Chaos et méthodes de calculs approchées

[invite8e1da4df]

Bonsoir,

ça fait un moment que je cogite sur la notion de systèmes chaotiques et ce n'est pas encore très clair dans ma tête. D'après ce que j'ai compris un système chaotique se caractérise par sa sensibilité aux conditions initiales et l'impossibilité de prévoir l'état du système au bout d'un certain temps: pour des conditions initiales aussi voisines que l'on veut si l'on attend assez longtemps on observe une divergence de plus en plus importante. Mais j'ai l'impression que ce phénomène est du à la méthode de calculs employée et non à la nature intrinsèque du système. Si on utilise une méthode de calculs approchée, par exemple une méthode de calculs à pas est-ce qu'on est pas forcé d'accumuler les erreurs à chaque itération et donc de ne plus être en mesure de prévoir le comportement du système au bout d'un certain temps? Je veux dire même si je considère un système très simple dont je connais une solution analytique si au lieu d'utiliser la solution exacte j'utilise une méthode de calculs approchée, est-ce que je ne vais pas aussi avoir une sensibilité aux conditions initiales et un écart avec la réalité croissant??

J'espère que je suis à peu compréhensible et que quelqu'un sera en mesure de m'éclairer ^^"
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[Deedee81]

Salut,

pour des conditions initiales aussi voisines que l'on veut si l'on attend assez longtemps on observe une divergence de plus en plus importante. Mais j'ai l'impression que ce phénomène est du à la méthode de calculs employée et non à la nature intrinsèque du système. Si on utilise une méthode de calculs approchée, par exemple une méthode de calculs à pas est-ce qu'on est pas forcé d'accumuler les erreurs à chaque itération et donc de ne plus être en mesure de prévoir le comportement du système au bout d'un certain temps? Je veux dire même si je considère un système très simple dont je connais une solution analytique si au lieu d'utiliser la solution exacte j'utilise une méthode de calculs approchée, est-ce que je ne vais pas aussi avoir une sensibilité aux conditions initiales et un écart avec la réalité croissant??

Les petites erreurs sont en effet toujours omniprésentes. Quelles soient mathématiques (dues à la méthode de calcul, je suis d'ailleurs déjà tombé sur des divergences à cause de ça dans du calcul numérique) ou qu'elles soient physiques (petites fluctuations, par exemple d'origine thermique ou dues aux détails non pris en compte).

Mais la divergence "chaotique" est bien de nature intrinsèque.

Pour un système quelconque non chaotique, quel que soit l'écart des conditions initiales, on a toujours un écart à la fin. Celui-ci va grandir linéairement ou même se stabiliser (par exemple, deux cycles très proches). Les petites erreurs vont juste légèrement amplifier ça ou provoquer une dérive au cours du temps. Avec un système chaotique, même avec des erreurs infimes ou nulles, la divergence est énorme.

Un moyen de s'en rendre compte est de tracer la trajectoire du système dans l'espace des phases et de regarder les attracteurs. C'est-à-dire les lieux où les trajectoires ont tendance à converger : points fixes, cycles,... Dans le cas des systèmes chaotiques, l'attracteur à une structure complexe, fractale. On parle d'attracteurs étranges.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Attracteur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_du_chaos

Les petits erreurs numériques (du moins si elles ne sont pas trop fortes ou ne provoquent pas une déstabilisation d'origine purement numérique, phénomène souvent difficile à maîtriser) sont donc utiles car elles "simulent" de petits écarts physiques et on voit ainsi aisément si cela entraine de fort écarts ou pas dans les résultats.

[invite8e1da4df]

Je crois que j'ai saisi merci ^^