Bonjour,
Je dois trouver toutes les fonction transformant une boule fermé en boule fermé.
Mais il apparait que les homéomorphisme ne conserve que les ouverts alors je ne sais pas comment procéder.
Si vous pouviez m'aider merci.
ps: tout d'abord commencer dans R^2 et il semble que ce soit les similitudes mais je n'ai pas reussi a la prouver.
C'est un problème intéressant mais t'es sûr qu'il n'y a pas d'autres hypothèses ?
Une fonction constante par exemple vérifie ces conditions (l'image de tout ensemble non vide étant la boule fermée de rayon 0).
Faudrait que tu nous en dises plus sur les espaces de départ et d'arrivée (IR^n ?, evn ?) et sur la régularité des fonctions (injective ?).
Ca m'as pas l'air simple en fait, c'est un exo qui vient d'ou ?
déja ca pourait etre bien de réussir à obtenir un résultat de continuité, voir meem de différentiabilité. ca permetrai de dire que l'image d'un cercle est un cercle, et autre chose du meme genre...
à moin qu'il y ait une astuce qui rende l'exo trivial, j'essairai de prouver qu'il existe au plus une application vérifiant cette propriété qui envoi trois point fixé vers trois autres points quelconque.
à partir de la il sera assez facile de montrer qu'il n'y a en fait que les similitude affine.
à moins qu'on parvienne à montrer que l'application conserve l'orthogonalité ?
sinon une bonne methode pour parvenir à montrer ce genre de résultat est de faire l'image de plein de cercle et d'utiliser que l'image de deux cercle secant c'est deux cercle sécant, et que l'image de deux cercle tangeant c'est encore deux cercles tangeants, ainsi en construisant des faiseaux de cercle on obtiens beaucoup de contraintes sur l'application...
En gardant en tete un point importan par les methodes que je sugère on va trouver une classe de fonction un peu plus grande : les homographies et c'est le fait que la fonctin doit etre définit partous qui va faire que la classe va ce restreindre au similitude affine... il est donc tres peu probable qu'on puisse prouver directemen que la solution est affine, ou que l'image d'un cercle de rayon est un cercle de rayon ar... ou tousautre propriété qui est fausse pour les homographie...
voila, c'est juste un paquet d'idée en vrac en fait...
On peux s'interresser au debut au fonctions de R^2 dans R^2 puis apres de R^n dans R^q ... merci Ksilver pour ces idées je vais essayer de voir si je peux en tirer quelque chose.
pour prouver la continuité on peut faire qqch comme ca
soit x dans E, considéront Bn la boule de centre x et de rayon 1/n. f(Bn) est une boule de F contenant y=f(x).
si on prouve que B = intersection des f(Bn) = {y}
on aura prouvai que f est continu. (c'est assez facile à vérifier sauf erreur...)
ceci est vrai si on suppose par exemple f injective. peut-etre peut-on prouver que f est injective ?
Si on suppose f injective ça change tout.Envoyé par Ksilver
Une fonction constante (je le redis ...) est solution sans autre hypothèse.
Deeprod, donne nous l'énoncé complet !
ba une fonction contante c'est aussi une similude affine quelque part donc, je vois pas trop qu'elle est le probleme.
Ca pose un problème si tu veux montrer que la fonction est injective ....
Certe, mais l'idée c'est que a chaque fois qu'on aura une classe B de boule "suffisement grande" par exemple, qui peut recouvrire tous l'espaces (les boule en général, les boule contenant un point précis etc...). alors on pourra dire "si f est non constante alors il existe une boule b dans B telle que f(b) ne soit pas réduit a un point.
en appliquant ce genre de raisonement a des boule bien choisit j'espère prouver que f est injective. (en supossant que f(x)=f(y) et en prenant des boules contenant x, contenant y , contenant les deux etc... )
enfait si je me suis pas trompé, on peut prouver qqch du genre :
f continu <=> f injective ou f constante.
la démonstration que j'ai est un peu fastidieuse (et pas forcement juste aussi ^^ ), je la posterai si j'en trouve une plus simple.
