Souci avec la masse d'un astre sphérique et statique

[mach3]

Bonjour,

Suite à cette discussion : https://forums.futura-sciences.com/p...-de-terre.html , je me suis intéressé plus en détail à la métrique d'un espace temps statique de symétrie sphérique non vide et je suis tombé sur un point qui pour l'instant me dérange.

Je pars de l'expression de la métrique
(avec A<0, C>0, des fonctions de r uniquement)

Et j'aboutis aux expressions suivantes (merci maxima) pour la densité d'énergie , la pression dans la direction radiale et la pression dans la direction orthoradiale :




(la dérivée par rapport à r étant noté avec un ' )

J'ai commencé par m'intéresser à la première. Si on considère , on a comme solution , avec une constante d'intégration dont le signe n'est pas contraint mathématiquement.

Pour considérer le cas où est une fonction non nulle de r, j'ai simplement testé la même solution mais en considérant que est une fonction de r, et ça donne :


Si on note une fonction de r telle que , on a :

Et si on intègre :
, avec une constante d'intégration

Donc

La notation "M" est bien sûr choisie à dessein vu que c'est l'intégrale de la densité sur le volume de la sphère de rayon aréal r (et donc de surface ) : s'il n'y avait pas de courbure, il s'agirait de la masse (au facteur c² près) au sens classique. Ici les variations de r n'étant pas tout à fait des distances, la "vraie" masse (au sens de l'intégrale de la densité sur un volume) n'est pas tout à fait M.
Ce qui m'ennuie c'est la présence de cette constante alors que je m'attendais à trouver le fameux . Je n'ai pas encore trouvé un argument satisfaisant pour considérer qu'elle est nulle.

Pire, si on se place dans une solution du vide (Schwarzschild), elle est utile, car elle permet de "simuler" la masse. En effet, dans ce cas, la fonction M est nulle (il n'y a pas de densité d'énergie à intégrer sur un volume : elle est nulle), il ne reste donc de que la constante et par comparaison avec les effets gravitationnels présent (accélération propre des immobiles en fonction de r, période propre des orbites circulaires en fonction de r), on l'assimile à l'opposé de la masse d'un astre "absent" multiplié par 2G.

Du coup si "on" se permet un tel bricolage pour la solution du vide, qu'est-ce qui empêche qu'on fasse de même quand il y a un astre, et donc d'avoir des effets gravitationnels qui ne dépendent pas de 2GM, mais de avec fixée arbitrairement, ce qui décorrèle la masse de l'astre (au sens intégral de la densité sur un "volume") de ses effets gravitationnels.

Il possible que l'argument convaincant vienne de l'exploitation des équations concernant la pression, ce que je ferais prochainement, mais si en attendant quelqu'un a un argument pertinent pour donner une valeur systématiquement nulle pour , je serais intéressé.

m@ch3
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[mach3]

Je crois que j'ai trouvé. Prendre différent de 0 donne une dérivée de C qui tend vers une valeur non nulle quand r tend vers 0. Cela signifie qu'en revenant à des coordonnées types cartésiennes, la dérivée de C par rapport à x change brusquement de signe en x=0 quand on suit la ligne y=z=0. Donc dérivée seconde non définie, donc Riemann non défini.
Si , alors la dérivée de C tend vers 0 en r=0 et sa dérivée seconde est bien définie.

m@ch3