Modélisation avancée du frottement sur une boule de billard

[invite9bbee63d]

Bonjour.
Je vous préviens avant que vous lisiez ce post : il est très long!!

Je suis en MP* et je fais un T.I.P.E sur le billard. Plus précisément le but est de décrire le comportement de la boule sur le tapis (je ne m'occupe pas des chocs avec les autres boules, la queue, ou les bandes).

Je suppose bien sûr que la boule est parfaite et qu'elle est totalement indéformable.
Dans une première partie je modélise le tapis par un plan indéformable. Le contact boule-tapis est donc ponctuel. Les résultats sont assez faciles à obtenir (si on a bien appris son cours), et en supposant (mais sans le justifier) qu'il y a une résistance au roulement Lambda * R, où R est la réaction normale tapis->boule, on trouve une décélération constante. Le résultat s'accorde assez bien avec l'expérience (pour des vitesses assez faibles et si l'on prend en compte la marge d'erreur, qui est d'au moins 15\% à 20\% ).
Ce sont des résultats assez classiques, me semble-t-il.

La partie intéressante du T.I.P.E est la seconde. Mais c'est celle qui pose problème.
Je me propose de trouver une seconde modélisation, plus fine et plus approfondie, qui soit plus proche de la réalité ou qui essaie de justifier la résistance au roulement introduite. Autant dire que ce n'est pas chose facile. J'ai déjà quelques idées et j'ai effectués quelques calculs, mais ce dont j'ai peur c'est que mes modélisations soient un peu farfelues...

La boule reste la même. C'est la modélisation du tapis qui change. Il devient déformable. il se creuse sous le poids de la boule. Dans un premier temps, pour simplifier, je suppose que la forme du tapis épouse exactement celle de la boule (ce qui n'est pas vrai en réalité). La boule reste toujours à la même hauteur (c'est-à-dire que la profondeur dont elle s'enfonce dans le tapis est constante).
tapis.jpg

L'idée est d'appliquer la loi de Coulomb sur le frottement en chaque point de la surface de contact. Pour cela, je définis une pression de contact p, uniforme (ce qui est encore faux bien sûr). La force de réaction normale surfacique est p*N où N est le vecteur normal unitaire (en un point donné). La force de frottement locale est f*p*U, où f est le coefficient de frottement (constant), et U le vecteur unitaire opposé à la vitesse de glissement. J'intègre tout ça et ça me donne (en théorie) la réaction normale globale et l'analogue de la force de frottement, opposée au mouvement du centre de gravité. Le hic, c'est que l'expression de la vitesse de glissement est compliquée, et quand il faut la normaliser puis l'intégrer...ça devient ingérable. Bref, j'ai laissé tourner Maple 5 heures dessus et puis j'ai arrêté le calcul voyant que ça ne donnerait rien. En introduisant une hypothèse simplificatrice qui correspond à l'absence de glissement dans la première modélisation, le calcul se simplifie énormément et Maple le fait tout de suite. Le résultat : décélération constante... Yipie! Ca permettrait de justifier les calculs de la première partie. Le seul souci, c'est qu'en appliquant le théorème du moment cinétique, je démontre que si l'hypothèse simplificatrice est vraie à t, elle ne peut pas l'être à t + dt. Donc tout est faux .

De toute façon, on savait à l'avance que les hypothèses (façon dont le tapis se déforme et uniformité de p) ne pouvaient pas correspondre à la réalité. Je peux donc jouer là-dessus, par exemple en supposant que le tapis ne se relève pas tout de suite après le passage de la boule, et en prenant une pression plus forte à l'avant qu'à l'arrière. J'ai pensé pour ça prendre une pression qui soit en un point fonction linéaire de la vitesse de ce point (ça sort tout droit de mon imagination, encore que je peux inventer des moyens de le justifier).
tapis 2.jpg

Enfin vient ma question (bravo aux courageux qui ont tenu jusque là!!)
Je voudrais savoir ce que vous pensez de tout cela. Si ça n'est pas trop farfelu. Je me demande si ça a vraiment un sens d'appliquer en tout point de contact la loi de Coulomb sur la résistance au glissement pour justifier d'une certaine manière la résistance au roulement (toujours la loi de Coulomb). Le frottement est une question très difficile. Je sais bien que je n'arriverai pas à une modélisation satisfaisante (sinon Michelin ne dépenserait pas autant d'argent dans les études du frottement pneu/route), mais j'aimerais faire quelque chose qui ait un peu de cohérence pour que ça ne fasse pas ridicule quand je vais expliquer ça aux examinateurs.
Est-ce que certains d'entre vous s'y connaissent bien sur le frottement et sauraient me dire ce que ma modélisation vaut, comment l'améliorer (ou en faire une tout à fait différente), et éventuellement m'expliquer comment on peut rendre compte du frottement de manière un peu plus sophistiquée que la loi de Coulomb (si c'est possible), mais sans que ça soit du bac +5 (je demande sûrement trop, non?).

Merci d'avance (et merci d'avoir lu jusqu'au bout)!!
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[invitea3eb043e]

Il paraît évident que sur un plan, la résistance au roulement est plus forte quand le sol est mou que quand il est dur. Il est bien plus pénible de faire rouler un vélo dans du sable que sur une route bien lisse.
Cela suggère que la résistance au roulement est liée à l'écrasement du sol qui consomme de l'énergie, énergie qui n'est pas restituée quand la sphère est passée parce que la déformation est plastique et non purement élastique.
C'est plutôt là qu'il faudrait chercher, ce n'est pas simple car il faut modéliser la relation pression-déformation du tapis.

[invite9bbee63d]

Merci de ton aide.

Effectivement, après réflexion j'ai pensé me lancer plutôt sur la piste de cette relation déformation-pression. Donc tu confirmes ce que je pensais. Comme la mécanique des milieux continus n'est pas au programme de MP, je ne connais pas trop le domaine. Mais un prof de méca m'a passé un bouquin qui devrait me donner quelques bases. Je pense utiliser la loi de Hooke pour obtenir une relation linéaire entre la contrainte (ou la pression exercée en retour) et la déformation.

Deux problèmes se posent. Si je fais ça, je suppose que le comportement est élastique, ce qui n'est pas tout à fait vrai (ou peut-être pas du tout?) puisque apparemment, comme tu dis c'est la plasticité qui est (au moins en partie) à l'origine du frottement. Mais si j'ai bien compris, dans le domaine de plasticité d'un matériau, la courbe entre déformation et contrainte est totalement expérimentale. Or je n'ai aucun moyen d'établir cette courbe (pas le matériel suffisant). Et les fabricants n'effectuent pas ce test qui n'a aucun intérêt pour le joueur de billard.
En bref la seule chose que je puisse faire c'est de supposer dans un premier temps le comportement élastique, puis à partir de là déformer un peu la relation pour tenir compte du défaut d'élasticité. Autant dire qu'on marche un peu dans le brouillard.
Il y aurait une possibilité qui serait de supposer le comportement élastique mais différent pour la compression et pour la détente (je sais pas si c'est ce mot qu'on utilise).
Ou sinon, mais encore une fois c'est peut-être farfelu, est-ce que tu crois que je pourrais admettre un comportement élastique, mais avec une surface de contact qui soit plus faible à l'arrière qu'à l'avant ? Je justifierais ça en disant que le tapis ne se remet pas dans sa position normale aussi vite qu'il se compresse (une manière de simplifier le problème pour obtenir à peu près le même résultat). D'où une dissymétrie dans la réaction qui admet alors une composante horizontale dirigée vers l'arrière et freine la boule.

Autre question. Comment prendre la déformation? J'ai pensé d'abord considérer la profondeur d'enfoncement du tapis en chaque point. Mais est-ce que c'est pas un peu trop simplifié, voire faux?

Je te remercie si tu as le temps de répondre (ou une autre personne).

[invite16a0720a]

Je doute que la plasticité (une déformation irréversible, par définition) soit le phénomène qui soit à l'origine de l'absortion de l'énergie. Oubliez la plasticité: l'écroïssage est nul dans le cas du mouvement d'une boule de billard!
Un modèle visco-élastique est infiniment moins discutable. Si vous ne me croyez pas, calculez l'énergie qu'il y a dans un coup, et imaginez que cette énergie sert à "écraser" de manière définitive la surface de contact. Le tapis ne vit pas longtemps.

Mon conseil d'ingénieur en mécanique:
Surtout ne parlez plus de plasticité.
Pour le contact, passe par le théorie de Hertz.
La loi de Hooke dans ce cas-ci, c'est une presse de 500t pour écraser un moustique: c'est un peu costaud... et je je vois pas l'utilité.

Pour aller plus loin (mais ce ne sont que des propositions, dont je n'ai pas évalué l'intéret):
Pour la modélisation, regarde du coté de roulements à billes, ou des laminoirs: ils étudient comment les frottements sont répartis. Tu constateras que la déformation de la table va faire en sorte le point de contact boule/table se déplace vers l'avant de la boule: le travail de la force de réaction devient alors non nul, et contraire à l'avancement. Pour justifier ce déplacement du point de contact, tu peux invoquer soit un "aspect visqueux" du tissu qui ne remonte pas immédiatement à sa position initiale aprés le passage de la boule soit, si tu es courageux, partir du frottement tissu/table, et dire que la boule crée un bourellet de tissu, dont le déplacement consomme une énergie qui est fonction du frottement tissu/table (comme un fluide en écoulement laminaire)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Que ce soit de la viscoélasticité ou un module élastique différent devant et derrière ou un point d'application décalé, dans tous les cas, le résultat sera le même : de l'énergie pompée devant et pas restituée derrière. Tout ça mérite d'être essayé.
A priori, le plus simple est le mieux.

[invitec215aece]

Je vois qu'il est fait mention d'une partie expérimentale.
Est-il ridicule de prendre en compte les frottements de l'air?

[invitea3eb043e]

Je vois qu'il est fait mention d'une partie expérimentale.
Est-il ridicule de prendre en compte les frottements de l'air?

Je dirais que ce n'est pas nécessaire et que les frottements du tapis sont introduits intentionnellement, sinon on jouerait sur une plaque d'ardoise. Cet amortissement permet de mieux contrôler les coups en évitant les rebonds trop nombreux et anarchiques.

[invite9bbee63d]

Je vous remercie de votre aide Jeanpaul et borvan53. Maintenant j'ai une meilleure idée de là où je dois chercher, et ça devrait être plus facile de terminer mon T.I.P.E (je prendrai sûrement le plus simple vu qu'un T.I.P.E n'est quand même pas une thèse).

Pour les frottements de l'air, ils sont réellement négligeables. Qu'on me dise si je me trompe, mais pour une boule de pool anglais (diamètre 5 cm) le coefficient de frottement fluide dans l'air est de l'ordre de 10^(-5) kg/s. Sachant que je m'intéresse à des plages de vitesses de la boule situées entre 0 et 0,5 m.s-1 (au-delà la précision est catastrophique car sur chaque image de la vidéo la boule est déformée), cela signifie que le module de la force de frottement fluide est inférieur à 5.10^(-6) N. Or la décélération trouvée expérimentalement est de l'ordre de 70-100 mm/s^2. La boule pèse 114g +/- 1g. Donc le module de la résultante des forces qui freinent la boule est supérieur à 8.10^(-3)N. C'est plus de 1000 fois supérieur à la force de frottement fluide. Etant donné, en plus, que la marge d'erreur dans les mesures est d'au moins 15% à 20%, autant dire que l'on peut oublier les frottements de l'air.

Bien sûr, si l'on prend un tel tapis pour les tables de billard, c'est pour provoquer les frottements (pas trop quand même sinon la boule s'arrête trop vite). Si l'on jouait au billard sur une surface lisse, on pourrait dire adieu à tous les effets : massé, coulé, rétro...