Gravité et planète creuse

[invitee8b3f97e]

Salut !

Bon, ce post tire un peu (beaucoup) dans la SF, mais je ne savais pas ou poser la question que voici :

Si on prends une planète tellurique dont le centre serait creux (sur quelques kilomètres), quels seraient les effets de la gravité ? Flotterait on au centre de cette planète ?

De même est ce que la gravité varie si on se rapproche du centre d'un corps céleste ? En admettant (oui, c'est toujours de la SF) que des galeries suffisament profondes existent, que le manteau soit stable pour permettre de descendre, etc...
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[BioBen]

Au centre d'une planète la gravité est nulle.
Soppose une gallerie qui part de Paris pour arriver à l'autre bout de la Terre, sans frottements et avec une Terre sphérique et homogène. La galeire passe par le centre de la Terre.
Tu prends un balle, tu la laisse tomber dans le trou. Elle va accélérer jusqu'au centre de la Terre. Arrivée là, elle a une vitesse initiale qui va la faire continuer, et ce contre l'effet de la gravité qui va vouloir la faire revenir vers le centre. Au final la balle fait un mouvement perpetuel entre les deux cotés de la Terre.

Ca réponds à peu près à ta question ?

[invite7dd21654]

Salut
bien-sûr
Il y a au centre de la Terre un puit de potentiel grav avec un point max (ou min). Mais je me demande s'il est stable: s'il y a une cavité, un objet placé au centre y reviendra-t-il après une pichnette...
Je penche pour la stabilité mais ça peut dépendre de la taille de la cavité.
La gravité varie bien sûr avec la profondeur
Exemple: à la frontière manteau-noyau g=10,5 m/^s
à la frontière noyau liquide - graine g=0,44 m/^s

Sinon dans la triste réalité il est impossible de trouver une cavité à plus de quelques Km de profondeur (ce serait comme de vouloir creuser dans l'eau...)

[deep_turtle]

Dans une cavité sphérique creusée dans un corps sphérique, le champ de gravité est rigoureusement nul. La pichennette va envoyer le truc contre le bord de la cavité à vitesse constante.

chtok.

Mais il n'y a pas de force de rappel dans un sens ni dans l'autre.

S'il n'y a pas de cavité mais un truc qui traverse la Terre sans être freiné, alors le centre est un point d'équilibre stable, la force de rappel est dirigée vers le centre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7dd21654]

Merci pour cette précision tortue géniale.
Un mini trou noir ça traverserait la Terre sans problème et s'il est un peu freiné il pourrait osciller puit se stabiliser au centre... je crois que j'ai entendu une histoire de SF dans ce style.

[BioBen]

Pourquoi y 'aurait-il stabilisation au centre en l'absence de frottements avec une planète sphérique et homogène ?? N'y aurait-il pas juste un mouvement d'oscilations non-amorties ?

a+
ben

[invite4b9cdbca]

Pourquoi la planète ne s'éffondrerait pas en son centre ? Je ne comprends pas bien cette histoire de gravité nulle (même si elle est simple, j'en conçois). Au centre, les parois de la cavité s'attieraient l'un l'autre, non ? il sufirait alors d'un simple aspérité pour bousculer l'équilibre et... crac ? Non ? Je ne comprends plus rien...

[deep_turtle]

C'est parce qu'on ne parle pas de la même chose je crois... la question initiale portait sur l'effet de la gravité à l'intérieur d'une cavité sphérique, et toi tu te demandes comment la cavité sphérique peut tenir...

[BioBen]

Et moi je posais une question sur l'amortissement des oscillations mais apparament mes deux messages sont invisibles....

[deep_turtle]

Je crois que c'est parce que la partie du message de kwisatz "s'il est un peu freiné" t'a échappé aussi... Concours de lecture en diagonale...

[BioBen]

Oops Bon bah j'ai rien dit alors...

[zoup1]

Pourquoi ne pas dire simplement que pour un système à symétrie sphérique le centre de gravité ressenti à une distance r du centre de la terre est celui qui est crée par les masses qui sont situées à l'intérieur de la sphére de rayon r... Les masses situées à l'extérieur de la sphére de rayon r ne contribuent pas au champ de gravité en r.
Cela s'appelle le théorème de Gauss (comme en électrostatique) c'est une caractéristique des champs de force en 1/r²

[DonPanic]

Salut

Pourquoi y 'aurait-il stabilisation au centre en l'absence de frottements avec une planète sphérique et homogène ?? N'y aurait-il pas juste un mouvement d'oscilations non-amorties ?
a+
ben

En supposant un tube où règnerait le vide traversant une planète homogène par son centre
je crois qu'il y aura toujours amortissement l'oscillation de l'objet que tu laisses tomber parce qu'aucun objet n'a une rigidité absolue, les accélérations et décélerations imprimeront une contrainte de tassement et d'élongation de l'objet, énergie dissipée en chaleur.
Non ?

[zoup1]

Si tu suppose un vide absolu dans ton tube et que tu négliges absolument tous les frottements sur les bords de ton tube, tu dois bien pouvoir aussi supposé que tu objet a une rigidité infinie, non ?

Bon mais, si on imagine au contraire que cet objet est un ressort parfait... et qu'il se déforme élastiquement, alors est-ce qu'il y a amortissement ???

[BioBen]

Si tu suppose un vide absolu dans ton tube et que tu négliges absolument tous les frottements sur les bords de ton tube, tu dois bien pouvoir aussi supposé que tu objet a une rigidité infinie, non ?

Oui, c'est ce que je voulais dire : tout est parfait dasn cette experience

Par contre je pense que ce que tu dis DonPanic est correct, mais on peut trouver d'autres versions avec une sphere inhomogène, en tenant compte des frottements, une sphere pas tout à fait sphérique,....

Bref, en fait ma question est la suivante. On suppose que tout est parfait, sauf la planète qui tourne sur elle même...que se passera-t-il pour notre bille indéformable et parfaite de 2cm de diamètre lancée dans un tube de 1m de diamètre (en gros si tout eétait parfait ell irati tout droit sans cogner les bords ni rien).

Merci d'avance.
a+
ben

[DonPanic]

Salut

Si tu suppose un vide absolu dans ton tube et que tu négliges absolument tous les frottements sur les bords de ton tube, tu dois bien pouvoir aussi supposé que tu objet a une rigidité infinie, non ?

Je peux supposer un vide aussi poussé que possible, une dimension de tube excluant les frottements, mais une rigidité infinie, contraire à la structure de la matière, j'ai du mal..

Bon mais, si on imagine au contraire que cet objet est un ressort parfait... et qu'il se déforme élastiquement, alors est-ce qu'il y a amortissement ???

Plus il y aura déformation, plus il y aura échauffement,
non ?

[zoup1]

Bon, il n'y a pas d'amortissement cela est clair... puisque l'on s'est débrouillé pour qu'il n'y en ai pas... Note bien qu'avec le ressort qui se déforme non plus il n'y a pas de dissipation, les déformation tant qu'elle sont de faibles amplitudes sont réversibles et élastique, elles ne dissipent pas d'énergie...

Mais tu rajoutes un élément, si elle tourne sur elle me, alors tout dépend de la vitesse à laquelle tu la fait tourner sur elle même... Si elle tourne trop vite, la position centrale est instable, si elle tourne doucement, la position centrale est stable...

[Edit : ma reponse est antérieure au de Don Panic]

[BioBen]

Mais tu rajoutes un élément, si elle tourne sur elle me, alors tout dépend de la vitesse à laquelle tu la fait tourner sur elle même... Si elle tourne trop vite, la position centrale est instable, si elle tourne doucement, la position centrale est stable...

C'est à dire ?...je ne vois pas en quoi la vitesse de rotation va modifier la stabitlité du centre....(enfin pourquoi est ce que a petite vitesse il serait stable et pas à grande vitesse).

a+

[zoup1]

C'est à dire ?...je ne vois pas en quoi la vitesse de rotation va modifier la stabitlité du centre....(enfin pourquoi est ce que a petite vitesse il serait stable et pas à grande vitesse).

Si ta planete tourne, cela veut dire que le tube aussi tourne avec la planète (sinon pas besoin de faire tourner la planète). Pour écrire les équations du mouvement dans le tube, tu es alors obligé de prendre en compte la rotation du tube ; un référentiel lié au tube n'est pas un référentiel inertiel. Pour faire cela on fait apparaitre dans le bilan de force des pseudos forces (Il y a d'autres façon de faire mais c'est à mon sens celle qui a le plus de sens) : les pseudos forces d'entrainement (avec ici ce qu'on appelle la force centrifuge) et la pseudo de coriolis. Si on considère que le tube est perpendiculaire à l'axe de rotaion de la planète on a pas à se préocupper de la pseudo force de coriolis qui aura simplement pour effet de plaquer l'objet sur les bords du tube. Par contre la force centrifuge est dirigée suivant l'axe du tube et tend à expulser l'objet vers l'extérieur de la planète. Si la vitesse de rotation de la planète est suffisement grande alors cettte pseudo force devient plus importante que la force d'attraction gravitationnelle et la position au centre de la planète est instable.

[zoup1]

Bon mais, si on imagine au contraire que cet objet est un ressort parfait... et qu'il se déforme élastiquement, alors est-ce qu'il y a amortissement ???

Plus il y aura déformation, plus il y aura échauffement,
non ?

Dans le régime des faibles déformations, tout est réversibles... C'est ce que l'on appelle le régime élastique. Dans le cas du ressort, on construit l'objet avec des spires pour que ces défomations élastiques correspondent à des déformations importantes.

Dans le cas du problème qui nous occupe les accélérations auxquelles sont soumises l'objet restent toutes petites puisqu'elles sont au maximum de g !!!

[BioBen]

Ok merci pour ces explications
Mais est-ce que même si la vitesse de rotation est faible, et que disons le tube va de Paris (latitude 40° donc ni à l'équateur ni au pole, avec axe de rotation de la Terre selon l'axe Nord-Sud) à l'autre bout de la Terre, au bout d'un temps suffisament long, la bille ne va pas heurter une paroi ? (elle subit toujours une pseud-force qui l'attire vers un coté).

a+
ben

[zoup1]

Ok merci pour ces explications
Mais est-ce que même si la vitesse de rotation est faible, et que disons le tube va de Paris (latitude 40° donc ni à l'équateur ni au pole, avec axe de rotation de la Terre selon l'axe Nord-Sud) à l'autre bout de la Terre, au bout d'un temps suffisament long, la bille ne va pas heurter une paroi ? (elle subit toujours une pseud-force qui l'attire vers un coté).

Si bien sur, la bille va heurter les parois, il n'y a pas besoin pour cela que le tube soit très long... mais comme on a convenu qu'il n'y avait pas de frottement et que les parois du tube étaient parfaitement lisses et sans frottement, il n'y a pas d'amortissement.

Si on supprime les parois du tubes et que disons (heu!! ) l'objet est libre de se déplacer dans cette planète homogéne mais sans interagir avec elle autrement que par le biais del 'attraction gravitationnelle, le problème est tout différent et l'on se retrouve dans le cas de départ (d'une planète qui ne tourne pas) sauf peut-être au niveau des conditions initiales...

Des fois je me demande si ce que je dis est compréhensible :confused:

[BioBen]

Si si, ca va pour l'instant ca reste compréhensible
Merci en tout cas.
a+
ben

[zoup1]

Il y a un petit truc que l'on pourrait rajouter sur le sujet...
Si la planète tourne suffisement vite pour que la force centrifuge devienne plus importante que la force d'attraction gravitationnelle, alors il y a toute les chances pour que la planète en question n'en soit pas une mais que ses éléments aient été collés les uns avec les autres pour assurer sa stabilité...

Une planète est un objet autogravitant (enfin je ne suis pas tout à fait sur que ce soit le bon terme ?), c'est à dire que c'est la gravité qui fait quelle reste sous forme d'une planète (qui assure sa cohésion).

[BioBen]

Ahah ..donc une palnète tournant trop vite sur son axe verrait des petits bouts se disloquer au fur et à mesure ... ?
Y'a-t-il une relation liant la cohésion de la planète à sa vitesse de rotation ? (ca doit dépendre de sa masse - voire de sa densité- et de sa taille aussi je pense)
a+
ben

[DonPanic]

Ahah ..donc une palnète tournant trop vite sur son axe verrait des petits bouts se disloquer au fur et à mesure ... ?
Y'a-t-il une relation liant la cohésion de la planète à sa vitesse de rotation ? (ca doit dépendre de sa masse - voire de sa densité- et de sa taille aussi je pense)

Ca doit exister puisqu'est calculée pour les pulsars "milliseconde" une vitesse maximale de rotation au delà de laquelle l'étoile devrait se fragmenter.

[zoup1]

J'adore parler des trucs que je ne connais pas du tout...

Je pense qu'il faut comparer les forces de cohésion de la planète avec l'agitation thermique des éléments qui la compose... Plus ses éléments sont petits et plus l'agitation thermique est importante... cela commence par les molécules des gaz de l'atmosphère de la planète... Tu peux calculer une vitesse de libération pour un type de molécule donné. Si cette vitesse est plus petite que la vitesse d'agitation thermique alors tu as des chances d'avoir de ces éléments dans la planète... sinon il y a toute les chances pour que ces éléments soient partis à l'infini ou pas loin...

Alors bien sur, cette vitesse de libération dépend de tout ce que tu as dit...
Mais en fait il y a sans doute plus simple, il doit suffire de comparer l'énergie d'agitation thermique kT avec l'énergie potentielle d'attraction gravitationnelle (éventuellement corrgié des effets de rotation)..
Donc cela dépend de la température (en surface pour les gaz) la masse des objets non-cohésifs, de la masse de la planète et de son rayon...

[BioBen]

Ouais en gros de pleins pleins de trucs ...
Bon je vais chercher si je trouve je la mets...

J'adore parler des trucs que je ne connais pas du tout...

Moi aussi
a+
ben

[DonPanic]

Ahah ..donc une palnète tournant trop vite sur son axe verrait des petits bouts se disloquer au fur et à mesure ... ?

Ben oui, j'aime bien l'idée que la scission centrifuge de grosses planètes serait à l'origine de leur cortège planétaire, le hic est que je n'ai pas réussi à trouver une bonne raison pour elles d'avoir une brutale contraction, liée à leur refroidissement, comme transition de phase Gaz ->Liquide, ou réaction de composition chimique précipitante qui les amènerait à accélérer vivement leur vitesse de rotation.

[BioBen]

Ben oui, j'aime bien l'idée que la scission centrifuge de grosses planètes serait à l'origine de leur cortège planétaire, le hic est que je n'ai pas réussi à trouver une bonne raison pour elles d'avoir une brutale contraction, liée à leur refroidissement, comme transition de phase Gaz ->Liquide, ou réaction de composition chimique précipitante qui les amènerait à accélérer vivement leur vitesse de rotation.

Euh juste pour vérifier que j'ai bien compris ce que tu veux dire, "leur cortège planétaire" signifie leurs satellites (leur lunes) ?

a+
ben