Calculer la trajectoire d'une planète soumise à l'interaction du Soleil

[inviteee5533a4]

Bonjour à tous,

Je vous explique mon problème :
Imaginons une planète qui se rapproche du Soleil (sans forcément se diriger droit dessus, elle peux juste passer à proximité).
En connaissant sa position initiale, son vecteur vitesse initial (module et direction) et sa masse, est-il possible de calculer l'équation de sa trajectoire ?
Le but serait de savoir si la planète va rentrer en orbite, s'écraser sur le Soleil ou juste s'éloigner.

Merci de vos réponses, il faut dire que je ne suis vraiment pas à l'aise avec la mécanique
-----

[Amanuensis]

Bonsoir, et bienvenue sur le forum,

Oui, c'est possible.

Cela rentre dans le cadre de ce qu'on appelle le problème des deux corps (chercher ce terme pour trouver une ample littérature sur le sujet). En résumé:

La trajectoire ne dépend pas de la masse en première approximation (on la suppose négligeable devant celle du Soleil). Le vecteur vitesse donne le plan de l'orbite, en supposant que la trajectoire n'est pas radiale. Ensuite la position et la vitesse initiales donnent l'énergie mécanique relative au Soleil (1). Et enfin, le produit vectoriel entre vitesse et vecteur position donnera le moment cinétique.

Energie et moment cinétique suffisent à déterminer la trajectoire.

Que la planète entre en orbite ou ne fait que passer est donné par le signe de l'énergie mécanique initiale 1/2mv²-MmG/r, avec M la masse du Soleil et G la constante de gravitation.

(1) Elle sera conservée, comme le moment cinétique

Enfin, la planète ne s'écrasera sur le Soleil que si son vecteur vitesse est en première approximation dirigé directement vers le Soleil. Un calcul plus précis prendra en compte le diamètre solaire.

[inviteee5533a4]

Merci beaucoup pour ces explications !

[Archi3]

Tu peux assez facilement faire le calcul de savoir si la planète (une comète serait plus réaliste ...) va rencontrer le Soleil ou pas. Cela revient à dire que son rayon de plus courte approche (le périhélie) est inférieur au rayon du Soleil (d'environ 700 000 km) .
Le périhélie vaut r_min = a(1-e) où a est le demi-grand axe de l'ellipse et e l'excentricité .

Tu peux assez facilement calculer a et e à partir des données initiales, en fonction de quantités physiques fondamentales :


l'énergie par unité de masse
(H est négatif si l'orbite est elliptique )

le moment cinétique par unité de masse ou constante des aires

où v et r sont la vitesse et la distance initiale de la planète et theta l'angle entre le rayon vecteur et la vitesse ( si la vitesse est dirigée vers le soleil)
Tu peux calculer donc H et C en fonction des conditions initiales

les relations classiques sont alors



il suffit ensuite de vérifier si a (1-e) est supérieur ou inférieur à Rs

Le cas extreme d'une vitesse dirigée vers le Soleil est theta = Pi; donc C = 0, e = 1 , et bien sur r_min = a (1-e) = 0 < Rs

[A voir en vidéo sur Futura]

[Archi3]

Bonjour à tous,

Je vous explique mon problème :
Imaginons une planète qui se rapproche du Soleil (sans forcément se diriger droit dessus, elle peux juste passer à proximité).
En connaissant sa position initiale, son vecteur vitesse initial (module et direction) et sa masse, est-il possible de calculer l'équation de sa trajectoire ?...

PS : comme l'étude de la gravité dans le cas général le montre, dans l'approximation où la masse est très petite devant celle du Soleil, le résultat ne dépend pas de la masse, juste de la position et de la vitesse (et de la masse du Soleil) - ce sera le même résultat pour une planète, une comète ou une sonde artificielle par exemple.