Boule de Billard Poilue

[invite47382215]

Bonjour!

Voilà l'histoire: au détour d'une discussion avec mon prof de math (je suis en sup), ce dernier me dit en ces termes: "si tu prends une boule de billard "uniformément" poilue, alors en fait il existe un point auquel les poils forment un épis (c'est à dire un poil rebel dans le sens contraire des autres)" !!
Il n'a pas voulu m'en dire plus, j'y réfléchis dans mon coin mais vraiment je ne vois pas les outils qui me permettrait de montrer un tel résultat!!
Quelqu'un voit-il de quel problème je parle, ou un problème analogue et pourrait m'aider à y voir plus clair?

Merci!
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[invite6f780a02]

Salut, et bien ce pourrait etre , peut on couvrir une sphère avec des cercles de facon réguliere

[invited749d0b6]

Le théorème est démontré dans " Calcul différentiel et Géométrie" de Daniel Leborgne, p 40.
Ce n'est pas trivial (c'est le moins qu'on puisse dire).

[Médiat]

Le théorème est "tout champ de vecteurs tangents à une sphère (dans R^3) et continu s'annule en 1 point au moins". Parmi les conséquences : il ne peut pas y avoir de vent partout sur Terre au même moment (un courant purement ascendant n'est pas du vent).
Mais la démonstration n'est pas toute simple.
Il est facile de trouver un contrexemple pour la "sphère" de R² (donc un cercle).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite47382215]

Merci beaucoup, je vais faire de mon mieux pour comprendre!

[invite527bba59]

Salut;
Est ce bien de la meme maniere que l'on montre qu'il ne peut pas exister d'onde sphérique électromagnétique ?

[invite35452583]

Une manière ""simple"" (encore faut-il quelques connaissances en toplogie algébrique ) de voir ce théorème de la boule chevelue (autre nom) est celle-ci :
si un tel champ existait on pourrait alors grace à ces directions tangentielles construire une déformation continue de l'idendité de la sphère (S2) à l'"application inverse" (tout point est envoyé sur son antipode).
Or, en homologie est de degré -1 et non 1.

[invite1791adcc]

Pour moi on peut aussi voir un lien avec les points fixes de picard (ou banach) en topologie.

Toute application k-lipschitzienne (k<=1) d'un compact dans lui même admet un point fixe (un seul si elle est k<1).

En gros, tu roules en boule une feuille de papier, tu la poses là ou elle était, et t'es sur qu'au moins un point est situé à la verticale de l'endroit ou il était avant que tu ne roules la feuille en boule.


Maintenant, si ta fonction est définie comme :

coordonnées du projeté orthogonal sur la sphère du point du cheveu implanté en x situé à y millimètres de la racine .


quand y est petit, ne peut on pas dire que l'application est contractante (c'est un pas assez hardi que je franchis allègrement), et qu'il existe donc un cheveu qui "part verticalement", d'où l'épi?

[invite986312212]

Il est facile de trouver un contrexemple pour la "sphère" de R² (donc un cercle).

ou pour le Tore. Je me demande: si on vivait sur une planète torique, peut-être qu'il n'y aurait jamais de cyclones...

[invite7553e94d]

Le théorème est "tout champ de vecteurs tangents à une sphère (dans R^3) et continu s'annule en 1 point au moins". Parmi les conséquences : il ne peut pas y avoir de vent partout sur Terre au même moment (un courant purement ascendant n'est pas du vent).
Mais la démonstration n'est pas toute simple.
Il est facile de trouver un contrexemple pour la "sphère" de R² (donc un cercle).

toute petite rectification :

Tout champ de vecteurs tangents à une sphère de dimension paire et continu s'annule en 1 point au moins.