Jet de pierre sur un astéroïde - exercice mécanique céleste

[Adhoken]

Bonjour à tous,

Je suis tout nouveau sur le forum alors je vous prie de me pardonner si je créé un doublon par mégarde (mais je n'ai rien trouvé de similaire à mon problème) ou si je ne suis pas dans la bonne section.

Je suis actuellement un cours de mécanique céleste en tant que candidat libre, et depuis quelques jours j'essaie de faire un exercice qui me pose bien des soucis. Voici l'énoncé (en anglais puis en français) :

"Imagine you are standing on a non-rotating spherical asteroid. You throw a stone at an angle alpha and at velocity v away from the surface. If the stone enters an elliptical orbit (that will eventually lead to fallback), what will be the semimajor axis and the eccentricity of that orbit ?"

Soit : "Imaginez être sur un astéroïde sphérique sans rotation. Vous jetez une pierre avec un angle alpha et une vitesse v loin de la surface. Si la pierre rentre dans une orbite elliptique (qui peut conduire à une chute), quelle seront le demi-grand axe et l'excentricité de cette orbite ?"

Je cherche depuis un moment mais je ne parviens pas à trouver comment commencer ou résoudre cette question : j'ai essayé de partir de la 3e loi de Kepler, j'ai également essayé un bilan des forces en ne considérant que la force d'attraction, j'ai essayé de m'inspirer des exercices de mécanique classique sur les lancers de pierres sur Terre, mais je n'arrive jamais à déterminer le demi-grand axe ou l'excentricité...

Quelqu'un aurait-il une idée ou une solution à me proposer ? (je préfère l'idée que la solution pour essayer de trouver par "moi-même")

Merci pour votre temps et votre attention
-----

[Gilgamesh]

Une piste :

L'ellipse va repasser par le point de lancé, elle est tangente au vecteur vitesse. A cet endroit, tu es à la distance r du centre de masse et bien sûr tu connais la vitesse v.

Tu peux utiliser la relation :



avec a le demi grand axe et M la masse de l'asteroide.

Bon, tu n'as pas M...

Il y a d'autres relations ici :
https://astronomia.fr/seminaires/ann...queCeleste.php

[mach3]

Pour aller plus loin, la relation donnée par gilgamesh s'obtient via la conservation du moment cinétique (produit vectoriel entre rayon vecteur et quantité de mouvement de la pierre) et la conservation de l'énergie. Il est utile de s'intéresser à leurs expressions au périastre et à l'apoastre.

m@ch3

[Adhoken]

Merci pour vos indications : je vais tenter de résoudre l'exercice ce soir. Merci également pour le site qui semble bien fourni en infos

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Salut,

Intitivement je dirais qu’un rapport du genre v/Vlib donnera le grand axe et l’angle d'éjection le petit axe. Sans certitude.

[Gilgamesh]

Salut,

Intitivement je dirais qu’un rapport du genre v/Vlib donnera le grand axe et l’angle d'éjection le petit axe. Sans certitude.

v/Vlib est une ratio sans dimension. Je vois pas trop comment ça peut donner une distance.

Sur une demande d'aide pour un exo, merci de t'assurer d'abord de la pertinence de ton intervention.

[Mailou75]

Salut,

v/Vlib est une ratio sans dimension. Je vois pas trop comment ça peut donner une distance.
Sur une demande d'aide pour un exo, merci de t'assurer d'abord de la pertinence de ton intervention.

En effet, c’est plus une idée qu’un résultat, comme demandé. Je n’ai d’ailleurs rien verifié... Puisque v/Vlib est un ratio mais que Vlib dépend de M alors a (demi grand axe) dépendrait de M ce qui est logique, il faut juste trouver la formule complete avec v/Vlib dedans, pour ça que je disais «du genre». As tu toi même verifié que ce que je suppose intuitivement est faux ? Je me basais sur les extrèmes (ellipse plate, positions apo-periastre et v=Vlib parabole) pour lesquels on doit necessairement obtenir un résultat «du genre»...

[Mailou75]

Salut,

v/Vlib est une ratio sans dimension. Je vois pas trop comment ça peut donner une distance.
Sur une demande d'aide pour un exo, merci de t'assurer d'abord de la pertinence de ton intervention.

Alors j'ai vérifié et je maintiens que ce que j'ai dit a du sens. Par exemple pour la Terre (voir schéma joint), si v= 9,13km/s alors un jet vertical culminera à 2Rt (ellipse plate, représentée pour le fun, fig 1) et un jet horizontal suivra une orbite passant à l'apogée à une altitude Rt (fig 4). Pour des jets à 30° et 60° (fig 2 et 3) on voit que a=3Rt et v sont conservés. Pour v=Vlib on obtiendrait une parabole sur le même principe, on a donc bien d'une certaine façon a qui se définit suivant un rapport v/Vlib. Ceci est empirique, je n'ai pas le lien exact qui confirme la conservation mais tout même, j'exige de plates excuses

Enfin, si c'est juste... merci de bien vouloir valider svp

Mailou

[Archi3]

Salut,



Alors j'ai vérifié et je maintiens que ce que j'ai dit a du sens. Par exemple pour la Terre (voir schéma joint), si v= 9,13km/s alors un jet vertical culminera à 2Rt (ellipse plate, représentée pour le fun, fig 1) et un jet horizontal suivra une orbite passant à l'apogée à une altitude Rt (fig 4). Pour des jets à 30° et 60° (fig 2 et 3) on voit que a=3Rt et v sont conservés. Pour v=Vlib on obtiendrait une parabole sur le même principe, on a donc bien d'une certaine façon a qui se définit suivant un rapport v/Vlib. Ceci est empirique, je n'ai pas le lien exact qui confirme la conservation mais tout même, j'exige de plates excuses

Enfin, si c'est juste... merci de bien vouloir valider svp

Mailou

c'est juste, v/vlib (grandeur sans dimension) est liée à a/R (autre grandeur sans dimension, le rapport du demi grand-axe au rayon de l'astre).
La loi exacte est se déduit sans grande difficulté de la relation connue pour le demi-grand axe a = - GMm/2E , avec E = 1/2 m v^2 - GMm/r et vlib^2 = 2GM/r ; on en déduit sans grande difficulté 2a/R = 1 /(1- v^2/vlib^2 )

[Mailou75]

Salut,

c'est juste, v/vlib (grandeur sans dimension) est liée à a/R (autre grandeur sans dimension, le rapport du demi grand-axe au rayon de l'astre).
La loi exacte est se déduit sans grande difficulté de la relation connue pour le demi-grand axe a = - GMm/2E , avec E = 1/2 m v^2 - GMm/r et vlib^2 = 2GM/r ; on en déduit sans grande difficulté 2a/R = 1 /(1- v^2/vlib^2 )

Ouii c’est ça
Je n’avais pas pris le temps de chercher du coté des équations, pas sur que j’aurais obtenu la forme que tu lui donnes mais c’est ce qu’il fallait. Parfait merci.

Juste une petite précision pour les lecteurs que ça interesserait, R est l’altitude de départ, pas nécessairement le rayon de l’astre. Sinon je m’étais trompé dans la rédaction autour du schéma, c’est bien sur le grand axe (pas demi) qui vaut 2a=3Rt.

Maintenant on pourrait s’atteler à la seconde partie par les équations, l’excentricité, à laquelle j’ajouterais l’angle du grand axe pour avoir la figure complete. Mais j’ai l'impression que le primo postant est parti fouter d’autres chats

A +

Mailou

[Adhoken]

Mais j’ai l'impression que le primo postant est parti fouter d’autres chats

Non non, je suis toujours ce sujet et le débat qui s'y présente mais je n'ai pas encore assez de bagages pour y participer activement T_T

Et sinon oui, je me concentre davantage sur un autre sujet que j'ai ouvert hier midi (https://forums.futura-sciences.com/a...e-celeste.html) sur un nouvel exercice qui me donne le vertige pour le coup...

Merci pour l'intérêt que vous avez apporté à cette première question déjà

[Mailou75]

Salut,

Non non, je suis toujours ce sujet et le débat qui s'y présente mais je n'ai pas encore assez de bagages pour y participer activement T_T

Ne crois pas ça, je n’ai accès qu’à la surface, les calculs que tu sauras faire demain je ne les comprendrais jamais. Faut se faire une raison...

Et sinon oui, je me concentre davantage sur un autre sujet que j'ai ouvert hier midi (https://forums.futura-sciences.com/a...e-celeste.html) sur un nouvel exercice qui me donne le vertige pour le coup...

Je n’y participe pas car je suis bien incapable de lire le tableau, je ne sais pas ce qu’est une anomalie vraie etc...
Pour le calcul de t je peux te proposer une démonstration de Papives (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4804770), je ne sais pas si ça correspond à ce que tu cherches ? Ne me demande pas de te l’expliquer
Et deux messages en desous, pour «voir l’excentricité», tu peux te dire que c’est un moyen de localiser le foyer le long du grand axe, elle conditionne le demi petit axe b.

Merci pour l'intérêt que vous avez apporté à cette première question déjà

Elle etait interessante. J’irais voir si je trouve la suite par les équations (pas gagné)

Bon courage pour l’autre exo et les suivants...

Mailou

[Mailou75]

Salut,

2a/R = 1 /(1- v^2/vlib^2)

Pour illustrer la formule.

Pour une masse M il existe à une distance R une Vlib. Cette Vlib sera toujours une parabole (rouge), mais différente selon l'angle de tir.
Pour une vitesse de tir inférieure (90% de Vlib, 80%... etc) on obtiendra une ellipse. Selon l'angle de tir l'ellipse sera différente mais le demi grand axe restera constant (voir distance 2a pour 0,9.Vlib).

Dans la figure de gauche on tire à l'horizontale, on voit que juste au dessus de 0,7.Vlib à exactement racine(2).Vlib=Vorb l'orbite serait circulaire, à la surface de la Terre. Au dessus de la surface ce sont des orbites réelles pour la Terre, en dessous elles sont théoriques, à moins de considérer que la Terre est un trou noir, ce qui revient au même dans les calculs de Newton. Donc entre Vlib et Vorb le point de départ se trouve au périgée (vitesse max) et de Vorb à 0 il se trouve à l'apogée (vitesse mini). A droite on tire à 45°, je vous laisse apprécier la rotation du grand axe de l'horizontale (parabole) vers la verticale.

A nouveau, ce ne sont que des verifs (suffisamment précises) mais je n'ai pas la formule exacte qui donne l'excentricité et l'angle.

A+

Mailou

[Mailou75]

La même chose avec une "dimension" de plus pour avoir les coniques de Kepler.

A gauche on voit bien que la coupe du cône par un plan horizontal donne le cercle Vorb et par un plan à 45° donne la parabole Vlib. (Je n'ai d'ailleurs pas les formules pour les hyperboles de Vlib à c, si qqun a ça je suis preneur, merci). Si on extrapole à une bille en mouvement dans un cône (sans frottements) on peut imaginer les changement de vitesse le long des ellipses, mais tout ceci est très artificiel car on suppose alors une gravité vers le bas, j'en parle donc juste pour la variation de vitesse : au dessus de Vorb le tireur est au périastre et en dessous à l'apoastre, comme déjà dit dans le dernier message.

A droite et bien... je pensais en apprendre un peu plus sur la logique de variation du plan de coupe mais ce n'est pas plus clair qu'en 2D. Je n'arrive pas à identifier de principe simple qui aurait pu donner de lui même l'équation. Tant pis il va falloir prendre de problème par le bout mathématique, je ne suis pas contre un peu d'aide, l'exercice de Adhoken doit bien avoir une solution.

Merci

Mailou

[Mailou75]

Re,

On suppose que les données sont :
M masse de l'astre
R rayon de l'astre
v vitesse de tir
angle de tir par rapport à la verticale

La relation de Alpha3 nous donne a, demi grand axe (avec Vlib²=2GM/R)



Finalement... en utilisant

ET

conservation du moment cinétique (produit vectoriel entre rayon vecteur et quantité de mouvement de la pierre)

et en passant par deux trois calculs peu ragoutants (sans doute parce que je n'ai pas pris la meilleure voie) ça se simplifie...

On trouve que l'excentricité e vaut



et que l'angle que le grand axe forme avec la verticale vaut



CQFD il me semble, je suppose qu'il y a prescription pour le rendu de l'exercice...

Mailou