Le formalisme de Newmann Penrose (NP) en RG

[ordage]

Bonjour
Voilà ce qu'en dit Chandrasekar dans son livre « The mathematcal theory of black holes »:

"`The Newman-Penrose formalism is a tetrad with a special choice of the basis vectors. The choice that is made is a tetrad of null vectors l, n, m, m* of which l and n are real and m and m* are complex conjugates of one another. The novelty of this formalism, when it was first proposed by Newman and Penrose in 1962, was precisely in their choice of a null basis.

It was a departure from the choice of an orthonormal basis which was customary till then. The underlying motivation for the choice of a null basis was Penrose's strong belief that the essential element of a spacetime is its light-cone structure which make possible the introduction of a spinor basis. And it will appear that the light-cone structure of space-times of the black-hole solutions of general relativity is exactly of the kind that makes the Newman-Penrose formalism most effective for grasping the inherent symmetries of these space-times and revealing their analytical richness.

Je n'ai pas traduit, car c'est assez simple. Comme c'est peu connu, je pense que cela mérite réflexion sur le sempiternel sujet des relations (exprimant les morphismes) entre le monde physique et sa description par les mathématiques
Cordialement
-----

[ThM55]

Chandra n'explique pas vraiment d'où vient ce formalisme. Son origine est dans la représentation spinorielle de la relativité générale. Il est possible d'exprimer tous les tenseurs utilisés en relativité générale (métrique, Riemann, Ricci, Weyl,...) comme des produits de spineurs. La tétrade nulle utilisée dans le formalisme de Newman-Penrose tire son origine très naturellement du repère de spin normalisé . Les vecteurs l, n, m et m-barre sont les 4 produits possibles des ces spineurs de base. Le formalisme spinoriel simplifie considérablement un certain nombre de choses, par exemple la classification algébrique Petrov (le tenseur de Weyl est représenté comme un spineur complètement antisymétrique). Je pense que c'est ce genre d'information qui intéressait Chandrasekhar dans son traité sur les trous noirs.

Tout cela (et bien d'autres choses) est expliqué en détail dans le traité Spinors and space-time de R.Penrose et W.Rindler. Il y a aussi Advanced General Relativity, de John Stewart, plus concis. Je ne connais malheureusement aucun équivalent en français.

[ordage]

. La tétrade nulle utilisée dans le formalisme de Newman-Penrose tire son origine très naturellement du repère de spin normalisé . Les vecteurs l, n, m et m-barre sont les 4 produits possibles des ces spineurs de base.
Le formalisme spinoriel simplifie considérablement un certain nombre de choses, par exemple la classification algébrique Petrov (le tenseur de Weyl est représenté comme un spineur complètement antisymétrique). Je pense que c'est ce genre d'information qui intéressait Chandrasekhar dans son traité sur les trous noirs.
Tout cela (et bien d'autres choses) est expliqué en détail dans le traité Spinors and space-time de R.Penrose et W.Rindler. Il y a aussi Advanced General Relativity, de John Stewart, plus concis. Je ne connais malheureusement aucun équivalent en français.

Bonjour
Merci pour les précisions et références.
Concernant l'anti-symétrie du tenseur de Weyl (qui est un tenseur conforme à 4 indices dont toutes les traces sont nulles), il possède des anti-symétries (héritées du tenseur de Riemann) sur les permutations entre le premier et le deuxième indice et le troisième et le quatrième dans le formalisme tensoriel habituel. Mais il ne serait pas totalement anti-symétrique dans ce formalisme tensoriel habituel si je comprends bien ta phrase alors qu'il le serait dans le formalisme spinoriel?
Cordialement

[ThM55]

Vous avez raison, mon assertion manque de précision. En fait, le tenseur de Weyl est en partie antisymétrique et comme toute paire d'indices antisymétrique se factorise en produit de spineurs de la structure symplectique. Le reste est complètement symétrique et non antisymétrique comme je l'ai écris plus haut.

Ce qui se passe alors est très simple: si est le tenseur de Weyl, à chaque indice d'espace-temps correspond une paire d'indices spinoriels et on peut écrire (en majuscules les indices spinoriels):



(cette expression reprend toutes les symétries du tenseur de Weyl; on ajoute le spineurs complexe conjugué pour avoir un tenseur réel, mais toute l'information est présente dans le premier terme).

Ici est le spineur symplectique 2x2 constant (ne contenant aucune information géométrique) et la partie variable est un spineur complètement symétrique.

Pour en voir l'intérêt, il faut connaître un théorème sur les spineurs complètement symétriques: ils se réduisent toujours à un produit symétrisé de spineurs à un indice, contrairement aux tenseurs. C'est ce théorème qui rend les calculs plus simples:

. Les spineurs donnent les directions nulles principales.

La classification de Petrov revient simplement à distinguer les cas où tous ces spineurs sont distincts de ceux où deux ou plus coïncident. Il est facile à partir de là de retrouver les résultats que Chandrasekhar déduit de manière beaucoup plus compliquée dans la section 9 de son chapitre 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ordage]

Bonjour
Merci pour ton calcul très argumenté (il faut une tout de même une bonne connaissance mathématique pour l'apprécier - j'avoue que je suis un peu juste, je vais réviser) qui explique pourquoi les calculs sont plus simples. Ce qui rejoint la remarque de Chandrasekhar au sujet d'une meilleure adéquation du formalisme NP aux symétries du phénomène : il exploite des symétries qui n'étaient pas révélées par le formalisme classique. Comme on suppose un morphisme entre le formalisme mathématique qui décrit un phénomène et le phénomène physique lui-même, ce formalisme permet un progrès dans la connaissance du phénomène.
J'avais eu l'occasion de poser une question à Penrose sur ce formalisme NP lors d'un séminaire à l'IHP, il y a quelques années, où il faisait une conférence sur les twistors (à l'ancienne, avec transparents supportant un texte et schémas au feutre de couleur- ce qui a nécessité de trouver un rétro-projecteur- heureusement il y a des antiquaires dans le quartier). Pour lui , ce formalisme a été une parenthèse sans suite. Dommage..
Cordialement