Espace courbe et géométrie

[Mailou75]

Bonjour,

J'ai fait un petit croquis qui me pose un gros problème (Il montre une construction sur une planète)

Au premier abord on comprend déjà que les notions de verticale et d'horizontale sont purement locales : une horizontale est la perpendiculaire à une verticale en un point donné de la surface de la planète . Les verticales ne sont pas parallèles et une horizontale est un cercle... l'horizon (Jusqu'ici j'ai pas inventé la poudre ...)

Ensuite (et c'est là que je bug) j'ai envie de dire : R1 et R2 définissent des lieux où la courbure de l'espace temps est différente (courbure en R1 > courbure en R2)

J'aurais malgré les apparences un batiment rectangulaire (D1=D2) dont la base et le sommet sont dans des espaces temps différents ?

Je compends plus rieeeeennnn, je finis par douter d'y avoir un jour compris qq chose

Heeeeelp, merci d'avance
Mailou
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[Deedee81]

Salut,

Ensuite (et c'est là que je bug) j'ai envie de dire : R1 et R2 définissent des lieux où la courbure de l'espace temps est différente (courbure en R1 > courbure en R2)

En effet, ce n'est pas si simple. L'espace dans lequel ton dessin est a priori sans courbure. C'est l'espace ordinaire à 3 dimensions (ou à deux dimensions si on considère la feuille sur laquelle tu l'as dessiné).

Le fait que l'espace ordinaire euclidien soit sans courbure n'empêche pas d'y avoir des objets sphériques ou des lignes courbes !!!! Ces objets ont une courbure dite extrinsèque (observée et mesurée dans un espace plus grand où ils sont plongés).

Par contre tu peux considérer la surface d'une sphère, et rien que sa surface, en faisant abstraction de tout le reste. C'est un sous-espace de l'espace complet. Cet espace à deux dimensions a bel et bien une courbure intrinsèque (pas besoin de l'observer dans un espace plus grand) ce que des habitants plats vivants dans cet espace pourraient vérifier en traçant des triangles et en constatant que la somme des angles ne fait pas 180°.

Donc, dans ton exemple, avec la maison, si tu effectues des coupes sphériques à deux dimensions en R1 et R2 tu obtiens effectivement deux surfaces avec rayon courbure R1 et R2 (courbure scalaire = 1/R1 et 1/R2). Par contre l'espace complet, même en ces points, reste évidemment sans courbure. Construire la maison ne change pas ça.

En relativité générale (je suppose que tu as ça quelque part une des circonvolutions cérébrales, une circonvolution courbe évidemment ) c'est effectivement la courbure intrinsèque qui est considérée. Mais au lieu de surface c'est carrément l'espace lui-même qui est courbe (ce qui est clairement plus difficile à imaginer mentalement) et même pire c'est l'espace-temps qui est courbe.

De plus, toutes les surfaces courbes ne peuvent pas être nécessairement plongées dans un espace plus grand (sans courbure). Par exemple, ça marche bien pour des surfaces sphériques, mais pas pour des espaces hyperboliques. On ne sait plonger qu'une partie de la surface (pseudo-sphère, selle de cheval). Et là aussi, évidemment, sans imaginer le plongement c'est encore plus difficile.

Mais tout n'est pas noir pour la représentation mentale. On a pleins d'outils à notre disposition : des coupes, les propriétés géométriques locales (dans une petite région, comme j'expliquais avec les triangles), les propriétés topologiques et, évidemment, les équations.

[invite231234]

Bonjour Deedee,

ce que des habitants plats vivants dans cet espace pourraient vérifier en traçant des triangles et en constatant que la somme des angles ne fait pas 180°.

Juste une question par rapport à ce qu'il y a au dessus : Les habitants auraient de tout temps calculé une somme des angles des triangles différente de 180°. Donc cela n'affecterait-il pas leurs mathématiques ?

Merci,

[Mailou75]

En effet, ce n'est pas si simple.

Non, d'ailleurs j'ai rien compris à ton explication (désolé et c'est frustrant)

La question est : puis-je considérer que D1=D2 mais appartiennent à des espaces temps différents ?

Les 4 angles font bien (localement) 90°, mon immeuble est un rectangle, mais ce rectangle se plie à la courbure de l'espace (/temps).

Enfin j'imagine que ceci est faux mais j'aimerai comprendre
(ex: les piles du Viaduc de Milau sont verticales mais non parallèles)

Merci
Mailou

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Juste une question par rapport à ce qu'il y a au dessus : Les habitants auraient de tout temps calculé une somme des angles des triangles différente de 180°. Donc cela n'affecterait-il pas leurs mathématiques ?

Je suppose que oui.

Non, d'ailleurs j'ai rien compris à ton explication (désolé et c'est frustrant)

La question est : puis-je considérer que D1=D2 mais appartiennent à des espaces temps différents ?

Je me demande s'il n'y a pas une confusion. L'espace-temps c'est l'ensemble de tous les événements. C'est-à-dire l'ensemble des points, TOUS, à tout instant. Il n'y a pas vraiment de sens à parler de "deux" espace-temps ici.

Les 4 angles font bien (localement) 90°, mon immeuble est un rectangle, mais ce rectangle se plie à la courbure de l'espace (/temps).

Euh, non, ils ne font poas 90°. Vérifie avec un rapporteur. Et si tu veux parler de déformation, c'est-à-dire si tu pars d'un espace plat et que tu le déformes, oui, tu peux arriver a un espace courbe. Mais pas ici. Il me semble clair que le plan ou l'écran sur lequel ou voit ton dessin est plat. Pas toi ?

Enfin j'imagine que ceci est faux mais j'aimerai comprendre
(ex: les piles du Viaduc de Milau sont verticales mais non parallèles)

Ben oui, vertical n'est pas synonym de parallèle. Il n'y a absolument rien de spécial à ça. Autre exemple : les rayons d'une roule de vélo, ce sont tous des rayons (= verticales pour une planète) et ils ne sont pas parallèles. Ca n'a rien d'étrange.

[bb98]

Bonjour

Une bonne introduction, à mon avis, à ces sympathiques problèmes :
"Le géométricon", de JP Petit chez Belin
bande dessinée amusante à base de pavages du plan :

gratuite ici :

http://www.savoir-sans-frontieres.co...EOMETRICON.pdf

Bonnes lectures

[Mailou75]

Euh, non, ils ne font poas 90°. Vérifie avec un rapporteur.

Voir dessin joint : Si, localement tout les angles font 90°

Il n'y a pas vraiment de sens à parler de "deux" espace-temps ici.

Alors disons "zones de l'espace temps où la courbure est différente"

Sans doute que je ne pose pas les bonnes questions, si ca t'exaspère laisse tomber j'aurais surement besoin de toi pour des question plus pertinentes

[Deedee81]

Salut,

Voir dessin joint : Si, localement tout les angles font 90°

Oups, désolé, oui, évidemment puisque ton batiment n'est pas rectangulaire, il a des bords courbes, ce qui compense le fait que les autres bordes sont inclinés.

Alors disons "zones de l'espace temps où la courbure est différente"

Non, c'est ton dessin qui a des lignes courbes. Pas l'espace-temps dans lequel il est dessiné !!!!

Ce n'est pas parceque tu dessines un cercle sur une feuille que ta feuille devient courbe.

Tu confonds le contenant et le contenu.

Sans doute que je ne pose pas les bonnes questions, si ca t'exaspère laisse tomber j'aurais surement besoin de toi pour des question plus pertinentes

En attendant, le conseil de bb98 est pas mal.