l'équilibre au moment du big bang

[invite69d38f86]

C'est le bon angle pour aborder la question de l'équilibre thermodynamique. Dans le cas de l'univers, le critère pertinent c'est le nombre de réactions Γ que subit une particule par unité de temps, rapporté au temps de Hubble H-1 qui représente au premier ordre l'âge de l'Univers. A cette aune, il ne se passe pas grand chose aujourd'hui dans l'espace intergalactique. Par exemple le nombre de diffusion Compton (rebond élastique d'un photon sur un électron) est :

Γ ~ 1,4.10-3 H0

Cela signifie que seul un photon sur 700 va subir une collision dans le prochain temps de Hubble. Et cette proportion est appelée encore à s'amenuiser avec la diminution de la densité de rayonnement comme de matière. De fait, un photon typique ne sera jamais rediffusé. Dans ce cas là, on ne peut pas parler d'équilibre thermodynamique entre le rayonnement et la matière, chaque compartiment suit son évolution propre.

Il en était tout autrement dans le jeune univers. Juste avant la recombinaison (a ~ 10-3), la densité d'électrons était (1/a3) ~ 109 fois plus élevée et le taux d'expansion n'était encore que Hrec ~ √Ωm(1/a)3/2 ~ 2.104 fois le taux actuel.

Γ ~ 80 Hrec

A l'époque un photon typique subissait 80 collisions par temps de Hubble. Ces échanges d'énergie entre particules engendre une redistribution thermique de l'impulsion. Cela homogénéise les variables intensives (pression, température, densité) et les conditions sont réunies pour avoir l'équilibre thermodynamique.

j'ai trouvé un texte qui va tout a fait dans ce sens
http://cosmologist.info/teaching/EU/notes_eu1.pdf

on y lit ceci

At any time, the Universe will contain a blackbody distribution of photons with some temperature
Tγ . If a species interacts (directly or indirectly) with the photons with a rate ΓAγ high enough
(ΓAγ >>H), then these particles will have the same temperature as the photons: TA = Tγ . Any
set of particles species which are interacting among themselves at a high enough rate will share the
same temperature. But in general this may not be the case and the Universe could be populated by
different species each with its own temperature (uninteracting species behave like independent thermal
systems). As a rule of thumb, a species A will maintain an equilibrium distribution when there are
many photon interactions in the time it takes the universe to expand significantly, i.e.
ΓA >> H,
and it will decouple from the thermal bath when the interaction rate drops below the rate of expansion eate H


je conseille le passage sur les multiplicateurs de Lagrange en rapport avec la température.
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[invite69d38f86]

ceci reste cependant qualitatif.
existe t il une formulation mathematique du genre optimisation sous contraintes ou ce taux Gamma et H serait explicites?

[Gilgamesh]

Oui, bien sûr. Considérons des réactions du types :



En notant les sections efficaces :



Les abondances de chaque espèce (en terme de densité volumiques) :
,,,.

On note v la vitesse relative moyenne (agitation thermique) entre les espèces.

Les taux de réactions sont les produits de la densité des particules par une constante de proportionnalité (entre crochet) en générale interprétée comme le produit des sections efficaces moyennes multipliées par la vitesse relative des particules :




Comme d'habitude on note :

le facteur d'échelle,
le taux d'expansion.

On peut alors écrire:



source : Cours de Cosmologie de J.A. Rich, trad. Basdevant chez Vuibert
Chapitre : Histoire thermique de l'univers - 6.2 L'équation de Boltzmann p. 234

[invite69d38f86]

merci pour cette réponse,

cpmme la référence est un livre a 50 euros, j'ai cherché et trouvé ceci
qui est bien au dessus de mon niveau mais ou l'on trouve l'équation de Boltzmann (3 60)
je vais voir ce que je peux y comprendre...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

Oui, en effet je l'ai eu à ce prix là, c'est pas donné. Mais sans vouloir faire de pub, je n'ai pas regretté mon investissement, il m'a vraiment beaucoup servi.

Nan, mais là tu va te noyer avec cette thèse.

Attend je cherche à mon tour...

[Gilgamesh]

Je trouve rien en français, mais ton premier lien est très bien, en fait (c'est le même niveau que le cours de Rich) c'est juste que c'est en anglais...

[invite69d38f86]

je sens que ces 28 pages vont m'occuper un bon bout de temps.

[invite69d38f86]

bonsoir

je ne comprend pas ces deux phrases;

Considérons maintenant un anneau sphérique de matière de rayon r et de masse constante m en expansion à la vitesse v , et contenant une boule de matière de masse M (elle aussi en expansion à la vitesse v).

Rappelons que selon le principe cosmologique, M et m n'ont pas la même densité equation à cause de la masse constante de l'Univers.

on y parle d'anneau sphérique.....

http://astronomie.coursgratuits.net/...-friedmann.php

[invite69d38f86]

y a t il une démonstration rigoureuse en ligbe des équations de Friedman?

[yves95210]

y a t il une démonstration rigoureuse en ligbe des équations de Friedman?

Oui. Par exemple dans le cours de relativité générale de E. Gourgoulhon.

[Gilgamesh]

bonsoir

je ne comprend pas ces deux phrases;

Considérons maintenant un anneau sphérique de matière de rayon r et de masse constante m en expansion à la vitesse v , et contenant une boule de matière de masse M (elle aussi en expansion à la vitesse v).

Rappelons que selon le principe cosmologique, M et m n'ont pas la même densité equation à cause de la masse constante de l'Univers.

on y parle d'anneau sphérique.....

On considère une boule (pleine) de matière de masse M et de rayon r et on s'intéresse à sa "peau", formant une sphère cad une coquille creuse de masse m et de même rayon. La gravité qu'exerce la boule sur la sphere diminue avec la croissance de la sphère, et on regarde l'énergie totale (cinétique + gravitationnelle).

Ce qu'il faut noter, et qui n'est pas assez souligné dans la littérature, c'est que ce raisonnement purement newtonien permet d'en conclure que l'univers n'est pas statique. Autrement dit, l'idée d'expansion aurait très bien pu naître avant l’avènement de la relativité générale. Y'avait ce qu'il fallait sur la table. Il aurait juste manqué l'idée de courbure, qui clôt l'univers sur lui même quand il dépasse la densité critique, idée impossible à conceptualiser dans un cadre newtonien.

[invite69d38f86]

Oui, bien sûr. Considérons des réactions du types :



En notant les sections efficaces :



Les abondances de chaque espèce (en terme de densité volumiques) :
,,,.

On note v la vitesse relative moyenne (agitation thermique) entre les espèces.

Les taux de réactions sont les produits de la densité des particules par une constante de proportionnalité (entre crochet) en générale interprétée comme le produit des sections efficaces moyennes multipliées par la vitesse relative des particules :




Comme d'habitude on note :

le facteur d'échelle,
le taux d'expansion.

On peut alors écrire:



source : Cours de Cosmologie de J.A. Rich, trad. Basdevant chez Vuibert
Chapitre : Histoire thermique de l'univers - 6.2 L'équation de Boltzmann p. 234

j'ai saisi le lien entre le taux de réaction et vitesses relatives et sections efficaces.
mais comment le retrouve t on dans une meme formule avec le temps de Hubble?
et quel est le sens physique du terme de gauche
?
pouvez vous le montrer dans le cas ou on a simplement un seul type de particules. ca evite les indices et les differences de taux

[invite69d38f86]

si le terme de gauche est bien la dérivée de l'énergie par rapport au volume c'est
TdS/dV - P
pourquoi a t on équilibre quans c'est >> 1 ?

[invite69d38f86]

je viens de trouver ce lien
ou la formule 5 48 donne des conclusions analogres sur le rapport entre taux d'interaction et équilibre

[invite69d38f86]

source : Cours de Cosmologie de J.A. Rich, trad. Basdevant chez Vuibert
Chapitre : Histoire thermique de l'univers - 6.2 L'équation de Boltzmann p. 234

comment apparait ce terme (equation de Boltzmann?)

[Gilgamesh]

En deux mots, cette équation résulte de l'intégration de l'opérateur de Liouville sur l'impulsion, appliqué à un univers en expansion. Cet opérateur décrit la variation totale de la fonction de distribution dans l'espace des phases (cad la densité de particules d'une certaine impulsion présent en un certain endroit de l'espace).

Si je trouve un peu de temps j'essayerais de développer

[invite69d38f86]

merci
si da^3 est bien un element de volume quel est le sens physique de l'objet qu'on dérive na^3 ?
si n est l'integrale de f par rapport aux impulsions en l'écrivant xyz n ca ressemble a un moment par rapport
a l'origine.

[Gilgamesh]

n est le nombre volumique de particules, et a³ est un volume comobile. Le produit des deux donne le nombre de particules contenu dans un volume comobile.