Au Centre d'une planète tellurique...

[noir_ecaille]

Bonjour,


Petite expérience de pensée : on prend une planète tellurique façon earth-like, qu'on perfore d'un tunnel dans son diamètre équatorial et un autre de pôle à pôle.

Si on jette une bille de cuivre de 50 g depuis l'un des pôles, va-t-elle ressortir de l'autre côté ?
Même chose mais à l'équateur cette fois.

Enfin, si on se place au centre de cette planète, est-ce qu'on peut marche "au plafond" ou bien flotte-on au milieu de la cavité comme si on était en apesanteur orbitale ?


En vous remerciant pour vos éclaircissements
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[Amanuensis]

Petite expérience de pensée : on prend une planète tellurique façon earth-like, qu'on perfore d'un tunnel dans son diamètre équatorial et un autre de pôle à pôle.

Si on jette une bille de cuivre de 50 g depuis l'un des pôles, va-t-elle ressortir de l'autre côté ?
Même chose mais à l'équateur cette fois.

En première approximation et en supposant l'absence de frottement (énergie conservée), la réponse est oui. La masse test ira régulièrement d'un point à l'autre, comme un pendule, avec une période de l'ordre d'une heure et demi en supposant un départ à vitesse nulle (point amusant : c'est la même valeur que l'orbite circulaire rasant la surface ; tourner autour va aussi vite que passer à travers...).

Enfin, si on se place au centre de cette planète, est-ce qu'on peut marche "au plafond" ou bien flotte-on au milieu de la cavité comme si on était en apesanteur orbitale ?

En première approximation, on flotte.

[noir_ecaille]

Il n'y a pas de différence qu'on jette la masse test depuis les pôles (rotation nulle) ou depuis l'équateur (rotation d'un tour par 24h) ?
J'aurais pensé qu'à l'équateur on bénéficie d'un effet de "fronde" par les parois + la rotation plantaire.

Amusant cette histoire de durée d'orbite rasante et de passage par le centre planétaire

En première approximation, on flotte.

J'aurais tendance à imaginer la même chose bien que je n'ai aucune base pour corréler ça. J'ai un doute : l'attraction des roches étant "la même" en tout point de la grotte, on peut penser qu'on flotte. Mais justement : ne va-t-on pas plutôt être attiré par la paroi la plus proche en premier lieu ?

[noir_ecaille]

PS : Comment on calcule pour savoir si la masse test va ressortir et en combien de temps elle effectue le trajet ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Pour les calculs : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.../earthole.html, par exemple (en anglais, désolé).

Par ailleurs j'ai oublié de préciser que c'est pôle à pôle, ou à rotation nulle ; pour l'équateur et rotation, ça peut pas aller droit, faut un tunnel un peu bizarre...

[noir_ecaille]

J'imagine le tunnel "bizarre" ^^

Donc à l'équateur est-ce que la bille a une chance de ressortir ou bien, la rotation aidant, on finit par avoir des heurts contre la paroi qui ralentissent suffisamment la bille de telle sorte qu'elle ne peut ressortir par la "seule" énergie conservé de sa chute ?

Et avec le tunnel "bizarre", la bille se comporterait comment ?

[Garion]

Au pôle la bille n'arrivera pas à ressortir car les frottements de l'air la ralentiront largement trop.
A l'équateur, ça devrait être pareil.
Au centre, on flotte.

[invitef5c49257]

Donc à l'équateur est-ce que la bille a une chance de ressortir ou bien, la rotation aidant, on finit par avoir des heurts contre la paroi qui ralentissent suffisamment la bille de telle sorte qu'elle ne peut ressortir par la "seule" énergie conservé de sa chute ?

Tout dépend du diamètre du trou, mais j'aurais tendance à dire que la rotation de la terre n'a aucun effet, la rotation est trop lente pour une chute d'1 heure 30. Et si cela avait un effet, la bille serait entraînée dans la rotation de la terre quand on la lâche, au même titre que l'atmosphère tourne en même temps que la terre, du coup elle ne heurterais pas les parois.

Cordialement.

[Amanuensis]

Donc à l'équateur est-ce que la bille a une chance de ressortir ou bien, la rotation aidant, on finit par avoir des heurts contre la paroi qui ralentissent suffisamment la bille de telle sorte qu'elle ne peut ressortir par la "seule" énergie conservé de sa chute ?

Avec un tunnel étroit et tout droit, la bille touchera la paroi, et même très vite. Prenons le point médian, à 3200 km de profondeur. L'accélération moyenne aura été d'environ 7 m/s², la durée de vol aura été de l'ordre de 16 minutes, disons 1/100 de journée. Un point de la Terre à cette profondeur fait 20000 km par jour dans le référentiel géocentrique, d'où un écart de l'ordre de 200 km !

Et avec le tunnel "bizarre", la bille se comporterait comment ?

On peut dessiner un tunnel pour un aller simple qui amène exactement au point antipodal et de manière que la bille ne touche pas la paroi. En partant à vitesse verticale nulle (mais avec une vitesse tangentielle non nulle) la bille arriverait de l'autre côté "normalement" à vitesse verticale nulle, avec la même durée de trajet.

[invite80fcb52e]

Tout simplement à l'équateur la force de Coriolis va faire dévier la bille, mais pas aux pôles!!

[stefjm]

En première approximation et en supposant l'absence de frottement (énergie conservée), la réponse est oui. La masse test ira régulièrement d'un point à l'autre, comme un pendule, avec une période de l'ordre d'une heure et demi en supposant un départ à vitesse nulle (point amusant : c'est la même valeur que l'orbite circulaire rasant la surface ; tourner autour va aussi vite que passer à travers...).

Cela confirme-t-il la valeur de en distance et en vitesse moyenne?

[Amanuensis]

Cela confirme-t-il la valeur de en distance et en vitesse moyenne?[/TEX]

Je ne comprends pas la question. Oui le rapport des distances parcourues et le rapport des vitesses moyennes sont pi, mais ?

[noir_ecaille]

Si je comprends à peu près... On va poser comme hypothèse supplémentaire que la bille va être lâchée tout droit dans son tunnel qui aura une taille acceptable genre 10 mètres de diamètre pour être à l'aise.

1°) D'un pôle à l'autre la bille joue les pendules si on néglige les frottements dus à l'air et si on ne les néglige pas, elle finit ses allers-retours sans ressortir pour finir par flotter au centre.

2°) A l'équateur dans un tunnel rectiligne d'un seul tenant, la bille est finalement déviée par la rotation planétaire, rebondit au fil de sa chute et n'arrive pas à ressortir à l'autre bout, qu'on néglige ou non la force de frottement de l'air.

3°) A l'équateur dans un tunnel de forme bizarre de telle sorte que la bille chute sans toucher les parois, on a un cas à peu près similaire au 1°) sauf que le tunnel qui passe par le centre de la planète ne fait pas la même longueur. Est-ce qu'elle ressort vraiment et pour une circonférence de 40 000 km, de combien de pourcent ce tunnel est plus long que celui du 2°) ?


Question idiote : comment ça se passe dans les trois cas avec une planète bêta moins dense que cette planète alpha earth-like ? Et avec une planète gamma plus dense que la planète alpha ? Toute dimensions et masses étant par ailleurs conservées... J'ai l'impression que la variation de densité (donc de gravité) y changerait peu de choses -- vrai ou faux ?

[noir_ecaille]

Si je comprends à peu près... On va poser comme hypothèse supplémentaire que la bille va être lâchée tout droit dans son tunnel qui aura une taille acceptable genre 10 mètres de diamètre pour être à l'aise.

1°) D'un pôle à l'autre la bille joue les pendules si on néglige les frottements dus à l'air et si on ne les néglige pas, elle finit ses allers-retours sans ressortir pour finir par flotter au centre.

2°) A l'équateur dans un tunnel rectiligne d'un seul tenant, la bille est finalement déviée par la rotation planétaire, rebondit au fil de sa chute et n'arrive pas à ressortir à l'autre bout, qu'on néglige ou non la force de frottement de l'air.

3°) A l'équateur dans un tunnel de forme bizarre de telle sorte que la bille chute sans toucher les parois, on a un cas à peu près similaire au 1°) sauf que le tunnel qui passe par le centre de la planète ne fait pas la même longueur. Est-ce qu'elle ressort vraiment et pour une circonférence de 40 000 km, de combien de pourcent ce tunnel est plus long que celui du 2°) ?

[Amanuensis]

1°) D'un pôle à l'autre la bille joue les pendules si on néglige les frottements dus à l'air et si on ne les néglige pas, elle finit ses allers-retours sans ressortir pour finir par flotter au centre.

Oui

2°) A l'équateur dans un tunnel rectiligne d'un seul tenant, la bille est finalement déviée par la rotation planétaire, rebondit au fil de sa chute et n'arrive pas à ressortir à l'autre bout, qu'on néglige ou non la force de frottement de l'air.

Oui

3°) A l'équateur dans un tunnel de forme bizarre de telle sorte que la bille chute sans toucher les parois, on a un cas à peu près similaire au 1°) sauf que le tunnel qui passe par le centre de la planète ne fait pas la même longueur.

Il me semble qu'il ne passe pas au centre. Sinon, oui.

(Et le tunnel de retour n'est pas le même que celui de l'aller...)

Est-ce qu'elle ressort vraiment

Oui (cause conservation de l'énergie).

et pour une circonférence de 40 000 km, de combien de pourcent ce tunnel est plus long que celui du 2°) ?

Je ne sais pas, faudrait calculer la courbe. La déviation sera de l'ordre de quelques centaines de km, l'allongement seulement de quelques kilomètres, donc peut-être 1 pour mille de plus, j'imagine.

[noir_ecaille]

Si on veut que ça ressorte aux antipodes, le tunnel ne peut pas passer par le centre planétaire ?

Je suppose que le deuxième tunnel donnerait à l'ensemble la forme d'une sorte de huit... ou pas ?

Si dans le cas des antipodes on ne peut pas passer par le centre planétaire, quelle forme aurait ce tunnel ?
Et "où" ressort la bille si on passait par le centre planétaire ?

[Amanuensis]

Si on veut que ça ressorte aux antipodes, le tunnel ne peut pas passer par le centre planétaire ?

La rotation fait que la descente se dévie de la radiale toujours dans le même sens, il me semble. La remontée est déviée dans l'autre sens. La déviation sera maximale près du centre, ça ne passe pas au centre. À vérifier.

Je suppose que le deuxième tunnel donnerait à l'ensemble la forme d'une sorte de huit... ou pas ?

Plutôt une sorte d'ellipse, toujours à vérifier.

Et "où" ressort la bille si on passait par le centre planétaire ?

Bonne question. Il doit bien y avoir un moyen de passer par le centre ? J'imagine qu'on ressort assez loin de l'antipode !

[Je pense savoir faire le calcul de tout ça, mais c'est un peu long...]

[noir_ecaille]

En gros on est en rotation elliptique autour du centre planétaire

[Je pense savoir faire le calcul de tout ça, mais c'est un peu long...]

J'imagine ^^;