Azimut

[invitec418eb0e]

Bonjour,

je dois faire une rechercher afin d'approfondir un sujet, et j'ai décidé de choisir Stonehenge.
J'ai découvert que Stonehenge était si incroyable a cause de son alignement avec l'azimut du lever du soleil au solstice.
Sur ce site, j'ai découvert cette formule:
http://www.jgiesen.de/sunmoonpolar/index.html

cos (Az) = sin delta / cos beta


delta: déclinaison du soleil
beta: latitude géographique (voir annexe 4)


cos (Az) = sin 24,00/ cos 51,18
cos (Az) = 0,64883129
cos -1 (0,64883129) = 49,54 Solstice d’été

Par contre, je dois la prouver! Je dois déterminer d'où elle vient et comment elle a été construite.
Quelqu'un sait-il comment je pourrais la démontrer

Merci beaucoup de votre aide!
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[Amanuensis]

Bonsoir, et bienvenue sur le forum,

C'est une application d'une formule de trigonométrie sphérique ; sans regarder en détail, cela doit être une formule appliquée au triangle dont les sommets sont le Soleil au lever, l'Est et le pôle Nord. L'angle EP vaut pi/2, PS est lié à delta, PES est lié à la latitude, et on cherche ES.

[invite23876543123]

àmha le plus simple est de faire une représentation !

[invitec418eb0e]

Je ne suis pas certaine de comprendre...

Dans l'image en pièce joint, le point A,B,C correspond à quelles données parmi le soleil au lever, l'est et le pole Nord ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Il s'agit d'un triangle sur une sphère, et l'angle droit est un côté! (Dans un triangle sphérique les "longueurs" des côtés sont des angles.)

Difficile de faire un cours de trigo sphérique sur un forum ; si vous ne connaissez pas, essayez d'apprendre, par exemple en partant de http://fr.wikipedia.org/wiki/Trigono...sph%C3%A9rique

[invitec418eb0e]

En effet, je ne connais absolument rien à propos de ce sujet..
J'essayais de trouver comment construire une démonstration pour cette formule..

Je vais essayer de comprendre http://fr.wikipedia.org/wiki/Trigono...sph%C3%A9rique...

Est-ce que cette image pourrait représenter le triangle (P, S , E ) ?

[Amanuensis]

Oui, la figure peut servir de base. Mais non, le triangle noir n'est pas celui à considérer.

Déjà, faut dessiner le triangle sur la sphère ; ensuite ce que j'ai appelé Est est le point d'intersection entre la ligne verte pointant vers l'Est et le cercle horizon ; et S étant le Soliel au lever, il se trouve aussi sur le cercle horizon, par exemple le point noté "4h00". Le point P est le N... Ensuite, les côtés sont les arcs de grand cercle joignant les sommets. ES est une partie du cercle horizon, EP (ou EN) le quart de cercle joignant E à N, et PS (ou NS) une partie du cercle méridien passant par le point S.

Note : Je limite mes explications au cas du lever du Soleil. Le calcul de l'Azimuth du Soleil à tout instant est un peu plus compliqué (faut introduire l'heure...).

[invite837862f0]

Bonjour,

Une autre façon simple de retrouver cette formule consiste à partir des équations classiques de changement de coordonnées d'un astre qui permettent de passer des coordonnées horaires aux coordonnées horizontales (locales) à condition que cette approche soit acceptable dans le cadre de l'étude.
Sinon il faut les redémontrer à l'aide de la trigonométrie ce qui est un peu plus laborieux.
Soient :
z la distance zénithale du Soleil
a son azimut
fi la latitude du lieu
delta la déclinaison du Soleil
H son angle horaire par rapport au lieu

les formules de passage sont :
(1) Cos z = Sin fi * Sin delta + Cos fi * Cos delta * Cos H
(2) Sin z * Cos a = -Cos fi * Sin delta + Sin fi * Cos delta * Cos H

Au lever du Soleil z = 90° , l'équation (1) donne alors Cos H = - Tg fi * Tg delta (on peut retrouver directement cette valeur en calculant l'angle du dièdre formé par le méridien du lieu au moment du passage "au jour" et le méridien du Soleil).

l'équation (2) donne alors directement Cos a = - Sin delta / Cos fi (formule recherchée).

A noter que pour l'équinoxe d'été delta = 23.44°

Bonne journée

Papives

[invite837862f0]

Bonjour,

Un petit complément dans le cas où il faille redémontrer les formules de passage coo horaires vers coo locales, une méthode rapide consiste à utiliser le changement de repère orthonormé.

repère de départ = origine au lieu d'observation, axe Z parallèle à l'axe des pôles vers le nord, axe Y perpendiculaire au méridien du lieu vers l'est, axe X perpendiculaire au plan Y-Z donc parallèle à l'équateur.
Dans ce repère les coordonnées de l'étoile (le Soleil en l'occurrence) sont X = Cos delta * Cos H, Y = -Cos delta * Sin H , et Z = Sin delta

nouveau repère = origine au lieu d'observation, axe X' suivant le Zénith, axe Y' idem Y, axe Z' vers le Nord du lieu.
Dans ce repère les coordonnées de l'étoile sont X' = Cos z , Y' = -Sin z * Sin a , Z' = -Sin z * Cos a
a et z étant les coordonnées locales (distance zénithale et azimut compté à partir du sud sens rétrograde suivant les conventions).

puis on écrit le passage du repère de départ vers le nouveau repère grâce à la matrice de passage dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs d'axe du repère de départ dans le nouveau repère à savoir :
Cos fi 0 Sin fi
..0.....1...0
-Sin fi 0 Cos fi

On écrit le passage Nouvelles coordonnées = matrice * Anciennes coordonnées

Ce qui conduit directement aux formules classiques.

Bonne journée

Papives