dilatation temporelle au centre de la Terre

[Nous]

hello
je me penche sur la section Effets_théoriques_sur_la_Terre ### article mis à jour depuis, voir https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post7281010 pour un lien vers la version de l'article contemporaine du début de ce fil ###
on y lit que les résultats "attendus" (on n'ira pas vérifier!) divergent: le centre de la Terre pourrait être plus jeune ou plus vieux
Qu'en est-il?
Sinon, on pourrait couper la Terre dans les trois directions, le centre est alors à la surface des 8morceaux obtenus. Les morceaux ne sont pas sphériques mais on peut approximer chaque morceau par des boules, une grosse (tangente aux côté d'un tétraèdre, centre situé aux 3/4 du sommet) et des petites (idem tangentes aux tétraèdres) pour représenter les portions restantes, la précision du résultat dépendant du nombre de boules considérées. Ce calcul a-t-il déjà été effectué?

Le calcul me parait faisable (que fait-on des dilatations obtenues pour chaque boule, on les ajoute?) mais du coup je ne comprends pas ce qui peut créer un paradoxe, à priori avec un tel calcul, on doit pouvoir trancher si le centre de la Terre est plus jeune ou plus vieux. J'ai loupé quelque chose?
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[mach3]

Un ancien fil proche du sujet : https://forums.futura-sciences.com/d...-de-terre.html

m@ch3

[Nous]

si j'ai bien compris, je reprends le graphique:

en couleur, des photons qui 'tombent' en direction du centre et s'arrêtent sur un capteur. En bleu le photon arrive blueshifté, en vert pas de décalage, en rouge il arrive redshifté

Si on considère qu'on est au centre de l'univers observable (dont on ne peut s'extraire), quelle part du redshiftage de part ce processus compose le décalage en fréquence des photons nous parvenant du cosmos?

[mach3]

Le redshift ne dépend pas du champ de gravitation mais de la différence de potentiel gravitationnel (en première approximation). Il faut prendre l’integrale de la courbe jointe pour raisonner avec les redshift.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nous]

s'il faut intégrer, les photons cosmologiques devraient être blueshiftés alors?

si le photon traverse de part en part, il devrait être blueshifté, alors que c'est sûr, il est redshifté

[mach3]

Je ne comprends ni le schéma ni le raisonnement.

Si la Terre était transparente, alors un photon entrant à sa surface à une certaine fréquence aurait cette même fréquence en sortant par la surface opposée, simplement par symétrie.

Les photons arrivant sur Terre depuis l’espace sont légèrement blueshités mais ça se joue au 10e chiffre après la virgule (le ratio entre le rayon de la Terre et le rayon de Schwarzschild de la Terre étant de l’ordre du milliard) un photon à 1GHz ne gagnant même pas 1Hz.

Pour le désaccord relaté dans Wikipédia il faudrait pouvoir lire la source pour comprendre de quoi il s’agit exactement. Il est quasiment certain qu’en première approximation le centre est plus "jeune" et que la surface serait vue blueshifté depuis le centre (sûrement de l’ordre du milliardieme encore, mais ca fait bien des années face aux 5 milliards d’années de la Terre).

m@ch3

[Nous]

pour connaître le décalage du photon, tu dis qu'il faut intégrer la surface sous la courbe, du coup un photon serait toujours blueshifté...
On va dire que ta langue a fourchu, du coup je retiens qu'il dépend de la différence de potentiel gravitationnel, et du coup on peut décrire le décalage comme dans le schéma du message 3: lorsque les potentiels sont égaux au départ et à l'arrivée, il n'y a pas de décalage (photon vert). Mais alors les photons de l'espace proche arrivent redshiftés au centre de la Terre, et non blueshiftés. S'ils arrivent de l'infini, le potentiel est nul à l'infini ainsi qu'au centre de la Terre, ils ne seraient pas décalés

[mach3]

La courbe donnée est la valeur du champ en fonction de r.
L’effet Einstein dépend de la différence de potentiel gravitationnel (au 1er ordre).
Au signe près, le potentiel gravitationnel en fonction de r s’obtient en intégrant le champ de 0 à r, parce que le champ est le gradient de ce potentiel (et parce qu'il y a symétrie sphérique).
Le champ est toujours centripète que ce soit au-dessus ou en-dessous de la surface, donc le potentiel est strictement croissant en partant du centre, que ce soit au-dessus ou en-dessous de la surface.
Donc la fréquence de la lumière augmente quand son mouvement est centripète, que ce soit au-dessus ou en-dessous de la surface.

C’est plus clair comme ça ?

m@ch3

[mach3]

J'essaie de regarder formellement pour voir si Okun ou Rybicki peuvent avoir raison.
On prend une métrique statique à symétrie sphérique, de type
(avec A<0)

Si la fréquence d'un photon augmente constamment en descendant, on s'attend à A'<0 (avec ' la notation de la dérivée par rapport à r), c'est à dire que A est strictement décroissante avec r croissant (comme c'est le cas en métrique de Schwarzschild pour r>2M où A=2M/r-1).

Le tenseur énergie-impulsion résultant est diagonal et ses composantes tt et rr sont :


Source : http://www.dma.ufv.br/maxima/index.php en entrant le code ci-dessous

 Cliquez pour afficher

load(ctensor);
dim:4;
ct_coords:[t,r,theta,phi];
depends ([A, C], r);
lg:matrix([A,0,0,0],[0,C,0,0],[0,0,r^2,0],[0,0,0,(r*sin(theta))^2]);
cmetric();
christof(mcs);
ricci(true);
leinstein(true);

La 4-vitesse u d'un immobile (r, theta, phi constants) à pour composantes

(on a bien g(u,u) = -1, ce qui est attendu pour une 4-vitesse)
Un 4-vecteur radial unitaire orthogonal à u à pour composantes

(on a bien g(v,v) = 1, ce qui est attendu pour un 4-vecteur unitaire orthogonal à la 4-vitesse

On peut ensuite calculer la densité d'énergie, T(u,u) :

et la pression, T(v,v) :


On exige que la pression P soit positive, donc comme , cela impose et donc :

Une situation assurant A'<0 est C-1>0 car A<0 et r>0.

Si on exige que la densité d'énergie soit positive, comme , cela impose et donc :



Si -C'r/C>0, alors C-1>0 donc A'<0.
Comme C>0 et r>0, cela signifie que C'<0.

Pour résumer, si C'<0, donc C strictement décroissant avec r, alors la fréquence d'un photon augmente constamment en descendant. Par contre si par endroit C pouvait être croissant, il serait possible d'avoir une diminution de fréquence en descendant à cet endroit (mais pas obligé).

Je n'ai pas encore d'avis sur la possibilité de C'>0.
Il y a peut-être une contrainte plus stricte à trouver.
Pas exclu qu'il y ait des coquilles.
A suivre.

m@ch3

[Nous]

ok, la courbe représente le champs gravitationnel (en 1/r² au delà de la surface) et on intègre pour avoir le potentiel (en 1/r au delà de la surface), l'intégration totale est finie, le décalage (vers le bleu) est fini
Pour l'univers observable, il faudrait intégrer une courbe sous la surface pour estimer le décalage d'un photon venant des confins de l'univers. Dans le modèle actuel, si j'ai bien compris, la masse de l'univers observable diminue (avec le temps et la densité diminue) au cours du trajet du photon. Mais là aussi on intègre, on devrait obtenir un décalage vers le bleu, non?
Existe-t-il un graphique similaire du champs (ou du potentiel) de l'univers observable? en abscisse il y aurait arbitrairement t ou r

[mach3]

Pour l'univers observable, il faudrait intégrer une courbe sous la surface pour estimer le décalage d'un photon venant des confins de l'univers.

Comme dit plus haut, ça se joue au milliardième de la fréquence.

Dans le modèle actuel, si j'ai bien compris, la masse de l'univers observable diminue (avec le temps et la densité diminue) au cours du trajet du photon. Mais là aussi on intègre, on devrait obtenir un décalage vers le bleu, non?
Existe-t-il un graphique similaire du champs (ou du potentiel) de l'univers observable? en abscisse il y aurait arbitrairement t ou r

Si on considère une situation non statique (univers en expansion), ça devient plus compliqué. On ne peut plus définir de potentiel gravitationnel comme on le fait dans une situation statique. Il faut raisonner avec les outils généraux (transport parallèle le long d'une géodésique nulle), les raccourcis permis par la staticité ne sont pas utilisables.

Après avec les mains, comme ce qu'on voit c'est le passé, et que le passé est plus dense que le présent, c'est comme si les photons devaient remonter un potentiel et ils arrivent donc décalés vers le rouge (noter que le léger blueshift dû à la "chute finale" dans le potentiel de la Terre est totalement négligeable devant les redshifts cosmologiques).

m@ch3

[mach3]

Je recommence, j'ai trouvé mieux comme preuve pour le blueshift au centre d'un astre

On prend une métrique statique à symétrie sphérique, de type
(avec A<0, C>0, A et C fonction de r uniquement)

Si la fréquence d'un photon augmente constamment en descendant, on s'attend à A'<0 (avec ' la notation de la dérivée par rapport à r), c'est à dire que A est strictement décroissante avec r croissant (comme c'est le cas en métrique de Schwarzschild pour r>2M où A=2M/r-1).

La composante en r de la 4-accélération, via l'équation des géodésiques en r donne :


Source : http://www.dma.ufv.br/maxima/index.php en entrant le code ci-dessous

 Cliquez pour afficher

load(ctensor);
dim:4;
ct_coords:[t,r,theta,phi];
depends ([A, C], r);
lg:matrix([A,0,0,0],[0,C,0,0],[0,0,r^2,0],[0,0,0,(r*sin(theta))^2]);
cmetric();
christof(mcs);
cgeodesic(true);
ricci(true);
leinstein(true);

Considérons un immobile, sa 4-vitesse a pour composantes et sa 4-acceleration a pour composantes . La symétrie sphérique impose (pas d'accélération orthoradiale pour un immobile en symétrie sphérique). L'orthogonalité entre 4-vitesse et 4-accélération impose . Ne reste que .
Le carré scalaire de la 4-accélération, est donc . Il vient donc que l'accélération propre de l'immobile est . Cette accélération propre est centrifuge, donc , afin de s'opposer à la pesanteur qui est centripète et ainsi maintenir l'immobile... immobile.

Comme (la variation de r est nulle et reste nulle pour un immobile), il ne reste dans l'expression de la composante en r de la 4-acceleration :


Comme A<0 et C>0, il faut impérativement que A'<0 pour avoir

Ainsi, une pesanteur toujours centripète impose nécessairement que A soit une fonction décroissante de r. Or, étant le rapport entre le temps propre d'un immobile et le temps coordonnée t, la décroissance de A impose que ce rapport soit justement croissant avec r. Ainsi un même intervalle de temps coordonnée, il s'écoule plus de temps propre pour un r élevé que pour un r faible : le centre est donc nécessairement plus jeune si la pesanteur est bien centripète partout, contrairement à ce que l'article de wikipédia fait dire à Okun ou Rybicki (faudrait avoir accès au papier pour savoir si c'est messieurs disent vraiment cela, et si c'est le cas ils se trompent lourdement et la référence à leurs papiers n'ont rien à faire là).
On retrouve en tout cas bien l'approximation comme quoi l'effet Einstein est lié à la différence de potentiel, le potentiel étant A, sa dérivée A' est bien lié à l'accélération a^r, au facteur 1/AC près (égal à 1 dans le vide et proche de 1 dans les couches extérieures d'un astre).

La seule façon pour avoir un centre plus vieux, ce serait que la pesanteur deviennent centrifuge près du centre, et suffisamment pour compenser toute la partie où elle est centripète. Cela n'est pas permis par le théorème de Gauss.

Affaire classée donc et même pas besoin d'aller jusqu'au tenseur énergie-impulsion.

m@ch3

[Nous]

La seule façon pour avoir un centre plus vieux, ce serait que la pesanteur deviennent centrifuge près du centre, et suffisamment pour compenser toute la partie où elle est centripète

Dans le graphique, la pesanteur n'est-elle pas centrifuge dans le inner+outer core, et centripète sinon?
Si l'on fait partir un photon de la limite coeur/manteau vers le coeur ou le manteau, le décalage n'est-il pas vers le rouge? et bleu dans l'autre sens?
photons qui tombent 4.jpg

[mach3]

Dans le graphique, la pesanteur n'est-elle pas centrifuge dans le inner+outer core, et centripète sinon?

Non, elle est toujours centripète. Le graphique montre la norme de l'accélération de la pesanteur en fonction de la distance au centre.
L'accélération de la pesanteur est un vecteur, et ce vecteur est le gradient du potentiel de gravitation.
A cause de la symétrie sphérique, ce vecteur ne peut être que radial (il y a là une légère approximation car en vrai la Terre n'étant pas tout à fait sphérique, il peut y avoir une petite composante orthoradiale, mais négligeable -nulle dans le plan équatorial et l'axe de rotation- et sans impact pour le raisonnement qui suit), donc s'il doit passer de centripète (orienté vers les petites valeurs de r) à centrifuge (orienté vers les grandes valeurs de r), il doit obligatoirement être nul à un certain r, donc sur le graphique on devrait avoir une valeur nulle pour la norme de l'accélération de la pesanteur à la valeur de r où l'accélération de la pesanteur passe de centripète à centrifuge.
A part au centre et à l'infini, cette norme n'est jamais 0, donc entre le centre et l'infini, le vecteur accélération de la pesanteur est toujours dans la même direction : centripète.

Et cela sans compter l'absurdité d'une accélération de la pesanteur centrifuge ! En un point d'un astre de symétrie sphérique, la gravitation de la coquille sphérique située au-dessus du point s'annule exactement et il n'y a que la gravitation de la sphère sous la coquille qui compte (c'est le théorème de Gauss), et cette gravitation ne peut être qu'attractive, donc l'accélération de la pesanteur est forcement centripète.

D'après la RG, le décalage est vers le bleu quand r diminue, pour toutes les valeurs de r, dans tous les cas statique à symétrie sphérique, c'est démontré au post 12 et sauf erreur, la conclusion n'est pas discutable.

En passant, j'ai pu lire le papier de Rybicki et il contient des erreurs qui mènent à une conclusion fausse. Ce papier devrait être rétracté.

m@ch3

[mach3]

L'article wikipédia a été modifié depuis le début de la discussion et ne contient plus les liens vers les publications de Okun et Rybicki. Pour les lecteurs qui veulent avoir le contexte du début de ce fil (et éventuellement jeter un oeil aux "travaux" de ces "chercheurs"), un lien vers l'ancienne version : https://fr.wikipedia.org/w/index.php...s_sur_la_Terre

m@ch3

[Nous]

ravi d'avoir participé à une modification en live et motivée du wiki

la conclusion n'est pas discutable.

ok, maintenant j'aimerais savoir de quelle symétrie on parle. On a le résultat suivant (un photon qui s'en va dans l'espace 'perd' de l'énergie)
photon qui remonte 1.jpg
intuitivement, par symétrie, j'obtiens ensuite celui-ci
photon qui remonte 2.jpg
puis
photon qui remonte 3.jpg
Si ce dernier est faux, c'est que l'une des deux précédentes symétries est fausse. Mais si l'une des deux est fausse, j'ai tendance à dire que l'autre doit aussi l'être, du coup on retomberait sur les pieds d'une contradiction..

[mach3]

C'est tout faux.

Il faut arrêter de raisonner avec l'accélération de la pesanteur.

m@ch3

[Nous]

Il faut arrêter de raisonner avec l'accélération de la pesanteur.

visiblement! n'empêche que la symétrie basée sur le champs d'accélération devient étrange, j'aurais tendance à dire qu'une symétrie complexe (à base d'imaginaire pur) devient nécessaire. Est-ce que, par hasard, 'dériver d'un potentiel' (ou 'intégrer un champs') signifie faire intervenir les complexes? la culbute est-elle permise à l'aide de la métrique à 4dimensions? En l'occurrence, la dimension temporelle ne pourrait-elle pas se projeter sur 3dimensions, par symétrie avec les dimensions dites spatiales, et notre géométrie sur une base à 6dimensions géométriques, 3réels et 3imaginaires pures aussi symétriques que le permet la transfo r²-t²=0 en -r²+t²=t²-r²=0?

Après tout, si la symétrie liée au potentiel, sphérique, est intuitive, d'avantage que celle que l'on associerait au champs dont il dérive, cela ne signifie pas qu'elle soit forcément fondamentale. S'il faut définir la symétrie liée à la gravitation via son champs, il se pourrait qu'il faille revoir la géométrie, dont une métrique à 4dimensions en serait une approximation..

Attention, je ne suis pas en train de critiquer la symétrie liée au potentiel, je veux 'juste' discuter son caractère fondamental et poser la question de notre géométrie si l'on retenait d'avantage la symétrie liée au champs

[mach3]

Inutile de chercher compliqué (ou complexe...). On considère un cas stationnaire, donc on peut oublier le temps (d'ailleurs dans un cas non stationnaire, le potentiel devient au mieux inutile, au pire non défini).

Le potentiel est un champ scalaire, c'est à dire qu'il y a une valeur réelle en chaque point de l'espace. C'est une fonction, mais au lieu de prendre une valeur sur un axe et y associer une image on prend la "valeur" dans l'espace. Si à chaque point de l'espace on associe un triplet (x,y,z ou r,theta,phi, ou autre, selon la commodité), alors c'est une fonction de 3 variables.
Comme une fonction de 1 variable, une fonction de 3 variables, ça se dérive, mais comme c'est à 3 variable, le concept de dérivée est plus complexe, on a la dérivée directionnelle (la dérivée quand on se déplace le long d'un axe de l'espace), les dérivées partielles qui sont des cas particuliers de dérivée directionnelle (direction le long de x à y et z constant par exemple) et le gradient qui regroupe toute les informations permettant de connaitre n'importe quelle dérivée directionnelle. Ce dernier est un vecteur. Le gradient du potentiel est orthogonal aux surfaces équipotentielles (surfaces constituées de points de l'espace qui sont au même potentiel) et donc pointe dans la direction où le potentiel augmente le plus, et sa norme est la dérivée du potentiel dans la direction où il augmente le plus. Le champ gravitationnel est par définition l'opposé du gradient du potentiel gravitationnel (en mécanique classique, mais qualitativement c'est pareil en RG inutile de compliquer en parlant de métrique à ce stade), il pointe dans la direction où la potentiel diminue le plus.

Dans le cas d'une symétrie sphérique, les équipotentielles sont des sphères de même centre et donc le gradient du potentiel est toujours radial (la surface d'une sphère est toujours orthogonale à son rayon). Si le potentiel augmente du centre vers la périphérie, son gradient est centrifuge, ce qui implique que le champ gravitationnel est centripète. Le potentiel est minimal au centre, donc sa dérivée est nulle dans toutes les directions : le champ est donc nul (exception : si le potentiel n'était pas dérivable au centre, le champ de gravitation n'y serait pas défini).

Parcourons le potentiel le long d'un axe x passant par le centre en x=0, en partant de valeurs de x très négatives. D'abord le potentiel baisse, donc il y a un champ pointant vers les x positifs (vers le centre donc vu x est négatif pour l'instant), et si le potentiel baisse plus vite, le champ est plus fort et inversement. Quand on arrive vers x=0, le potentiel baisse de moins en moins vite, donc le champ, toujours vers les x positifs donc le centre, est de plus en plus faible, le potentiel atteint son minimum en x=0, le champ est alors nul, puis le potentiel réaugmente lentement quand on progresse dans les x positifs : le champ est maintenant dirigé vers les x négatifs, mais comme on est dans les x positifs, il pointe toujours vers le centre. Le potentiel va continuer d'augmenter et le champ de pointer vers le centre si on continue d'avancer vers des valeurs de x très positives, le champ étant plus fort si le potentiel augmente vite et inversement.

Pour mieux visualiser, on peut tracer le potentiel en fonction de x (l'allure sera celle de -1/(x²+1), grosso merdo), et la projection du vecteur champ de gravitation sur l'axe des x (l'allure sera celle de -2x/(x²+1)²).

m@ch3

[Nous]

Merci pour cet effort de vulgarisation
Pas de problème pour la symétrie liée au potentiel, sphérique, on peut facilement la décrire à la main, et le décalage du photon s'expliquant facilement en 2D il s'explique en 3D par simple rotation, la symétrie est évidente, 'non discutable'
je voulais parler d'une éventuelle symétrie liée au champs, éventuellement fondamentale, effectivement en apparence plus compliquée: cependant si les 6D sont couplées par paires (r²-t²=0), la 'dimension temporelle' peut tout à fait apparaître telle une dimension spatiale comme une autre (les mouvements et rotations se projettent sur ces dimensions couplées (rx, tx, ou rx, ty peu importe tant qu'elles sont couplées), ce qui donne l'apparence 3D euclidienne du monde que l'on connaît, et d'une quatrième dimension, que l'on connaît pour être de type temporelle, liée à ces dernières par r²-t²=0, tout en étant potentiellement projetable en 3D). En un sens elle n'est pas forcément plus compliquée qu'une géométrie 4D où la 4ème, celle du temps, demande de l'abstraction pour être représentée (cet espace 4D n'est pas euclidien)
Bon, c'est un questionnement personnel sur la possible interprétation des décalages de photon en ne considérant que le champs gravitationnel, et non son potentiel. J'essaye en fait de contredire un raisonnement que je fais par ailleurs, notamment notre géométrie serait composée de 6D (2x3D donc, mais en fait ces 6D sont elles-mêmes issues d'une projection d'un bien plus grand nombre de dimensions): le modèle actuel s'en sort via le potentiel, le mien s'en sortirait via le champs

Je n'ai pas l'étude sous la main, mais je sais que l'on se demande combien de dimensions a notre géométrie et le cas 6D n'est pas exclu. Si l'on devait faire de la physique en géométrie 6D, je me demande à quoi elle ressemblerait dans les faits, est-ce que l'on considérerait toujours un potentiel sphérique (on pourrait toujours le faire en se restreignant à 3D, puis en y ajoutant le temps), ou considérerait-on une symétrie 'compliquée' où les dimensions de notre monde 3D sont en fait des couples de dimensions? Je pose la question, mais on n'a pas la question, seul le modèle 4D est étudié...

[mach3]

A moins de citer des références précises dans des revues à comité de lecture, on va devoir arrêter là, parce qu'on sort des idées et théories qui font consensus.

6c. Toutes idées ou raisonnements (aussi géniaux soient-ils) doivent reposer sur des connaissances scientifiques ou techniques valides et non sur de vagues suppositions personnelles, basées sur d’intimes convictions. L’un des objectifs de Futura-Sciences étant la vulgarisation scientifique de bon niveau, ce n’est pas le lieu pour des questionnements ou remises en cause de théories admises dont seuls des spécialistes ont les compétences pour débattre, ni pour l’exposé de théories strictement personnelles. Une telle démarche aurait sa place uniquement dans un séminaire ou un congrès scientifique.

Parler ici de ce que prédisent différentes théories publiées quant au redshift à l'intérieur d'un astre, pas de problème. Par contre, impossible si c'est une théorie personnelle.

mach3, pour la modération

[Nous]

bon je ne vais pas retrouver l'article qui regroupe les possibilités du nombre de dimensions, d'ailleurs sous la forme de couple de dimensions de type t et r, seul un certain nombre de couples était autorisé. rien n'empêche de considérer qu'une dimension peut être la composée de deux ou trois autres, tout dépend si l'on veut creuser le vecteur résultant
effectivement il faudrait que je retrouve l'article pour que ce que je raconte soit moins personnel. J'ai du croire que cet article, ou ses résultats, étaient connus de ceux qui s'attaquent à la physique théorique, tout dépend si on peut en faire ici. S'il s'agit de symétries, leur considération est essentielle

[mach3]

Un dernier message pour "cloturer" cette discussion qui avait éveillé en moi un doute sur l'affirmation selon laquelle il y aurait forcément décalage vers le rouge de lumière en déplacement centrifuge dans un astre sphérique et statique.
Peut-il exister, au moins en principe, une configuration sphérique et statique dans laquelle il y a décalage vers le bleu pour de la lumière en déplacement centrifuge, ne serait-ce que sur un tout petit intervalle ?
Cette configuration statique sphérique pourrait-elle être réalisée en pratique ?
La réponse à la première question est oui (de manière peut-être surprenante)
La réponse à la seconde question est non (avec une très haute probabilité compte-tenu des connaissances actuelles sur les matériaux).

Le point de départ est de considérer une métrique sphérique statique générique :



La condition pour avoir un blueshift sur de la lumière en déplacement centrifuge est d'avoir décroissant quand r augmente ().

Le calcul du tenseur d'Einstein correspondant donne les composantes suivantes (la dérivée par rapport à r étant dénotée par un prime ' ) :






L'équation d'Einstein permet le lien avec la densité d'énergie , la pression radiale et la pression orthoradiale (on se place dans le cas le plus général à symétrie sphérique, avec possiblement des contraintes anisotropes) :





La divergence nulle du tenseur d'Einstein n'ajoute pas de contrainte supplémentaire, mais permet de remplacer la dernière équation des trois par une autre, plus simple. Un astre sphérique et statique est donc décrit par les 3 équations suivantes :





La première équation se résout en posant M, une fonction de r, qui vaut 0 en r=0 (au centre) et dont la dérivée est . C'est simplement la masse (enfin l'énergie, au facteur c² près) contenue dans la sphère de rayon r. En toute rigueur c'est une masse "apparente" parce que r n'est pas la distance au centre mais le rayon aréal, néanmoins à part pour des cas extrêmes, cette masse apparente (qui est celle prise en compte pour déterminer les orbites de corps autour de l'astre) est très proche de la masse réelle. La solution, toujours positive, est :


Si on réarrange la seconde équation en utilisant la solution à la première, on aboutit à :



On peut considérer une sorte de densité d'énergie moyenne sur un (presque) volume d'une sphère de rayon r, telle que , ainsi on a :



Pour avoir , il suffit d'avoir :



Il est donc possible, en principe, d'avoir décroissant quand r augmente et donc un blueshift sur de la lumière en déplacement centrifuge.

Qu'en est-il en pratique ? La pression radiale et/ou la densité d'énergie doivent être négatives (et surpasser l'autre s'il est positif) pour que cela arrive.
Déjà, pour une densité d'énergie négative dans un astre sphérique statique, il va falloir se lever de bonne heure (il y a bien des entités postulées avec densité d'énergie négative, comme l'énergie noire, mais ce n'est pas un matériau donc pourrait être majoritairement fait un astre sphérique et statique), donc il ne reste que la pression radiale qui est une tension quand elle est négative (on pourrait imaginer un astre dans lequel un matériau est tendu radialement, du centre vers la surface).
Parmi les matériaux connus aujourd'hui, la plus grande tension jamais mesurée avant rupture est de 63 GPa (nanotubes de carbone), donc on peut dire
La plus petite densité d'énergie connue à ce jour pour un matériau condensé (nécessaire si on veut qu'il puisse être tendu), est dans les (aerographene, 160g/m³), donc
On a donc un gap de 5 ordres de grandeurs pour arriver à .
En pratique donc, en considérant les matériaux connus à l'heure actuelle, il est impossible d'avoir un astre sphérique statique dans lequel est décroissant quand r augmente et donc un blueshift sur de la lumière en déplacement centrifuge (même sur un tout petit intervalle).

m@ch3