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Dimension espace courbe



  1. #1
    CM63

    Dimension espace courbe


    ------

    Bonjour,

    Ce forum est peut-être un peu scolaire, désolé je ne le suis pas, ou plus.

    Voici ma question : quelle devrait être la courbure d'un espace dans lequel le rapport de la longueur de la circonférence d'un cercle à son diamètre serait égal à 3? 4? Montrer que ces deux courbures sont transcendantes.

    A bientôt.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    CM63

    Re : Dimension espace courbe

    Je me réponds à moi-même : je me suis rendu compte que le problème était mal posé. Je suis en train de le reformuler. Je l'ai en word, puis en html, comment faire pour le poser dans le forum?

  4. #3
    Médiat

    Re : Dimension espace courbe

    Es-tu sur que le rapport de la longueur de la circonférence d'un cercle à son diamètre est constante dans les espaces à courbure constante ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    CM63

    Re : Dimension espace courbe

    Non justement, tu as raison, cela dépend de la grandeur du cercle. Un "petit" cercle, c'est-à-dire dont le rayon est petit par rapport à celui de l'espace, verra localement l'espace comme euclidien.

    En revanche, ce ne sera plus le cas pour un "grand" cercle. Par exemple pour un grand cercle d'une sphère, le rapport de sa circonférence à son "diamètre" (curviligne sur la sphère) est égal à 2, ce qui est inférieur à pi.

    Entre les deux, le rapport passe par 3 (ma première question). Pour quelle valeur du rayon du cercle (par rapport à celui de l'espace, la sphère)?

    J'essaie de poser dans le forum la demonstration, que j'ai préparée hier.

  6. #5
    CM63

    Re : Dimension espace courbe

    He bien je n'arrive pas à poser le document pour la démonstration, le fichier html est trop gros : 23K . Je n'arrive pas à le couper en morceaux.

    Mais j'avais démontré que la valeur 3 (rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre) était atteint pour un rayon euclidien égal à la moitié du rayon de la sphère. Dans ce cas le diamètre curviligne du cercle est égal à pi R /3 . Comme sa circonférence est égale à pi R , on retrouve bien que son rapport circonférence à son diamètre (curviligne) est égal à 3.

    Quant à la valeur 4 (l'autre partie de ma question), elle serait atteinte dans le cas d'un espace à courbure négative, par exemple un tore.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Médiat

    Re : Dimension espace courbe

    Citation Envoyé par CM63 Voir le message
    Mais j'avais démontré que la valeur 3 (rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre) était atteint pour un rayon euclidien égal à la moitié du rayon de la sphère.
    D'une façon générale ce rapport est égal à qui vaut bien 3 pour
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  9. Publicité
  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Dimension espace courbe

    Bonjour,

    Citation Envoyé par CM63 Voir le message
    Quant à la valeur 4 (l'autre partie de ma question), elle serait atteinte dans le cas d'un espace à courbure négative, par exemple un tore.
    Un tore est une surface de courbure nulle, la valeur du rapport y est pi pour tout cercle, jamais 4.

    Une surface de courbure négative constante ("plan hyperbolique") n'est pas "concrétisable" en dimension 3.

    Cordialement,

  11. #8
    CM63

    Re : Dimension espace courbe

    A bon? Je pensais que le tore avait une courbure négative, comme la selle de cheval. Peut-être peux-tu me rappeler quelle est la définition de la courbure d'un espace? Et surtout dans le cas d'une surface dans un espace 3D, qui est le cas "courant", mieux compréhensible.

    Je suis allé voir sur Wikipédia, j'ai l'impression qu'il y a plusieurs définitions possibles : moyenne arithmétique ou géométrique des courbures principales, moyenne par intégration des courbures de 0 à 2pi autour du point considéré, etc.

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : Dimension espace courbe

    Citation Envoyé par CM63 Voir le message
    Je suis allé voir sur Wikipédia, j'ai l'impression qu'il y a plusieurs définitions possibles : moyenne arithmétique ou géométrique des courbures principales, moyenne par intégration des courbures de 0 à 2pi autour du point considéré, etc.
    Oui, il y a plusieurs définition de la courbure. Mais si on s'intéresse au rapport entre le périmètre d'un cercle et son rayon, la courbure pertinente est la "courbure totale". Les définitions que je connais de cette courbure sont "internes", par exemple la somme des angles d'un triangle (un côté étant une portion de géodésique).

    Et cette courbure là est uniformément nulle pour le tore.

    Au passage, le tore plongé en 3D n'a pas que des points-selles. A l'extérieur les points sont ellipsoïdiques, et il y a deux cercles de points cylindriques. Mais le tore en 4D (une surface x²+y² = constante, z²+u²=autre constante) est totalement homogène, donc de courbure constante.

    Cordialement,

  13. #10
    invité576543
    Invité

    Re : Dimension espace courbe

    Le message précédent est erroné. La courbure pertinente est la courbure de Riemman, pas la courbure totale.

    Cordialement,

  14. #11
    CM63

    Re : Dimension espace courbe

    Peut-on trouver un espace dans lequel le rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle serait égale à 4? Un espace "simple"?

  15. #12
    CM63

    Re : Dimension espace courbe

    Non, ce n'est pas possible?

  16. Publicité
  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Dimension espace courbe

    Citation Envoyé par CM63 Voir le message
    Non, ce n'est pas possible?
    La question n'était pas claire. S'il s'agit de certains cercles, la sphère a déjà été citée comme solution. Si on veut plus de cercles, suffit de prendre un cône avec un angle au sommet idoine: alors tous les cercles tels que le sommet du cône leur soit intérieur auront pour rapport circonférence/diamètre 4. Si la question est "tous les cercles" sans exceptions, je n'ai pas rencontré de solution. Cela semble difficile, puisque si on prend trois cercles, dont deux cercles à l'intérieur un troisième, ces cercles ne peuvent pas tous les trois avoir 4 comme rapport périmètre sur diamètre, me semble-t-il.

    Cordialement,

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