène et isotrope.
Pour obtenir un espace 4D homogène et isotrope, la seule possibilité me semble être R4 euclidien, c'est à dire a(t) constant positif et la carte R4 --> (t, x, y, z) complète (en particulier t de moins l'infini à plus l'infini).
[La précision sur les cartes est importante, parce que (R+*)4 muni de la métrique euclidienne n'est ni homogène ni isotrope. Mais il est plat (et donc de courbure constante), et donc il est possible de trouver pour n'importe quelle paire de points un voisinage de l'un et un voisinage de l'autre isométriques.]
Dernière modification par Amanuensis ; 16/06/2011 à 19h37.
SalutBonsoir,
D'abord merci pour ces réponses, je vais essayer d'expliciter un peu mon propos.
En fait mon objectif est de retrouver la métrique FRW à partir du principe cosmologique, je veux donc montrer que si j'ai un
espace 3D homogène et isotrope alors je peux le décrire avec la métrique FRW, que je désire exhiber au final. Pour ce faire je suis le raisonnement de Weinberg dans son Cosmology.
Tout d'abord je remarque que l'espace 3D euclidien usuel est bien isotrope et homogène:
Après je remarque que l'hypersphère dans un espace euclidien 4D fonctionne également:
Enfin je constate que l'on a aussi homogénéité et isotropie si
Ma question est de savoir pourquoi ces deux derniers espaces sont les seules hypersurfaces vérifiant l'homogénéité et l'isotropie.
Je commence à y voir plus clair grâce à vos réponses
Pour la métrique FLRW, pour la géométrie de la partie spatiale (3D) homogène et isotrope il y a 3 solutions. Aux deux que tu cites il faut ajouter le pendant de l'hypersphère mais à courbure négative.
Pour la démonstration de la chose voir par exemple:
http://www-cosmosaf.iap.fr/SAF_CoursCosmo_2010_3.pdf
P. 6 à 10
Cordialement
,
Oui pardon. Je cherche en effet à effet à montrer que tout espace homogène et isotrope peut être décrit par la partie spatiale de la métrique FRW.
N'a-t-il pas été dit auparavant que l'espace-temps n'était pas homogène et isotrope, mais seulement l'espace?
Un espace 3D homogène et isotrope ne suffit-il pas pour montrer que l'espace-temps 4D est décrit par la métrique FRW?
Il existe, à ma connaissance, un seul espace 3D homogène isotrope, du moins si on se limite à la variété 3D la plus simple : celle qui est homéomorphe à IR^3 (Le tore 3D, topologiquement "moins simple", peut-être lui aussi muni d'une géométrie homogène isotrope).
L'espace 3D homogène isotrope, peut alors être vu comme l'algèbre de Lie du groupe des translations spatiales (sous-algèbre de Lie de l'algèbre de Lie du groupe d'Euclide) munie de (la restriction de) l'action adjointe du groupe d'Euclide (sur son algèbre de Lie). L'espace 3D homogène isotrope (encore appelé espace d'Euclide 3D) émerge donc naturellement de sa géométrie : le groupe d'Euclide noté E(3).
Il s'agit du produit semi-direct du groupe des translations spatiales (associé à l'homogénéité, c'est à dire à l'invariance par translation spatiale) par le groupe des rotations spatiales SO(3) (associé à l'isotropie, c'est à dire à l'invariance par rotation spatiale) "augmenté" du groupe des inversions spatiales P transformant une main droite en main gauche (associé à la symétrie P, l'invariance par inversion spatiale rendant relative la distinction main droite main gauche contrairement à SE(3). La géométrie SE(3) (formée des isométries directes) moins riche (donc plus générale) que E(3) est compatible avec la possibilité d'attribuer un caractère absolu à la distinction main droite/main gauche).
On peut munir l'espace euclidien d'une métrique invariante par l'action du groupe d'Euclide : la métrique euclidienne. L'espace 3D homogène isotrope canonique (celui qui émerge naturellement de la structure même du groupe d'Euclide) s'appelle l'espace d'Euclide.
Bonsoir,
Merci pour ce lien
Merci pour ces précisions je comme à y voir (un peu) plus clair!
Salut,
J'avais bien dit que Chaverondier pourrait apporter un éclairage dans ce domaine
Merci Bernard,
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
