logx+exp(g(x)/x)=1 ??

[invited1bce81c]

Bonjour

Je bloque dans un exercice, prière de m'aider svp

Montrer qu'il existe un nombre réel a>0 et une fontion g de ]1-a,1+a[ vers R de classe C1 vérifiant g(1)=0 et telle que pour toutt x de ]1-a,1+a[ on a
logx+exp(g(x)/x)=1
Calculer g'(1)
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[invite8be57c24]

Supposons que ce a>0 existe alors,

Tu peux expliciter ta fonction de la sorte :

Poses
Ton équation devient :

En dérivant tu trouves :

C'est à variable séparable donc:

d'où :

Je pense que c'est l'idée !

A rendre rigoureux ..
@++ Bonne journée

[Médiat]

Montrer qu'il existe un nombre réel a>0 et une fontion g de ]1-a,1+a[ vers R de classe C1 vérifiant g(1)=0 et telle que pour toutt x de ]1-a,1+a[ on a
logx+exp(g(x)/x)=1
Calculer g'(1)

Pourquoi se compliquer la vie, il est facile de calculer explicitement g(x), en faisant attention aux conditions sur x, ce qui permet de trouver très facilement une valeur pour a :
exp(g(x)/x) = 1 - lnx
condition sur x ...
g(x)/x = ln(1 - ln(x))
g(x) = x.ln(1 - ln(x))
...

[breukin]

C'est même pire que faire compliqué :
Haruspice, vous êtes parti de :
log(x)+exp(u(x)) = 1
pour arriver, en dérivant et intégrant, à :
e^u(x) = –ln(|x|)+C
donc avec une inconnue C.

Mais il suffisait de passer le membre à droite dans la première équation :
exp(u(x)) = 1–log(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1bce81c]

Merci bien à vos réponses, je vois très bien mnt

[invite8be57c24]

euh oui c'est vrai breukin...