Black hole

[invite246132fb]

Bonjour,
Comment peut on montrer que pour un trou noir de Schwarzchild le temps propre de chute libre est fini alors que pour le temps t en r= Rs (Rs rayon de schwarchild ) d'un observateur immobile situé loin du trou noir est infini
Merci
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[Gilgamesh]

Pour la démo précise, j'ai pas, mais le point important du raisonnement c'est qu'on n'utilise pas le système de coordonnées de Schwarzschild mais celui de Lemaître.

Métrique de Lemaître
Lemaître coordinates

[invite246132fb]

On ne peut pas déduire ca de la metrique de scharzchild pour une chute libre radial (dr=dtheta=dphi=0)d'une particule et en utilisant ds²= - dtau²

[Gilgamesh]

La métrique de Sch. ne permet pas de calculer la durée de la chute telle que la mesure l'observateur en chute libre à sa montre, si c'est ça ta question. Elle donne la durée de la chute telle que la mesure l'observateur à l'infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Ce genre de graph (http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post5810148) combine un repere de schw et un «painlevé-like». Schw car selon un axe de temps t on montre ce qui est vu pour l’observateur a l’infini et selon l’axe tau on a le temps propre de celui qui chute (comme il ne tombe pas ici depuis l’infini ce n’est pas le veritable Painlevé). Pour passer de tau (courbe de chute en classique Newton valable en RG pour une radiale) à t on va appliquer deux facteur relativistes : le ralentissement du temps à proximité du trou noir et le ralentissement lié à la vitesse de chute croissante. S’il n’y avait que cette dernière t ne serait pas infini car la vitesse de chute ne vaut pas c mais (z+1)c où (z+1) est le décalage temporel à l’altitude de départ. Ce n’est pas non plus une «demonstration» au sens propre mais ça explique un peu le pourquoi du comment

Plus loin dans le fil on trouve les coordonnées de Lemaitre citées par Gilga mais pas sur qu’elles soient plus claires.

[jacknicklaus]

Bonjour,
Comment peut on montrer que pour un trou noir de Schwarzchild le temps propre de chute libre est fini alors que pour le temps t en r= Rs (Rs rayon de schwarchild ) d'un observateur immobile situé loin du trou noir est infini
Merci

Pour commencer, les conventions : unités RG (c=1) et signature (-,+,+,+) de la métrique.

On part de l'équation des géodésiques

avec mu = t on obtient, par définition de e = inertie par unité de masse = constante

avec mu = phi on obtient, par définition de l = moment d'inertie par unité de masse = constante

il reste à utiliser le fait que si u est la quadrivitesse d'une particule massive, alors

Avec les composantes de la métrique

on obtient équation du mouvement d'une particule, , utilisant les quantités conservées : inertie par unité de masse "e" et moment d'inertie par unité de masse "l" :



On part donc de cette équation du mouvement, et on considère une particule au repos à la coordonnée radiale initiale R >= 2GM. Les conditions initiales dr/dtau = 0, l = 0 permettent de trouver e

Mais e est une quantité conservée durant tout le mouvement, de sorte que

r diminue de R à 0, d'où


On fait les changements de variable successifs
et

On intègre entre les positions r=R et r=0, soit pour u : 0 et l'infini

Et finalement la formule demandée pour le temps de chute radiale, à partir d'une coordonnée R >= Rs, pour l'observateur en chute libre:

Le temps de chute est donc fini, du point de vue de l'observateur en chute libre.


Pour être honnête, ce calcul passe sur une difficulté qui est la pathologie des coordonnées de Schwarzschild en r = Rs. Si on regarde de près, la justification du calcul tel qu'il est fait tient entièrement dans la conservation de l'énergie et du moment d’inertie, conservation assurée indépendamment du choix des coordonnées. Il n'est donc pas absurde de faire le calcul de cette façon et le MTW d'ailleurs ne s'en prive pas, c'est comme çà qu’il effectue le calcul.