Vitesse "propre"

invitee6f0086a · 01/06/2012, 20h09

Envoyé par arxiv

Pour compléter Gilgamesh il est bon de savoir qu'une fusée quel que soit sa propulsion, ne peut accélérer au delà de la vitesse d'éjection de ses gaz ! Donc on a grosso modo (eh oui Gilgamesh) 4000 m.s^-1 pour du chimique et 10 000 m.s^-1 pour du ionique mais on peut aller au delà avec notamment la fission, la fusion thermonucléaire ou l'antimatière (le must du fun) !

J’ai un peu de mal à comprendre, cela veut-il dire que si j’ai une propulsion chimique, je ne pourrais plus accélérer et dépasser les 4000 m.s^-1 ?

Si oui ! comment « le phénomène physique » qui interdit de dépasser cette vitesse, sait-il qu’entre deux amas, il va à cette vitesse ?

**Amanuensis** · 01/06/2012, 20h28

Envoyé par daniel100

J’ai un peu de mal à comprendre, cela veut-il dire que si j’ai une propulsion chimique, je ne pourrais plus accélérer et dépasser les 4000 m.s^-1 ?

C'est un problème de quantité de mouvement. Faut emmener la masse qu'on va "éjecter" derrière, et ce qu'on éjecte a dû être accéléré avec le vaisseau avant même de servir à quelque chose. Quand on prend tout ça en compte, ça fait une vitesse limite, dépendant de l'énergie libérable par unité de masse (et c'est pas terrible en chimique).

En gros, à 4000 m/s (par rapport à son point de départ), le vaisseau a tout éjecté sa masse, il est donc de masse nulle...

invitee6f0086a · 01/06/2012, 20h48

Envoyé par Amanuensis

…et ce qu'on éjecte a dû être accéléré avec le vaisseau avant même de servir à quelque chose.

Heu ! peut-être avec un ptit exemple pour comprendre cela.

Envoyé par Amanuensis

En gros, à 4000 m/s (par rapport à son point de départ), le vaisseau a tout éjecté sa masse, il est donc de masse nulle...

En vert : comment entre deux amas, définir un point de départ ?

En rouge : il n’y a pas que le vaisseau qui est paumé entre deux amas

**Amanuensis** · 01/06/2012, 21h22

Le vaisseau part de son point de départ, à vitesse nulle par rapport à son point de départ.

Imaginons qu'il accélère par à-coups et qu'il démarre avec 1000 kg à éjecter pour accélérer. De par la conservation de la quantité de mouvement, il ne peut pas accélérer sans éjecter une partie de sa masse (en simplifiant, et c'est le cas en chimique).

Au premier coup, il éjecte 1 kg. Cela a servi a accélérer le vaisseau mais aussi les 999 kg de truc à éjecter qui seront utilisés plus tard. L'existence de ces 999 kg limite l'efficacité du premier kg éjecté si la vitesse d'éjection (relative au vaisseau) est fixe.

Le deuxième kg sera un peu plus efficace, ayant 1 kg de moins à accélérer.

Etc. Si on intègre tous ces calculs, on trouve une relation entre la vitesse d'éjection relative au vaisseau et la vitesse qu'on a réussi à atteindre par rapport au point de départ une fois éjecté tout ce qu'on avait emmené à éjecter.

La vitesse maximale est celle quand on finit avec une masse nulle, pas terrible. En pratique, on veut obtenir une masse non nulle accélérée à la fin. La vitesse limite ne sera pas atteinte, on s'en approche d'autant plus que le rapport masse utile / masse éjectée est plus grand. Mais on aura beau ajouter de la masse à éjecter, faudra bien l'emporter et son inertie au début ruinera la plus grande partie du gain d'une poussée plus longue, et il y a une vitesse limite dépendant de la vitesse d'éjection et donc du mode de propulsion.

C'est de cela que parlait Arxiv, sauf erreur de ma part.

invitee6f0086a · 01/06/2012, 21h44

Voilà qui est plus claire, merci !

**Garion** · 02/06/2012, 00h48

Envoyé par arxiv

En fait c'est simple : plus c'est long et plus il faut de masse (éjectée ou propulseur, les 2 en fait), car pour atteindre des vitesses de l'ordre de celle de la lumière, il faut faire plusieurs fois le tour du cyclotron, donc on est limité, je pense quand même qu'un moteur magnétohydrodynamique attendrait les 45 000 m.s^-1 !

C'est surtout une question de puissance disponible, donnes moi en suffisamment, et avec un accélérateur de 1m de long, j'approche la vitesse de la lumière...

**Gilgamesh** · 02/06/2012, 01h59

Envoyé par arxiv

Pour compléter Gilgamesh il est bon de savoir qu'une fusée quel que soit sa propulsion, ne peut accélérer au delà de la vitesse d'éjection de ses gaz ! Donc on a grosso modo (eh oui Gilgamesh) 4000 m.s^-1 pour du chimique et 10 000 m.s^-1 pour du ionique mais on peut aller au delà avec notamment la fission, la fusion thermonucléaire ou l'antimatière (le must du fun) !

Alors si, en fait, la théorie n'offre pas de limite, le ratio du delta de vitesse obtenu sur la vitesse d'éjection est égal au logarithme naturel du ratio des masses initiales M0 et finales M.

$\text{[math]}$

Le log étant une fonction non bornée, rien n'interdit --si on en reste à la simple théorie-- d'atteindre la vitesse de la lumière en lançant des cailloux d'une main molle derrière soi. Il faudra juste s'assurer de disposer d'une masse de cailloux très supérieure à la masse de l'Univers évidemment.

En application numérique : si u = 1 m/s, delta v ~ c et M = 1 kg il faut un M0 = e^c kg (c en m/s) ce qui représente un poil beaucoup de matériaux.

La signification "avec les mains" du log a été exposé par Amanuensis : le carburant que l'on éjecte doit pour commencer accélerer la masse du carburant restant. Ça coûte d'autant plus cher que u (la vitesse d'éjection) est petite.

A noter pour être rigoureux que la formule de Tsiolkovsky a un domaine de validité classique, et non relativiste. Pour le domaine relativiste (disons pour dv/c>0,1) on a :

$\text{[math]}$

**Mailou75** · 03/06/2012, 04h06

Salut et merci pour vos réponses,

Envoyé par phys4

Nous en déduisons : $\text{[math]}$

Envoyé par Gilgamesh

$\text{[math]}$

Il semble que vous ayez fini par tomber d'accord

$\text{[math]}$

Pour l'énigme d'Amanuensis, être accéléré à 10m/s² pendant un an, je tente une explication...
La vitesse obtenue (environ c) est en effet la rapidité $\text{[math]}$ qui n'a d'autre sens physique dans le référentiel mobile que "subir g pendant un an"
Un voyageur n'a pas plus de vitesse par rapport au vaisseau que l'observateur immobile n'en a par rapport à la terre
Mais le vaisseau a une vitesse par rapport à la terre, de même qu'un observateur "ne subissant une gravité égale pendant un an" verrait un terrien s'éloigner
Si le terrien suppose que "rien ne se passe" pour lui, alors ne pas subir la gravité c'est être le voyageur

Un exemple pour a=0,5c/s (15 millions de g) au bout de 2 secondes on a :
$\text{[math]}$ =1,1 $\text{[math]}$ ∞, $\text{[math]}$ =v/c=0,8 $\text{[math]}$ 1, $\text{[math]}$ =1,66 $\text{[math]}$ ∞, $\text{[math]}$ =w/c=1,33 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ et z+1=3 $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$
Un voyageur subit une accélération constante a et acquiert une rapidité $\text{[math]}$ pouvant être mesurée par un observateur fixe z+1=3 donnant v, w, $\text{[math]}$ etc...
Un observateur sur une planète où la gravité est a acquiert une rapidité $\text{[math]}$ qui pourrait être mesurée par un autre observateur ne subissant pas a (personne en effet

)

Envoyé par Gilgamesh

Le log étant une fonction non bornée, rien n'interdit --si on en reste à la simple théorie-- d'atteindre la vitesse de la lumière en lançant des cailloux d'une main molle derrière soi. Il faudra juste s'assurer de disposer d'une masse de cailloux très supérieure à la masse de l'Univers évidemment.
En application numérique : si u = 1 m/s, delta v ~ c et M = 1 kg il faut un M0 = e^c kg (c en m/s) ce qui représente un poil beaucoup de matériaux.

Mo=1,68.10^130198210kg

C'est le paradoxe du petit poucet, à chaque fois qu'il jette un caillou, le caillou retombe dans son sac

Encore merci
Mailou

**Mailou75** · 07/06/2012, 04h10

La version complète :

Ça marche aussi pour les vitesses négatives

Un objet qui s'éloigne (v>0) est redshifté (z+1>1), un objet qui s'approche (v<0) est blueshifté (0<z+1<1)

**Zefram Cochrane** · 07/06/2012, 06h17

Bonjour,
je pensais avoir résolu l'énigme d'Amanuensis car l'équation de Newton c=at donne pour t= 1an une accélération a=9.5 donc il me paraît logique qu'en RR, vu que l'on ne peut dépasser c, toute accélération supérieure à 9.5 m/s² (proche de G) tendra vers c au bout d'un an.
L'explication n'a pas l'air d'avoir convaincu Amanuensis où j'ai mal compris l'énoncé de l'enigme.
Cordialement,
Zefram

**Amanuensis** · 07/06/2012, 08h22

Il n'y a pas d'énigme.

Ou si on veut, la réponse est que l'intégration de l'accélération propre n'a pas de sens physique en général, parce que ce n'est pas (en général) l'accélération-coordonnée par rapport à un référentiel unique.

(Le seul argument contre cette vue est qu'il existe un cas particulier, la RR avec accélération restant toujours dans la même direction, où il se trouve que le résultat de cette intégration a une valeur qui coïncide avec une quantité ayant un sens physique. Mais l'existence d'un cas particulier n'est pas une raison acceptable pour le généraliser !)

Maintenant, cela n'interdit à personne de faire des formules donnant cette quantité non physique, et de discourir dessus. On peut faire la même chose avec l'intégrale de t² fois le produit scalaire de la vitesse par le moment cinétique, exemple, volontairement, de n'importe quoi.

**Mailou75** · 07/06/2012, 20h11

Salut,

Envoyé par Zefram Cochrane

toute accélération supérieure à 9.5 m/s² (proche de G) tendra vers c au bout d'un an.

Non, sa rapidité ( $\text{[math]}$ ) sera égale à c, et au bout de deux ans 2c etc...
C'est l'équivalent en vitesse dans l'univers visible de l'observateur (v) qui tend vers c

Envoyé par Amanuensis

Maintenant, cela n'interdit à personne de faire des formules donnant cette quantité non physique, et de discourir dessus.

Si tu veux... la rapidité n'est qu'un intermédiaire de calcul entre les autres valeurs "mesurables" (v, w, $\text{[math]}$ et z+1)
Mais on ne peut nier qu'elles sont toutes équivalentes !

Pour l'exemple d'un voyageur qui subit a=10m/s² pendant un an
"Localement" $\text{[math]}$ =v/c, l'accélération est régulière du point de vue du voyageur
Au bout d'un an sa rapidité est $\text{[math]}$ =315.360.000/300.000.000=1.0512 (tendra vers l'infini)
Sa vitesse du point de vue de l'observateur fixe est donc v/c=tanh $\text{[math]}$ =0.782 (tendra vers c)
Mais v n'est pas plus "mesurable" que $\text{[math]}$ ...
Tout ce qu'on peut mesurer c'est z+1 (décalage spectral) ou w (distance observée/age observé compte tenu de $\text{[math]}$ )
Enfin je crois...

A+
Mailou

**Zefram Cochrane** · 08/06/2012, 23h16

Envoyé par phys4

Cette expression peut se simplifier en mettant le dénominateur en commun :
$\text{[math]}$

soit $\text{[math]}$

Dans la seconde partie la partie infinitésimale du dénominateur peut être supprimée.
Nous pouvons rapprocher cela de la dérivée par rapport à la rapidité :
$\text{[math]}$

Nous en déduisons : $\text{[math]}$

Il est exact qu'il faut prendre une direction d'accélération constante, le module peut suivre n'importe quelle fonction. Démonstration ci-dessus.

Bonsoir,
Je n'arrives toujours pas à comprendre quel sens physique donner à la rapidité $\text{[math]}$ ?
merci pour votre réponse.
Zefram

**phys4** · 09/06/2012, 00h06

Envoyé par Zefram Cochrane

Bonsoir,
Je n'arrives toujours pas à comprendre quel sens physique donner à la rapidité $\text{[math]}$ ?

Dans un message précédent, j'expliquais qu' un astronaute du futur pouvais donner trois interprétations à la vitesse. Ce sont 3 prolongements de la vitesse classique, je vais utiliser le graphique de Mailou du message 99 :
- la vitesse mesurée est la courbe bleue, c'est la vitesse pour un observateur du référentiel de base ou référentiel du laboratoire pour une particule.
- l'impulsion est la courbe rouge, c'est aussi la vitesse effective de l'astronaute car elle représente la distance de l'univers de départ parcouru à chaque seconde.
- enfin la rapidité serait la bissectrice dont nous avons vu qu'elle est l'intégrale de l'accélération subie.
Vous voyez que ces trois quantités se confondent à l'origine, pour la mécanique galiléenne elles sont proportionnelles et ne se séparent qu'en RR
Autres fonctions du même graphique, nous retrouvons :
- la courbe verte indique comment varie l'énergie totale
- la courbe violette est le coefficient Doppler.
Toutes ces quantités sont donc des fonctions élémentaires de la rapidité, qui constitue donc une variable de choix pour les calculs, dérivations et intégrations.
A vous de mesurer la signification centrale que cela lui donne.

**Zefram Cochrane** · 09/06/2012, 02h11

j'ai beaucoup de mal avec la géométrie hyperbolique, il faut que je travaille cela.
Que représente les axes sur le shéma de Mailou?

**Mailou75** · 09/06/2012, 05h21

Salut,

Envoyé par Zefram Cochrane

Bonsoir,
Je n'arrive toujours pas à comprendre quel sens physique donner à la rapidité $\text{[math]}$ ?
merci pour votre réponse.
Zefram

Pour le sens physique j'ai tenté une explication dans "l’énigme d'Amanuensis"

mais je ne suis pas entièrement convaincu...

Le graph permet surtout de se rendre compte de l'évolution des valeurs entre elles c'est assez parlant je trouve

Toutes ces valeurs sont équivalentes, on peut toutes les définir à partir de v (formules habituelles)
Mais tu peux écrire les relations équivalentes aux formules classiques en faisant disparaitre $\text{[math]}$ si ça t'arranges
ex : $\text{[math]}$ =cosh(tanh^-1(v/c)) , z+1= exp(tanh^-1(v/c)) , $\text{[math]}$ =cosh(ln(z+1)) etc ...

Envoyé par Zefram Cochrane

j'ai beaucoup de mal avec la géométrie hyperbolique, il faut que je travaille cela.
Que représentent les axes sur le shéma de Mailou?

Rien de spécial en x tu lis $\text{[math]}$ en y les autres
L'avantage de $\text{[math]}$ c'est qu'il est additif pour les vitesses relativistes, pratique...

Envoyé par phys4

- l'impulsion est la courbe rouge,

w=p/m la courbe vaut p/mc (à la place de w/c si tu veux)

Envoyé par phys4

- la courbe verte indique comment varie l'énergie totale

$\text{[math]}$ énergie totale ?

Une petite explication siouplii

Envoyé par phys4

A vous de mesurer la signification centrale que cela lui donne.

A+
Mailou

**phys4** · 09/06/2012, 09h12

Envoyé par Mailou75

w=p/m la courbe vaut p/mc (à la place de w/c si tu veux)

$\text{[math]}$ énergie totale ?

Une petite explication siouplii

Vous avez vu que pour avoir l'impulsion il suffit de multiplier $\text{[math]}$ par mc

Pour $\text{[math]}$ vous multipliez par mc²

La relation caractéristique des fonctions hyperboliques c'est cosh² = 1 + sinh²
Que devient cette relation si vous la multipliez par (mc²)² ?

J'avais omis la propriété de base de la rapidité : l'écriture de la transformation de Lorentz
en notation hyperbolique celle ci s'écrit $\text{[math]}$ similaire à la rotation,
la rapidité est l'argument de cette transformation.
Le produit de deux transformations a pour argument la somme des arguments, c'est identique à un produit de rotation suivant le même axe.

**Mailou75** · 09/06/2012, 20h18

Envoyé par phys4

Vous avez vu que pour avoir l'impulsion il suffit de multiplier $\text{[math]}$ par mc
Pour $\text{[math]}$ vous multipliez par mc²
La relation caractéristique des fonctions hyperboliques c'est cosh² = 1 + sinh²
Que devient cette relation si vous la multipliez par (mc²)² ?

cosh $\text{[math]}$ ²=1+sinh $\text{[math]}$ ²

Avec cosh $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ et sinh $\text{[math]}$ =p/mc

On a : $\text{[math]}$ ²=1+(p²/m²c²)

Et multiplié par m²c⁴...

$\text{[math]}$ ²m²c⁴=m²c⁴+p²c²...=E²

D'où E= $\text{[math]}$ mc²

Merci prof

En fait mc² c'est l'énergie au repos et $\text{[math]}$ mc² l'énergie en mouvement (quantité liée à l'observateur puisque issue de la vitesse relative)

Mailou

invitee6f0086a · 09/06/2012, 20h32

Envoyé par Mailou75

En fait mc² c'est l'énergie au repos et $\text{[math]}$ mc² l'énergie en mouvement (quantité liée à l'observateur puisque issue de la vitesse relative)

Mailou

C’est pas ( $\text{[math]}$ -1) mc² l’énergie en mouvement ?

**Mailou75** · 09/06/2012, 20h41

Envoyé par Mailou75

En fait mc² c'est l'énergie au repos et $\text{[math]}$ mc² l'énergie en mouvement (quantité liée à l'observateur puisque issue de la vitesse relative)

Dit autrement, $\text{[math]}$ =E/mc²
On peut voir la courbe verte (cosh) comme la variation d'énergie totale par rapport à l'observateur
Au repos $\text{[math]}$ =1 en mouvement relatif $\text{[math]}$ >1
J'adooore

Mailou

**Mailou75** · 09/06/2012, 20h46

Envoyé par daniel100

C’est pas ( $\text{[math]}$ -1) mc² l’énergie en mouvement ?

Damned !

**Mailou75** · 09/06/2012, 20h51

Remarques si tu fais E = mc² + ( $\text{[math]}$ -1)mc² = $\text{[math]}$ mc²
( $\text{[math]}$ -1) c'est juste la variation

Ouf !

Vitesse "propre"

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