1+x<=exp(x)

[invite1ae5c4cb]

Bonjours à tous, je sèche sur cette démonstration, pourriez-vous m'aider ?

1+x<=exp(x)
Merci beaucoup
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[invitea3eb043e]

Etudie la fonction exp(x) - x - 1

[invite1ae5c4cb]

Merci, ça marche très bien.
Je dois aussi montrer que Pn(a)=(1+a)(1+a²)...(1+a^n) est une fonction croissante, a>0 et n dans N*
Une idée ? Mercu beaucoup

[invitea3eb043e]

Ben calcule la dérivée ! C'est une somme de n termes tous positifs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1ae5c4cb]

ce n'est pas évident à dériver, ce n'est a+a²+...+a^n, c'est un peu plus compliquer. Avez-vous une technique particulière pour dérivée ce produit ou cette somme ? Merci

[invitee625533c]

oui c'est plus compliqué, il y a une formule de dérivation (dite de Leibnitz je crois) identique à la formule de binôme.

Sinon tu peux éviter la dérivation en utilisant le fait suivant
si 0<x<y et si 0<z<t, alors xz<yt

tu peux appliquer ça pour montrer P(a) < P(b) si on suppose a < b.

[invite1ae5c4cb]

Merci, je vais essayer. Après je dois montrer que Pn(a)<exp[a*(1-a^n)/(1-a)]
or on a montrer que exp(x)=>x+1, d'où exp(x)>x
on en déduit qu'il suffit de montrer que Pn(a)<a*(1-a^n)/(1-a)
ce qui ressemble beaucoup a la somme de produit ... Il se peut que la formule de leibniz m'aide ?

[invitee625533c]

Une autre méthode consiste à dériver et montrer que c'est positif.

et comme on a le résultat.

[invite1ae5c4cb]

Mais on a encore le problème de la dérivée non ?

[invitea3eb043e]

Compliqué tout ça !
La dérivée, c'est la dérivée d'un produit :
P'(a) = (1 + a²)..(1+a^n) + 2a (1+a)..(1+a^n) + ...
et tout est positif.

[invitee625533c]

Je ne sais pas s'il y a olus simple
Comme on a

Tu aplliques ça à puis tu utilises la somme des termes d'une suite géométrique.

[invitee625533c]

Mais on a encore le problème de la dérivée non ?

non puisqu'on dérivera une somme au lieu d'un produit.

[invite1ae5c4cb]

Merci pour votre aide !

[invitee625533c]

Compliqué tout ça !
La dérivée, c'est la dérivée d'un produit :
P'(a) = (1 + a²)..(1+a^n) + 2a (1+a)..(1+a^n) + ...
et tout est positif.

Non c'est plus compliqué je crois que ça, exemple:

(uvw)'=2u'v'w+2u'vw'+2uv'w'+u" vw+uv"w+uvw"

[invitea3eb043e]

Pourquoi faire intervenir des dérivées secondes ? On en est à la dérivée première, non ?

[invitee625533c]

Pourquoi faire intervenir des dérivées secondes ? On en est à la dérivée première, non ?

t'as tout à fait raison (j'ai dérivé deux fois) et donc ta méthode est tout à fait valable.

[invite7cd6668c]

Par définition de l'exponentielle on a :

exp(x) = somme(n=0 ... n=infini)( (x^n)/ n! )
On déduit donc ton inégalité