Refroidissement d'un alliage de titane

[Pelosaure]

Bonjour,

Pour un projet, je dois estimer la durée de refroidissement d'un alliage de titane (TA6V). Un lopin est chauffé à 900°C et j'aimerais avoir un ordre de grandeur du temps nécessaire pour atteindre 20°C.
J'aurais bien voulu appliquer la loi de refroidissement de Newton mais je ne trouve pas le coefficient de refroidissement pour mon alliage. De plus avec tous les changements de phases, je pense que la vitesse de refroidissement ne sera pas la même pour chaque plage de température...

Merci pour votre aide
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[RomVi]

Bonjour

Pour estimer un coefficient d'échange il faudrait en savoir un peu plus. Il est évident que le lopin se refroidira plus vite si il est plongé dans l'eau que laissé à l'air libre.

[Pelosaure]

En effet dans mon cas il s'agit d'un refroidissement passif à l'air libre (Température 20°c)

[RomVi]

Est il possible d'avoir la forme de la pièce ? Quelle est la température de l'environnement (température de l'air et des parois environnantes) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pelosaure]

La pièce est un lopin circulaire de diamètre 15mm et de longueur 250mm. Je cherche juste à avoir un ordre de grandeur du temps de refroidissement. Je ne prends pas en compte le fait que la pièce soit posée sur une surface lors du refroidissement (ces paramètres avancés seront pris en compte lors d'une simulation numérique plus tard). L'air est à environ 20°C et j'aimerais une formule qui donne la durée pour passer de 900°C à une température quelconque T_fin.
J'avais trouvé cette formule : T(t) = T_env + (T(0) - T_env)*exp(-r*t)
Cependant je sais pas si cette formule s'applique à mon cas au vu des changements de phases de l'alliage Ta6V lors de son refroidissement. Et je n'arrive pas non plus à trouver une valeur pour r.

[Pelosaure]

Bon j'ai trouvé une expression de r. r = (h*A)/(m*c).
m (masse), A (surface d'échange), c (capacité thermique) sont des données connues.
Mais je ne suis pas sûr de mon calcul pour h. J'ai h = Q/DT avec q le flux de chaleur qui vaut 500W/m² dans le cas de convection libre par l'air et deltaT la différence de température entre ma pièce et l'air. Est ce que je peux prendre deltaT constant (900°C - 20°C = 880°C) ou faut-il le faire varier ?
Merci

[RomVi]

Oui on peut simplifier la formule de cette façon, par contre h ne sera pas constant.

On peut estimer la part convective avec la formule suivante : hc = 1.32 * (Dt / 0.015)^0.25
Il ne faut pas oublier la part radiative, qui vaut hr= (T_piece^4 - T_ambiant ^4) * S * e * sigma
- T_piece et T _ambiant en K
- S en m²
- e = emissivité de la pièce, sans unité
- sigma = Cste de stefan Boltzmann = 5.67 * 10^-8

Il faut bien sur faire varier les températures dans la formule au fur et à mesure que celle ci descend. Le plus simple est de faire une feuille de calcul sur Excel.

[Pelosaure]

Merci pour ces indications. Je vais essayer ça sur Excel !

[Pelosaure]

J'ai écrit un peu de code pour simuler le refroidissement avec un petit pas de temps mais les résultats me paraissent bizarres même si la tendance de la courbe semble juste.
Est ce que la formule vous parait correcte ?
Merci

Refroidissement_code.PNGRefroidissement.png
Dans ces captures, le pas est de 0.01sec

[RomVi]

En principe on obtient ce genre d'oscillation à cause d'un pas trop grand, mais si tu as pris 10 ms ça ne devrait pas se produire. Je suppose qu'il y a une erreur dans ta ligne de calcul.

[gts2]

L'erreur est à la ligne

T.append(Tenv + (T0-Tenv)*np.exp(-t[i]/tau))

1- Si h est variable, on n'a plus de loi exponentielle
2- Comme vous avez divisé le temps en dt petit, vous résolvez numériquement l'équation différentielle :

Si dT/dt=f(T), cela se traduit par dt=t[i+1]-t[i], ce que vous avez fait, mais aussi dT=T[i+1]-T[i], soit T[i+1]=T[i]+f(t)*dt
Vous devez le terme entre parenthèse de votre ligne fautive par ce calcul.

[RomVi]

L'erreur est à la ligne
T.append(Tenv + (T0-Tenv)*np.exp(-t[i]/tau))

Et comment peut on voir cette ligne ? Dans le message je ne vois que l'image d'une courbe.

[gts2]

J'ai cliqué sur refroidissement_code.png

[RomVi]

Désolé à cause du manque d'espace je n'avais pas vu qu'il s'agissait de 2 images différentes...

[Pelosaure]

Merci pour votre réponse.
Après implémentation ça marche, plus d'oscillations.

Refroidissement.png
Refroidissement_code.PNG

[Pelosaure]

Juste pour être sûr, dans l'équation différentielle T'(t) = -[h(T)*S/(m*c)] * (T - Tenv),
Le coefficient h(T) = hc + hr
Dans votre formule de hr, le terme de surface n'est-t-il pas de trop car dans l'Equa Diff je multiplie déjà hr par S ?
D'ailleurs j'ai trouvé cette formule pour hr : hr = sigma*eps*(T^4 - Tenv^4)/(T - Tenv)
Le coeff hc provient-il de tables de valeurs ou l'avez vous calculé avec le Nu ?

Merci

[gts2]

Pour le h, si h est le h de , et que vous voulez écrite htot=hc+hr, avec c pour conducto convectif et r pour radiatif, il faut en effet utiliser
hr = sigma*eps*(T^4 - Tenv^4)/(T - Tenv)

Le hr donné par RomVi est un flux.