Calcul des paramètres kepleriens

[invite391b927d]

Hello,

Est-il possible de calculer toutes les caractéristiques de la conique keplerienne d'un objet céleste (excentricité, paramètre, période de révolution) en ne possédant que sa position et sa vitesse à un seul instant t ? Ou bien doit-on attendre qu'il ait accompli une révolution complète ?

Merci pour vos réponses.
Cordialement
Hervé
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[Gilgamesh]

Hello,

Est-il possible de calculer toutes les caractéristiques de la conique keplerienne d'un objet céleste (excentricité, paramètre, période de révolution) en ne possédant que sa position et sa vitesse à un seul instant t ?

Oui, mais avec un précision qui sera d'autant meilleure que l'observation est longue.

On se base sur la 2e loi de Kepler d'égalité des aires :



Le vecteur vitesse et la position permettent de déterminer l'aire balayée par unité de temps par le segment reliant l'objet au corps central et on peut déterminer le reste de l'orbite en posant que cette quantité est constante.

a+

[invite391b927d]

Quelle méthode utilise-t-on ?
Le moment cinétique L est bien une constante (2ème loi de Kepler) et on peut espérer calculer le paramètre p de l'ellipse par la formule avec . Encore faut-il connaître les masses de l'étoile et de la planète, ce qui n'est pas le cas dans mon problème.
Quant à calculer l'excentricité e, par exemple avec la formule , où est l'énergie mécanique totale, ne connaissant pas cette dernière et ne connaissant pas les masses, c'est impossible.
Alors comment fait-on pour estimer e,p et la période de révolution T comme tu le décris ? Que veut dire en pratique "précision d'autant meilleure" et "observation plus longue" ? Quels calculs sont fait en réalité pour obtenir e, p et T ?

Cordialement
Hervé

[Gilgamesh]

Imaginons que tu puisse mesurer une variation de l'angle orbital , un rayon polaire et une variation de ce rayon pendant un temps .

Tu as ton moment L, première constante dynamique du système (loi des aires).



La formule de Binet te permet de calculer l'accélération à partir de la dérivée seconde de la variation de l'inverse du rayon polaire en fonction de l'angle :



Celle ci te permet de calculer le constante de gravitation de ton système où M est la masse de ton corps central, que l'on suppose très supérieure à celle du mobile (cas d'une planète autours d'une étoile).



et ensuite tu obtient le paramètre de ton ellipse :



et d'autre part :



Il me semble que tu as tout...

a+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite391b927d]

Merci pour cette démonstration très claire. Donc va pour le paramètre p.
Mais quid de e qui permettra de calculer le demi grand axe, et donc la période de révolution ? Sans lui on ne peut pas grand chose. Comment est-il déterminé ?

A vous lire
Cordialement
Hervé

[invite391b927d]

A priori le découvreur d'exoplanète ne connais pas l'angle . Il peut donc estimer par la connaissance de p et r, mais comment connaître e sans connaître ?

[Gilgamesh]

A priori le découvreur d'exoplanète ne connais pas l'angle . Il peut donc estimer par la connaissance de p et r, mais comment connaître e sans connaître ?

Tu commence ta mesure en et tu fixes ton système de coordonnées polaire tel que . Au temps t tu relèves la variation de l'angle et c'est cette valeur que tu utilises dans les calculs.

Pleins de formules ici pour tripatouiller les données dans tous les sens :

Guide de localisation des astres


a+

[invite391b927d]

Ca me parait un peu obscur ton histoire ... Tripatouillage est bien le mot
Je vais jeter un coup d'oeil sur ce bouquin mais je retiens qu'aucune solution analytique ne semble exister, seulemenrt des approximations tripatouillées.
Merci à toi.
Hervé

[Gilgamesh]

Le tripatouillage c'est plus parce qu'il y'a des dizaines de formules de calculs différentes pour relier un paramètre orbital à un autre. Mais autrement, c'est mathématiquement rigoureux.

Essaye de te concocter un exemple (avec des valeur theta et r quelconques réelles, pris sur un astre donné du système solaire) pour voir si tu retombes après calculs sur les bon paramètre orbitaux, mais il me semble que le problème n'est pas sous déterminé.

a+

[invite391b927d]

Justement, j'y travaille depuis déjà un bon moment et à ma connaissance le calcul des caractéristiques de l'ellipse ne peuvent être déterminées que si la planète passe par des points caractéristique (minimum ou maximum de son rayon par exemple). Il est donc nécessaire d'attendre le passage par ces points pour connaître exactement e, p et T.
Il se trouve cependant que les coniquees kepleriennes possèdent une propriété remarquable, que j'ai déjà exposée dans ce forum, et cette propriété géométrique permet un calcul analytique des charactéristiques (e, p et T) de façon immédiate. Mes tests sur les planètes du système solaire sont tous probants. Je mettrai bientôt en ligne un calculateur qui illustre cela.
Cordialement
Hervé