Effet Lense-Thirring et centre de masse

[moijdikssékool]

hello
tout le monde connait la conservation du centre de masse lorsque deux masses sont en chute libre. Le système constitué par les deux masses ne reçoit pas d'énergie extérieure, il ne subit aucune accélération, son centre de masse ne bouge pas, malgré le fait que les deux masses se déplacent
Le champs considéré est le champs gravitationnel, noté EG. Il existe un autre champs, BG, que l'on appelle champs gravitomagnétisme, il est responsable d'une déviation lors de la chute libre de M2 lorsque M1 est en rotation. On parle aussi d'entrainement des référentiels, l'espace-temps est déformé autour de M1 de sorte que M2 est entrainé et sa trajectoire de chute libre déviée par rapport à l'espace (sans temps)
Dans cette description, on voit que l'effet de réaction (la déviation de M1) à l'action (déviation de M2) n'est pas naturelle, il faudrait que M2 soit aussi en rotation; on a donc l'impression que le centre de masse est dévié: l'axe défini par les centres de M1 et M2 va tourner et donc avec lui le centre de masse, situé sur cet axe
Mais j'imagine qu'il faut considérer l'espace-temps, la métrique et la bonne géométrie qui vont avec pour considérer que le centre de masse ne bronche pas non plus, que la chute libre en RG est juste un peu plus complexe que la chute libre version Newton. Existe-t-il une telle géométrie?
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[jacknicklaus]

Le champs considéré est le champs gravitationnel, noté EG. Il existe un autre champs, BG, que l'on appelle champs gravitomagnétisme, il est responsable d'une déviation lors de la chute libre de M2 lorsque M1 est en rotation.

ce n'est pas tout à fait comme çà.
Je dirai plutôt qu'il y a les équations d'Einstein classiques en RG, et leur approximation en champ faible. La solution en champ faible peut se mettre sous une forme très proche de celle obtenue en électromagnétisme, et notamment on peut exhiber 4 "équations de Maxwell gravitationnelles", avec un champ dit "gravito-électrique" et un champ "gravito-magnétique.". L'effet Lense-Thirring dont tu parles n'est rien d'autre que l'équivalent du résultat classique que tout objet sphérique chargé en rotation produit un champ dipolaire.

Bref, on ne peut pas dire qu'il y a deux champs, dont un responsable de l'effet Lense-Thirring, c'est une présentation déformée.

Mais j'imagine qu'il faut considérer l'espace-temps, la métrique et la bonne géométrie qui vont avec pour considérer que le centre de masse ne bronche pas non plus, que la chute libre en RG est juste un peu plus complexe que la chute libre version Newton. Existe-t-il une telle géométrie?

La métrique adaptée à ces calculs est celle usuellement adoptée en champ faible et une condition de jauge de Lorentz.

[moijdikssékool]

la perturbation hmunu permet dans les calculs de faire des approximations mais, en gros, on arriverait à dire que le centre de masse ne bouge pas en utilisant cette métrique?
ceci dit, en parlant de champs, peut-être cela rejoint ta première remarque, j'ai l'impression de revenir à une 'description Newtonienne' au sens ou l'on parle de champs, d'efforts pour décrire la chute libre. Je m'imaginais plutôt une géométrie dans laquelle les corps suivent des géodésiques 'même lorsqu'ils sont en rotation'. Me suis pas penché dessus mais la géométrie de Kerr (parceque je n'ai que ça sous la main) pourrait correspondre à ce genre de métrique, étamunu+hmunu? c'est documenté j'imagine?

[mach3]

On peut prédire un "frame dragging" pour un trou noir en rotation en utilisant la solution exacte de Kerr. Cependant, pour prédire l'effet pour un astre quelconque en rotation (étoile, planète, étoile à neutron), on ne connait pas de solution exacte (ce n'est pas la métrique de Kerr), on ne peut se baser que sur des solutions approchées en champ faible.

Voir ici à ce propos : https://en.wikipedia.org/wiki/Kerr_metric#Open_problems

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[moijdikssékool]

sinon, si M1 tourne assez vite, M2 peut finalement graviter autour de M1, quelque soit la vitesse de M2 à l'approche de M1. On a l'impression que M1 'pèse' du coup suffisamment pour permettre à M2 de graviter autour de M1, alors que sans la rotation de M1, M2 pourrait, par exemple, passer son chemin sans être happé par M1. Mais en fait il ne s'agit pas d'une masse augmentée, celle de M1, mais de la torsion de l'espace-temps autour de M1 (tiens tiens, ça me rappelle quelque chose) qui fait comme si M1 était plus massive. Si M1 s'arrêtait de tourner, M2 ne ressentirait plus du tout cet effet de 'masse augmentée' (pour les attentifs: il ne s'agit donc pas d'un effet de cumul mais bien d'un effet instantané)
Donc on voit que la nouvelle rotation, en fait la révolution de M2 autour de M1, crée un nouvel effet lense-Thirring qui entraîne cette fois-ci M1. La rotation, augmentée, de M1 augmente donc celle de M2 qui augmente celle de M1 et ainsi de suite... Est-ce que cet effet de rétroaction a déjà été considérée ou considère-t-on qu'il est impossible, à la manière d'un centre de masse qui se déplacerait 'tout seul'?
Parceque, sinon, on a l'impression que le système M1+M2 gagne en énergie, et ce de manière exponentielle(*)
Et si on lançait un calcul pour les galaxies? Si on considère le temps depuis lequel elles tournent, la faible vitesse de rotation due à l'effet Lense-Thirring devrait se faire ressentir, non? Si on retient une vitesse supplémentaire de 10^-22rad/s (soit à peine 10^-6 moins importante que la vitesse de rotation d'une étoile via les lois de Kepler) pour la moitié (ou le quart, le huitième, bref) des étoiles d'une galaxie, l'effet rétroactif est juste explosif, du genre (1+b*10^-6)^t, avec b fonction des rapports de masses considérées (moitié, quart...) et t en seconde (4e17sec)
C'est une première approximation (nos galaxies n'ont pas encore explosé) et il faudrait évidemment faire tourner une simulation de galaxie avec de la RG pour estimer réellement l'effet mais on pourrait voir là un effet de 'masse augmentée' comme décrit plus haut, résultant de la torsion du tissu de l'espace-temps de la galaxie. Donc finalement on pourrait trouver dans ce phénomène une explication à la matière noire, non?

(*) Ce qui ne choque pas tant que ça la RG parceque, si j'ai bien compris, lorsqu'il n'y a pas de conservation de l'énergie, il y a, quelque part, déformation de l'espace-temps. Est-ce qu'il y a un rapport avec le fait que, par exemple, une étoile à neutron émet, pour un observateur extérieur, peu d'énergie (le temps à sa surface est lent) alors que pour un observateur à la surface de cette étoile, elle reçoit beaucoup d'énergie de l'extérieur (le temps extérieur est rapide)? A-t-on par exemple nommément décrit le phénomène qui, en y faisant écouler le temps plus longtemps comme à la surface d'une étoile à neutron, 'retient' l'énergie? Après tout, qu'une masse soit importante (comme une étoile à neutron) ou qu'elle tourne vite, le résultat semble identique: peut-on conclure que la conservation de l'énergie peut-être entravée par l'écoulement du temps, ce dernier étant perturbé par les déformations éventuelles de l'espace-temps?

[moijdikssékool]

la nouvelle rotation, en fait la révolution de M2 autour de M1, crée un nouvel effet lense-Thirring qui entraîne cette fois-ci M1

dans le wiki, on lit que les étoiles autour d'un trou noir acquière une précession et affectent 'à leur tour' un moment de force sur le trou noir (le texte ne parle pas du signe de ce moment, ni, finalement, d'un effet rétroactif)
Cet effet d'emballement, si donc il y a, est-il donc avéré? Parceque c'est quand même bizarre, un processus qui s'emballerait tout seul...
Si l'on fait le parallèle avec l'électromagnétisme, il faut se souvenir qu'il se forme un champs résistif (opposé au mouvement) lorsque les charges sont en mouvement (comme lors de l'établissement du courant dans une bobine). Dans le cas de l'effet Lense-Thirring, l'emballement peut-il être relié au fait que les masses ne sont pas chargées (toutes positives)? Je veux dire, ce serait un peu comme dire que, dans les expériences d'électromagnétisme de mise en évidence de force (Laplace ou Lorentz) s'opposant au mouvement, celle-ci deviendrait une force d'entrainement, non? ou comme de dire qu'une pile avec deux pôles positifs pourrait fonctionner...

nos galaxies n'ont pas encore explosé

je vous laisse interpréter la courbe de la fraction de matière noire en fonction de la distance selon McCaugh (p5) (bon, si on compare avec des chiffres d'autres articles, c'est discutable mais on observe, en tout cas ici, la tendance à l'explosion)

https://en.wikipedia.org/wiki/Kerr_metric#Open_problems

la source intéressante (26) a-t-elle un quelconque rapport avec les galaxies?

Ca a l'air un brin compliqué d'appliquer la RG à des galaxies toutes entières. Il faudrait trouver des solutions exactes, qui n'ont pas l'air de courir les rues
Si l'on voulait faire des simulations moins gourmandes, pourrait-on dire que l'effet Lense-Thirring imprime une vitesse angulaire aux étoiles situées sur le bord des galaxies et une vitesse de rotation aux étoiles situées en son centre? De ce que je lis, je retiens que d'un côté on parle de vitesse angulaire et de l'autre de moment de force, alors... Ainsi, plus une étoile serait loin du centre, plus elle gagnerait en vitesse de révolution et moins elle gagnerait en vitesse de rotation. Bonne idée?
Si l'effet Lense-Thirring cumulé sur des milliards d'années était si notable que ça, la vitesse de rotation des étoiles seraient, elles aussi, significatives et on observerait aussi un alignement des axes de rotation des étoiles avec celui de la galaxie... On sait par exemple que l'on peut trouver des amas d'étoiles avec des axes d'étoiles alignés, mais je n'arrive pas à savoir si cet axe correspond grosso-mode à celui de la galaxie. Après tout, on explique que les étoiles ont hérité le moment angulaire d'un nuage de gaz, mais encore faut-il que ce nuage de gaz en ait eu un. Si la rotation de celui-ci est dû à l'emballement de l'effet Lense-Thirring, alors quourpoi pas...

Bref, je fais peut-être des suppositions hasardeuses, mais quand même, la question semble légitime: peut-on parler d'emballement ou faut-il tout de suite jeter cette idée à la poubelle parceque, de toute façon, un emballement perpétuel, ça n'existe pas, point barre?

[invite6486d7bd]

Et si on lançait un calcul pour les galaxies? Si on considère le temps depuis lequel elles tournent, la faible vitesse de rotation due à l'effet Lense-Thirring devrait se faire ressentir, non? Si on retient une vitesse supplémentaire de 10^-22rad/s (soit à peine 10^-6 moins importante que la vitesse de rotation d'une étoile via les lois de Kepler) pour la moitié (ou le quart, le huitième, bref) des étoiles d'une galaxie, l'effet rétroactif est juste explosif, du genre (1+b*10^-6)^t, avec b fonction des rapports de masses considérées (moitié, quart...) et t en seconde (4e17sec)
C'est une première approximation (nos galaxies n'ont pas encore explosé) et il faudrait évidemment faire tourner une simulation de galaxie avec de la RG pour estimer réellement l'effet mais on pourrait voir là un effet de 'masse augmentée' comme décrit plus haut, résultant de la torsion du tissu de l'espace-temps de la galaxie. Donc finalement on pourrait trouver dans ce phénomène une explication à la matière noire, non?

Si vos calculs vous indiquent que les galaxies sont dans un état "d'explosion", soit vous cherchez une solution pour réfuter ce fait, soit vous prenez ce fait comme un réalité physique et cherchez alors à comprendre ce que signifie cette "explosion".
Ceux qui ont fait ce travail avant vous (et ils sont nombreux) ont considéré qu'il fallait inventer un élément supplémentaire pour éviter que la théorie prédise cette explosion.
La règle du rasoir d'occam, pourtant, voudrait qu'on s'en tienne aux faits...théoriques et effectivement ont cherché à corriger le problème faisant fi de la règle, en ajoutant un élément supplémentaire, la matière noire.
Pour ma part, vu que que vous semblez maitriser la question et que vous avez atteint une bonne compréhension du problème (chose rare de nos jours), je vous inciterais à vous poser la question : La galaxie est en train d'exploser, certes, mais comment ce fait-il que nous ne le percevons pas ?
La réponse est toute simple, à mon humble avis (et je vous laisse deviner la réponse).

[moijdikssékool]

Quoi? les galaxies naines? ouai bon...

soit vous cherchez une solution pour réfuter ce fait, soit vous prenez ce fait comme un réalité physique et cherchez alors à comprendre ce que signifie cette "explosion"

effectivement, je me satisferais assez pleinement d'un contre-exemple qui me dirait d'arrêter les frais, mais tout aussi bien d'une meilleure compréhension du phénomène (donc: n'hésitez pas à dire des trucs!), mais dans tout les cas il faut bien tâter le terrain avant de se lancer dans des calculs. Et aujourd'hui on serait en train de supposer la MN comme une matière inconnue dont la quantité s'emballe (=0 à t=0; =0 à t=4Mda; =10fois notre galaxie aujourd'hui) avec le temps et c'est avec cette matière 'magique' que l'expansion doit conjuguer. Si vous ne commencez plus à croire en cette drôle de matière, pourquoi désormais se lancer dans des calculs la concernant, surtout si le rasoir d'Ockham nous indique une solution seulement technique (la RG décrirait très bien le phénomène), bien moins pire qu'une solution de type 'création d'énergie' (une matière noire, inconnue-dont-la-quantité-s'emballe-avec-le-temps)? Au moins, une résolution d'équation, aussi complexe soit-elle, ne constitue pas un quelconque problème à un quelconque principe de physique... En attendant de se pencher sur la matière noire en tant que matière, on pourrait se pencher sur des problèmes qui utilisent les outils que nous avons. Si celles-ci échouent, alors ok penchons-nous sur des théories tirées par les cheveux, mais pas l'inverse

en ajoutant un élément supplémentaire, la matière noire

et tu penses vraiment que le rasoir d'Ockham nous indiquerait qu'il faudrait se pencher sur une matière noire 'magique' en priorité? J'aurais tendance à dire que faire de la physique pour décrire de la magie est forcément une impasse...

La galaxie est en train d'exploser, certes, mais comment ce fait-il que nous ne le percevons pas ?

En regardant la courbe de l'article citée, ne considères-tu pas qu'il y a explosion, sachant que la courbe peut désormais contenir un point supplémentaire (j'imagine qu'il suffit de la prolonger à la main façon exponentielle), celle de la quantité de matière noire à t=0: 0%. C'est à dire 100% de matière baryonique à 4Mda jusqu'à 0Mda?

il te suffit de renverser le tracé et et de relier les points et on s'aperçoit que la courbe ressemble à une évolution exponentielle (l'échelle horizontale est logarithmique et l'échelle verticale un pourcentage; 100% représentant l'infini pour la courbe exponentielle. Alors oui, il ne semble pas loin le temps où la MN dans nos galaxies sera incroyable, pas loin du tout: rappelons que la matière noire représente déjà 10 fois la masse de notre galaxie, étoiles et gaz inclus. Si vous ne trouvez pas que c'est beaucoup, sachant qu'au début il n'y en avait pas, je ne sais ce qu'il vous faut pour que vous caractérisiez une explosion. 1%, je comprendrais que vous chipotiez, mais 1000%?)
Il y a deux manières de prolonger la courbe aux origines: en vert ou en rouge. Dans tous les cas, ça n'enlève pas le caractère exponentiel du phénomène

[moijdikssékool]

@modos
modifs pièce jointe, il y en a une avec l'échelle verticale que j'ai oublié d'inverser, l'autre est un peu spéculative, il indiquerait qu'à phy(v/c)=1, la teneur en matière noire était de 0%. A priori, v/c=1 correspond aux limites de l'univers observable, c'est à dire en gros sa naissance.
Au choix: je vous propose de corriger la première coquille:
courbe expo 1.jpg
ou les deux, avec des morceaux qui ressemble à de la spéculation
courbe expo 2.jpg
A un moment donné il faudra que l'on commente cette courbe, ça paraît inévitable. Une extrapolation par les deux extrémités tout autant

[Mailou75]

Salut,

J'essaye juste de comprendre tes graphs...
En abscisse (v/c)^2 et en ordonnée pourcentage de matiere noire.

Dejà v/c c'est quoi ? Parce que s'il s'agissait de la vitesse de recession le max ne serait pas à 1 mais a 3,3^2. S'il il s'agit de la regle v=Hd il parrait qu'elle est fausse, en fait, si d est l'horizon.

Ensuite la MN quand on est a 100% c'est 100% de quoi ? On ne trouve pas de matiere ordinaire localement ? C'est un caclul "uniforme" cad qu’on prend en compte toute la MN divisée par toute la matiere ordinaire sur une zone etendue pour trouver un chiffre egal ? Je croyais qu'on tournait a 500% ?

Que dit ce graph pour toi ? Pk pour moi c'est loin d'etre clair... et la courbe est de toi ? pk a peu pres tous les point ne sont pas dessus...

Merci

[Mailou75]

Enfin le graph couvre de v=0 a v=0,01c cad vraiment pas "loin" (on est dans la zone ou l'expansion n'est pas necessaire et où le Doppler fonctionne "encore/toujours"), en tout cas rien qui permette de conclure quoi que ce soit sur l'historique de formation des grandes structures dont tu parles. Ou alors j'ai rien compris, j'veux bien un petit éclaircissement.

Merci

[moijdikssékool]

le rasoir d'Ockham nous indique une solution seulement technique (la RG décrirait très bien le phénomène)

j'insiste sur le fait qu'un effet LTE, Lense-Thirring emballé, n'est pas une création d'énergie. L'effet LT, à la base, traduit une déformation du tissu de l'espace-temps lorsqu'un objet est en rotation: il se forme une torsion de ce tissu sans consommation d'énergie
Dans le monde classique, si l'on avait une nappe élastique qui accroche (en caoutchouc par exemple, la surface n'est pas spécialement glissante) et un ballon qui tournerait dessus, il nous faudrait constamment de l'énergie à consommer pour effectuer une torsion de la nappe. Tout comme il nous faudrait de l'énergie lorsque nous appuyons sur le ballon pour déformer perpendiculairement cette nappe (évidemment, il faut se placer dans l'espace parceque sur Terre, le ballon déforme déjà la nappe): lorsque l'on dit qu'une masse M déforme le tissu de l'espace-temps, il n'y a pas d'énergie consommée, il n'y a pas de supermasse de l'autre côté de ce tissu qui attirerait M tout en déformant le tissu...
L'effet LT, d'une masse M1 en rotation sur une autre masse M2, ne consomme pas d'énergie, son effet rétroactif, de M2, entré en rotation par l'effet LT, sur M1, non plus. Du coup l'effet LTE non plus
La vitesse que nous mesurons d'une étoile dans une galaxie serait 'normale' dans l'espace en torsion mais anormale (on a l'impression d'une vitesse excessive) dans un espace que nous supposerions sans torsion. Le delta de vitesse, celle que nous imputons à la matière noire, mesuré par redshift, représenterait alors l'importance de torsion du tissu d'espace-temps de la galaxie au niveau de l'étoile considérée. Cette torsion ne serait pas locale et se ressentirait en dehors de la galaxie: selon le principe de Mach, une autre galaxie tourne autour du même référentiel que celui d'une autre galaxie (il faut imaginer une même toile élastique sur laquelle on fait tourner des ballons tout en dépensant toujours plus d'énergie pour aggraver le phénomène de torsion sous chacun des ballons) et il faut s'attendre à voir un entrainement du tissu intergalactique dans les galaxies
On serait donc tenté de dire que l'Univers est en contraction, et ce de manière accélérée. Le destin de l'Univers serait donc un trou noir aussi gros que... l'Univers. Ce qui ne parait pas être tant que ça un problème parcequ'on entend dire que l'Univers peut être vu comme un trou noir. Au final donc: pas de big bounce ni de big rip ou encore de big crunch. Si nous pouvions survivre jusqu'au moment où toute la matière est tombée dans l'unique trou noir sauf nous, il suffirait alors de passer l'horizon pour accéder à un nouvel Univers pour continuer à y vivre. Ce serait la surprise que l'on pourrait avoir alors
La vie dans l'Univers pourrait être éternelle, sans avoir à finir dans les délires cataclysmiques prédits par les modèles actuels. Je me disais bien que les secteurs noirs cachaient quelque chose de plus lumineux!

[moijdikssékool]

Parce que s'il s'agissait de la vitesse de recession le max ne serait pas à 1 mais a 3,3^2

(p11): v/c tend vers 1

Ensuite la MN quand on est a 100% c'est 100% de quoi ?

c'est détaillé dans l'article. Ce que je retiens c'est que la courbe de McCaugh traduit le fait que la teneur en baryon diminue dans le temps, qu'en tout cas, il y a une considération qui permet d'obtenir ce résultat. J'ai retrouvé l'article source

Je croyais qu'on tournait a 500% ?

Ca c'est la déduction que l'on fait du CMB, il y aurait 5fois plus de MN que de matière classique dite baryonique. Mais on mesure 0% dans des galaxies lointaines, 10fois dans notre galaxie. Suivant les articles, on mesure énormément de MN dans les galaxies naines mais il y aurait un biais (faire une pause sur cette vidéo à 18:00), et en fait on peut retenir le même taux que dans notre galaxie
Les données du CMB, que l'on dit relevant d'une cosmologie de précision, sont visiblement biaisée quelque part, en tout cas mal interprétée

Enfin le graph couvre de v=0 a v=0,01c cad vraiment pas "loin"

et bien il faut croire que les statistiques sur la MN ne vont pas très loin. Ceci dit, les points sont en nombre suffisant pour permettre une extrapolation du tracé sur toute la durée de l'Univers, compatible avec les données récentes indiquant des galaxies avec très peu ou pas de MN et dont on situe l'âge à 4Mda, soit à peu près z=3, v/c =0.9

[invite6486d7bd]

Une piste, je pense, à la question qui se pose ici, selon les derniers travaux de Bill Unruh et de son équipe :
https://arxiv.org/pdf/1703.00543.pdf

Lire cet article également :

Le point nodal de cette étude repose sur la prise en compte de ce que l’amplitudes des fluctuations est elle même très fluctuante ! Contrairement à ce que la vision « moyenne » laissait entendre, il semblerait qu’en chaque point l’espace alterne entre expansion et contraction. A priori les comportements (les phases) de points même très voisins peuvent être différents. Bien que l’effet des fluctuations quantiques du vide soit effectivement immense, comme escompté, il n’est immense qu’à très petite échelle et devient presque nul – comme nous l’observons – dans le macrocosme. De plus, à cause d’une couplage paramétrique faible, on s’attend à ce qu’une légère accélération l’emporte, conformément aux observations.

https://blogs.futura-sciences.com/ba...solu/#more-857

Vous allez me dire que l'énergie noire ce n'est pas la matière noire, certes, mais la théorie de Bill ne s'occupe pas pour le moment de la "granularité", des détails locaux de l'univers.

[moijdikssékool]

Vous allez me dire que l'énergie noire ce n'est pas la matière noire, certes

effectivement, et je ne vois pas le rapport avec l'effet LT
De plus l'hypothèse de l'énergie noire découle d'hypothèses qui supposent au moins l'expansion qui a souci avec ce nouveau scénario (qui date de 2010 en fait) de la matière noire. Je n'ai rien à dire sur le sujet sinon que:

La vitesse que nous mesurons d'une étoile dans une galaxie serait 'normale' dans l'espace en torsion mais anormale (on a l'impression d'une vitesse excessive) dans un espace que nous supposerions sans torsion. Le delta de vitesse, celle que nous imputons à la matière noire, mesuré par redshift, représenterait alors l'importance de torsion du tissu d'espace-temps de la galaxie au niveau de l'étoile considérée

ce que nous voyons comme une accélération de l'expansion serait donc en fait une accélération ou décélération (je ne sais pas trop comment le prendre, vu qu'il faut voir les mesures de redshift "à l'envers") de l'effet LTE mais pas forcément intrinsèque. Cet impact sur l'évolution de redshift est probablement externe, sans doute à chercher dans les interactions à l'intérieur et entre les galaxies; par exemple l'effet LT devait très certainement être impacté lorsque les galaxies étaient denses en gaz, ou lorsqu'elles ont fusionné dans le passé
rappelons que dans cet article FS la RG est considérée comme suffisante pour décrire notre univers. La RG pourrait être en partie scalaire, mais peut-être pas du tout, est-ce qu'il y a un rapport avec la constante cosmologique?

[Gilgamesh]

Et aujourd'hui on serait en train de supposer la MN comme une matière inconnue dont la quantité s'emballe

Non, la matière noire est une composante non relativiste, elle se dilue simplement en a³.

A la relecture on patauge dans un obscur n'importe quoi sur ce fil. Donc on va arrêter là.